2019年高考浙江卷数学真题(含答案)

2019年高考浙江卷数学真题(含答案)2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分在1至2页，非选择题部分在3至4页，满分150分，考试用时120分钟。考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：若事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)柱体的体积公式V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式V=Sh/3，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S=4πR^2台体的体积公式V=(S1+S2+√(S1S2))h/3，其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高球的体积公式V=4πR^3/3，其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={-1,0,1}，则(A∪B)的补集是A.{1,2,3}B.{-1,2,3}C.{-1}D.{0,2,3}2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A.2B.1C.2/√2D.√23.若实数x，y满足约束条件3x-y-4≤0，x+y≥1，则z=3x+2y的最大值是A.-1B.1C.10D.124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm^3）是A.158B.162C.182D.3245.若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.不必要不充分条件（删除明显有问题的段落）3值是未给出的，需要补充。17.已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时，最大值是√2+2，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是2-√2。18.(1)因为f(x+θ)是偶函数，所以有f(-x-θ)=f(x+θ)，即alnx+aln(x+θ)=aln(-x-θ)+aln(-x-θ-θ)，化简得θ=π/2。(2)注意到f(x+π/2)=-f(x)，所以[f(x+π/2)]+[f(x+π)]^2=[-f(x)]+[f(x)]^2=1-f(x)，所以函数y的值域为[0,1]。19.(1)因为EF是AC和A1B1的中线，所以EF∥B1C1。又因为平面ACC1垂直于平面ABC，所以EF垂直于平面ABC，即EF垂直于BC。(2)因为EF垂直于BC，所以EF与平面ABC的法线同向，所以角的余弦值为EF在平面ABC上的投影长度与EF长度的比值。设H为EF在平面ABC上的投影，则EH=EFsin∠AEF，而EF=AC/2，AE=√3/2，因此EH=AC/2*sin∠AEF=√3/4*sin∠AEF。又因为BC=1，所以AC=√3/2，因此sin∠AEF=EH/AC=1/2，所以∠AEF=π/6，从而cos∠BEC=sin∠AEF=1/2。20.(1)由等比数列的通项公式可得b1=S1-S2，b2=S2-S3，以此类推，bn=Sn-Sn+1。又因为S3=a1+a2+a3=4+2a1，所以a1=(S3-4)/2。因此an=a1+(n-1)d=(S3-4)/2+(n-1)d，bn=2S3-(2n+1)(S3-4)/2-(n-2)n/2d。令Sn+bn=ksn，则得到d=(S2-S1)/2，a1=0，an=n(S2-S1)/2，bn=S2-Sn，其中S1=0，S2=a1+a2=4，S3=a1+a2+a3=4+2a1=2(S2-2)，所以S4=2S3-4=4(S2-2)-4，以此类推。(2)由题意得S2-S1+b1=S3-S2+b2=S4-S3+b3=...=r，所以S2-S1=b1+r，S3-S2=b2+r，以此类推，Sn-Sn-1=bn+r。因此S1+S2+2b1=2S2-S1，S2+S3+2b2=2S3-S2，以此类推，Sn-1+Sn+2bn=2Sn。将等式两边相加得2b1+2b2+...+2bn=S1+Sn，所以b1+b2+...+bn=(S1+Sn)/2。又因为c1+c2+...+cn=a1+a2+...+an=n(S2-S1)/2，所以c1+c2+...+cn=(S2-S1)/2，从而c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn=(S1+Sn)/2+(S2-S1)/2=(Sn+S2)/2。因此c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn+2S1=S2+Sn，即2S1+2S2-4+2an+2bn=S2+Sn。因为S2=4，所以2an+2bn=S2-Sn+4=4-Sn+4=8-Sn。因此2an+2bn+2cn<2n，即2(an+bn+cn)<2n，所以an+bn+cn<n，即c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn<2n。因此c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn+c1+c2+...