《命题及其关系》获奖

命题及其关系1.命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.命题的结构（形式）“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”，“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.3.四种命题设命题（1）“若p,则q”是原命题,那么命题（2）“若q,则p”是原命题的逆命题,命题（3）“若┓p,则┓q”是原命题的否命题,命题（4）“若┓q,则┓p”是原命题的逆否命题.若原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题;若原命题是真命题,则它的否命题不一定是真命题;若原命题是真命题,则它的逆否命题一定是真命题.四种命题之间的真假的相关性:原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆命题真假无关互逆命题真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关二、四种命题间的相互关系原命题逆命题否命题逆否命题真真假假假假假假假假真真真真真真一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题。一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:

原命题：当c>0时,若a>b,则ac>bc.“当c>0时”是大前提,写其它命题时应保留.逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b.否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc.逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b.真真真真例1.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.题型一四种命题的概念及其真假的判定③设P(x1,y1)为圆O1:x²+y²=9上任一点，圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1，当(a-x1)²+(b-y1)²=1时，圆O1与圆O2相切。其中假命题的个数为（）高考链接：（2005年天津理）给出下列三个命题：①若a≥b>-1,则②若正整数m和n，满足m≤n,则A.0B.1C.2D.3B

答案：B.①√②√③×命题的四种形式之间的关系，提供了一个判断命题真假的手段，由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真或同假，所以当一个命题不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假例2.证明:若x²+y²=0,则x=y=0.分析：将“若x²+y²=0,则x=y=0”视为原命题。要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0,则x²+y²≠0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。证明：若x,y中至少有一个不为0,不妨设x≠0则x²>0,所以x²+y²>0.这与已知条件x²+y²=0矛盾，故x=y=0.这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。1.反证法的概念：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2.用反证法证题的一般步骤是什么？（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾。（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。假设结论反面成立正确推理导出矛盾否定假设肯定结论三、间接证法（反证法）3.反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。4.导出矛盾有三种可能：（1）与原命题的条件矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；（3）与结论的反面成立矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。5.反证法的使用范围：注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。例3.证明:若p²+q²=2,则p+q≤2.分析：将“若p²+q²=2,则p+q≤2”视为原命题。要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p+q＞2,则p²+q²≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。证明：若p+q＞2,则p²+q²=1/2[(p-q)²+(p+q)²]≥1/2(p+q)²＞1/2×2²=2,所以p²+q²≠2.这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。间接证法（反证法）例3.证明:若p²+q²=2,则p+q≤2.证法2（三角换元法）：∵p²+q²=2,∴设证法3（代数换元法）：令t=p+q,则q=t-p代入p²+q²=2并整理得2p²-2tp+t²-2=0,∵p∈R,∴⊿=4t²-4×2(t²-2)≥0,∴t²≤4,∴-2≤t≤2,既有p+q≤2.练习2.求证：是无理数。思考？

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C话为真.由A话为假,知B话为真.这与B话为假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.那么A话为假且B话为假;例4.证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

.OPABCD

已知：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分证明：假设弦AB、CD被P平分，则P是AB、CD的中点，连接OP，由垂径定理的推论，可得：OP⊥AB，OP⊥CD.这与“在平面上过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.∴弦AB、CD不被P平分.例5.如图在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径.求证：AB、CD不能互相平分。ABCDPO证明：假设AB、CD互相平分则四边形ACBD是平行四边形∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD因为四边形ACBD是圆内接四边形∠ACB+∠ADB＝180°,∠CAD+∠CBD＝180°,

所以∠ACB=90°,∠CAD=90°所以对角线AB、CD均为直径，与已知条件矛盾。所以假设不成立，因此AB、CD不能互相平分原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆命题真假无关互逆命题真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关

二、反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法。反证法的一般步骤：（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面立）；（2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。由命题真假的意义求参数的取值范围1.已知P：方程x²+mx+1=0有两个不等的负根，q：方程4x²+4(m-2)x+1=0(m∈R)无实根。若p，q一真一假，求m的取值范围。由命题真假的意义求参数的取值范围2.已知命题P：|x|+|x-1|≥m的解集为R；q：函数f(x)=-(7-3m)x是减函数。若这两个命题中有且只有一个真命题，求