+cn<2n，即2(c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn)<2n，所以c1+c2+...+cn+b1+b2+...+bn<2n。22.(1)当a>0时，f(x)单调递增；当a<0时，f(x)单调递减。因为f(x)>0，所以a>0。当a=1时，f(x)=lnx+x-1，f'(x)=1/x+1，f''(x)=-1/x^2<0，所以f(x)在(0,∞)上单峰。又因为f(1)=0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,∞)上单调递增。因此当a=1时，f(x)的单调区间为(0,1]和[1,∞)。当a≠1时，f'(x)=a/x+1，f''(x)=-a/x^2<0，所以f(x)在(0,∞)上单峰。又因为f(1)=0，所以f(x)在(0,1/a)上单调递减，在(1/a,∞)上单调递增。因此当a≠1时，f(x)的单调区间为(0,1/a]和[1/a,∞)。当a=-3/4时，f(x)在(0,∞)上单峰，单调区间为(0,4/3]和[4/3,∞)。当a<-3/4或a>0时，f(x)在(0,∞)上单调递增，单调区间为(0,∞)。当-3/4<a<0时，f(x)在(0,∞)上单调递减，单调区间为(0,1/a]。(2)对任意x∈(0,∞)，有f(x)>0，所以alnx>-x。因为e^x>1+x，所以x/e^x<1，即aln(x/e^x)<0。因此f(x)=alnx+aln(x/e^x+e^x-1)>alnx-x/e^x，所以a>e^x/(x+e^x)。因此a>1/e，即a∈(1/e,∞)。一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分。1.A2.C3.C4.B5.A6.D7.D8.B9.C10.A二、填空题：本题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11.2212.-2,513.1614.12272/51015.15/1616.4/317.0.25三、解答题：本大题共5小题，共74分。18.本题考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。(1)由于f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ)，即sinx*cosθ+cosx*sinθ=-sinx*cosθ+cosx*sinθ，故2sinx*cosθ=0，所以cosθ=0。又θ∈[0,2π)，因此θ=π/2或3π/2。(2)y=f((π/2)x+f(πx/12))=sin((π/2)x+sin(πx/12))=sin((π/2)x+sin(πx/6)/2)。因为-1≤sin(πx/6)≤1，所以-1/2≤sin(πx/6)/2≤1/2，所以-π/4≤sin(πx/6)/2≤π/4，所以π/4≤(π/2)x+sin(πx/6)/2≤5π/4。因此，函数的值域是[π/4,5π/4]。19.本题考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一：(1)连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC。又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E∈平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC。又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F。所以BC⊥平面A1EF。因此EF⊥BC。(2)取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形。由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形。由(1)得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上。方法二：(1)连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC。又平面A1ACC1⊥平面ABC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC。又因为A1F∥AB，故A1F⊥BC。因此A1EF是一个垂直于BC的平面。(2)取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形。由于A1E⊥BC，所以A1EGF是一个垂直于BC的平面。因此EF在平面A1EGF上，且在直线A1G上的射影为EF在平面A1BC上的射影。如果G在EF上，则∠EOG是直线EF与平面ABC所成的角或其补角。我们设AC=4，在直角三角形AEG中，角AEG=23度，EG=3。因为O是AG的中点，所以EO=OG=AG/2=15/2。利用勾股定理，我们可以求得EO和OG的长度，然后应用余弦定理求出∠EOG的余弦值为2/5。因此，直线EF与平面ABC所成角的余弦值为3/5。我们可以通过另一种方法来求直线EF与平面ABC所成角的余弦值。首先，连接AE1，因为AE1⊥AC且E是AC的中点，所以AE1⊥BC。又因为平面ACC1⊥平面ABC，所以AE1∈平面ACC1，而平面ACC1∩平面ABC=AC，所以AE1⊥平面ABC。我们可以建立以点E为原点，以射线EC和EA1为y轴和z轴正半轴的直角坐标系。然后，我们可以得到A1(0,0,23)，B(3,1,0)，B1(3,3,23)，F(3,3,23)，C(0,2,0)。因此，EF=(0,1,23)和BC=(-3,1,0)。由于EF·BC=0，所以EF垂直于BC。假设直线EF与平面ABC的夹角为θ，则sinθ=|EF×n|/|EF||n|=3/5，其中n为平面ABC的法向量。因此，直线EF与平面ABC所成角的余弦值为3/5。这道题目主要考察了等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基本知识，同时也考察了运算求解能力和综合应用能力。设数列{an}的公差为d，则由题意可得a1+2d=4，a1+3d=3a1+3d，解得a1=0，d=2。因此，an=2n-2，n∈N。因此，Sn=n(a1+an)/2=n(2a1+(n-1)d)/2=n^2。接下来，我们可以利用等比数列的性质，得到Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列，其中bn=2^(n-1)。通过计算，我们可以得到bn=n+n，n∈N。在第二个问题中，我们可以得到cn=an^2-an。题目一：我们用数学归纳法证明不等式：c1+c2+...+cn<2n(n+1)/n(n+1)（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；（ii）假设n=k(k∈N*)时不等式成立，即c1+c2+...+ck<2k那么，当n=k+1时，c1+c2+...+ck+ck+1<2k+2(k+1)/(k+1)<2k+2=2(k+1)即当n=k+1时不等式也成立。根据（i）和（ii），不等式c1+c2+...+cn<2n对任意n∈N*成立。我们采用数学归纳法证明不等式：c1+c2+...+cn<2n(n+1)/n(n+1)。（i）当n=1时，c1=0<2，因此不等式成立。（ii）假设当n=k(k∈N*)时不等式成立，即c1+c2+...+ck<2k，则当n=k+1时，c1+c2+...+ck+ck+1<2k+2(k+1)/(k+1)<2k+2=2(k+1)因此，当n=k+1时不等式也成立。综上，不等式c1+c2+...+cn<2n对任意n∈N*成立。题目二：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时也考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。（1）由题意得p=1/2，因此抛物线的准线方程为x=-1/2。（2）设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xc,yc)，重心G(xG,yG)。令yA=2t(t≠0)，则xA=t(t2-1)/(yA+1)，代入yA=4x，得yA=8t2/(t2-1)。由于直线AB过焦点F，故直线AB方程为x=2t(yB+2)，即yB=-4/t。又由于xG=(xA+xB+xC)/3=4t2/(t2+1)，所以B(2t,-4/t)，C(-t,2)。由于重心G在x轴上，故yG=0，得到yA+yB+yC=6t=0，因此t=0或t=±2。当t=0时，A为抛物线的顶点，此时AB垂直于准线，不符合题意，故舍去。当t=2时，B(4,-1)，C(-2,2)，由于Q在焦点F的右侧，故t>2。因此，2|FG|=(t2-1)/|2t|，|QG|=(t2-1)/|2t-2|，令m=t-2，则m>0，S=1+2/(m+4m+3S)，当m=3时，S取得最小值1，此时G(2,1)。本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时也考查运算求解能力和综合应用能力，满分15分。（1）根据题意，得到p=1/2，因此抛物线的准线方程为x=-1/2。（2）设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xc,yc)，重心G(xG,yG)。令yA=2t(t≠0)，则xA=t(t2-1)/(yA+1)，代入yA=4x，得到yA=8t2/(t2-1)。由于直线AB过焦点F，故直线AB方程为x=2t(yB+2)，即yB=-4/t。又由于xG=(xA+xB+xC)/3=4t2/(t2+1)，所以B(2t,-4/t)，C(-t,2)。由于重心G在x轴上，故yG=0，得到yA+yB+yC=6t=0，因此t=0或t=±2。当t=0时，A为抛物线的顶点，此时AB垂直于准线，不符合题意，因此舍去。当t=2时，B(4,-1)，C(-2,2)，由于Q在焦点F的右侧，故t>2。因此，2|FG|=(t2-1)/|2t|，|QG|=(t2-1)/|2t-2|，令m=t-2，则m>0，S=1+2/(m+4m+3S)，当m=3时，S取得最小值1，此时G(2,1)。题考查了函数的单调性和导数的运算及应用，以及逻辑思维和综合应用能力。首先，当$a=-\frac{3}{4}$时，$f(x)=-\lnx+1+\frac{x}{4},x>0$。求导后得到$f'(x)=\frac{-3x^2+4x+1}{4x(1+x)^2}$，因此$f(x)$在$(0,3)$上单调递减，在$(3,+\infty)$上单调递增。其次，由$f(1)\leq\frac{2}{1+a}$可