2018年度杨浦区高等考试数学二模有答案解析

_杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2018.4.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．函数ylgx1的零点是．2．计算：lim2n．n4n1nn项的系数是54，则．3．若13x的二项展开式中x24．掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．xy0，则目标函数fx2y的最大值为．5．若x、y满足xy2y06．若复数z满足z1，则zi的最大值是．7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，33则该圆锥的体积是．28．若双曲线x216y21(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p．3p29．若sin(xy)cosxcos(xy)sinx3，则tan2y的值为．510．若{a}为等比数列，a0，且a2，则12的最小值为．nn20182aa2017201911．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a2，2sinAsinC．若B为钝角，cos2C1ABC的面积为．4，则12．已知非零向量OP、OQ不共线，设OM1OPmOQ，定义点集m1m1A{F|FPFMFQFM}.若对于任意的m3，当F，FA且不在直线PQ上时，不等式|FP||FQ|12|FF|k|PQ|恒成立，则实数k的最小值为．1 2_二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）感谢阅读13．已知函数f(x)sin(x)(0,||)的图象如图所示，则的值为（）y1(A)(B)O42421(C)(D)2314．设A、B是非空集合，定义：AB={x|xAB且xAB}.谢谢阅读

x已知A{x|y2xx2}，Bxx1，则AB等于（）(A)[0,1](2,)．(B)[0,1)(2,)．(C)[0,1]．(D)[0,2]．15．已知a2b20,a2b20,则“ab0”是“直线l:axbyc0111122ab111122与l:axbyc0”平行的（）2222(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件16．已知长方体的表面积为45，棱长的总和为24.则长方体的体对角线与棱所成角的最大感谢阅读2值为（）(A)arccos1(B)arccos2(C)arccos3(D)arccos63399_三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）精品文档放心下载共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆谢谢阅读单车的营运累计利润y(单位：元）与营运天数xxN*满足y12x260x800.谢谢阅读（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；精品文档放心下载（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y的值最大？谢谢阅读x18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）谢谢阅读如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，点E是棱AB上的动点.精品文档放心下载1 1 1 1（1）求证：DAED；1 1（2）若直线DA与平面CED所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.精品文档放心下载1 1_D1 C1A1 B1D CA E B19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）精品文档放心下载已知数列{a}，其前n项和为S，满足a2，Snaa，其中n2，nN，nn1nnn1，R.(1)若0，4，bn(2)若a3，且2

a2a（nN），求数列{b}的前n项和；感谢阅读n+1 n n，求证：数列{a}是等差数列.n20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）感谢阅读_已知椭圆:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与有两感谢阅读个交点A、B，线段AB的中点为M．（1）若m3，点K在椭圆上，F,F分别为椭圆的两个焦点，求KFKF的范围；感谢阅读1 2 1 2（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；感谢阅读（3）若l过点(m3,m)，射线OM与交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？感谢阅读若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）谢谢阅读记函数f(x)的定义域为D.如果存在实数a、b使得f(ax)f(ax)b对任意满足axD且axD的x恒成立，则称f(x)为函数.精品文档放心下载1（1）设函数f(x)x1，试判断f(x)是否为函数，并说明理由；精品文档放心下载1（2）设函数g(x)2xt，其中常数t0，证明：g(x)是函数；感谢阅读（3）若h(x)是定义在R上的函数，且函数h(x)的图象关于直线xm（m为常数）对称，试判断谢谢阅读h(x)是否为周期函数？并证明你的结论._杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研谢谢阅读数学学科试卷答案2018.4.10一、填空题_1.x10；2．1；3．4；4.1；5．3；6.2；7．22；2238．4；9．24.或24；10．4；11．15．；12.3774二、选择题13．C；14.A；15．B;16.D;三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）精品文档放心下载【解】（1）要使营运累计收入高于800元，令1x260x800800，…………………2分2解得40x80.…………………5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间.…………………7分（2）y1x80060…………………9分x2x24006020当且仅当1x800时等号成立，解得x400…………12分2x所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天.…14分感谢阅读18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）精品文档放心下载【解】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0），谢谢阅读B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤zm≤1）D1C1（1）证明：DA(1,0,1)，EDA1B111DAED1(1)0(m)110………4分DCy11AEB所以DA1⊥ED1.……………6分

x_另解：AE平面ADA，所以AEAD. ……………2分感谢阅读1 1又ADAD，所以AD平面DAE. ……………4分精品文档放心下载1 1 1 1所以DAED ……………6分1 1（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系…………7分感谢阅读所以A(0,0,1)、D(0,1,0)、C(1,1,0)、D(0,1,1)，设AEt，则E(t,0,0)11xz0设平面CED1的法向量为n(x,y,z)，由1可得nCE0(t1)xy0zx，因此平面CED1的一个法向量为(1,t1,1)所以y(t1)x由直线DA与平面CED所成的角是45，可得sin45|DAn|111|DA||n|1可得2|1t1|，解得t1221(t1)212

………8分，………10分……11分………13分由于AB=1，所以直线DA与平面CED所成的角是45时，点E在线段AB中点处.…14分精品文档放心下载1 119．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）感谢阅读【解】（1）S4a，所以S4a.两式相减得SS4a4a.nn1n1nn1nnn1即a4a4a………2分n1nn1所以a2a2(a2a)，即b2b，………3分n1nnn1nn1又S4a8，所以aSa6，得ba2a2………4分21221121因此数列{b}为以2为首项，2为公比的等比数列.b2n，前n项和为2n12…7分nn（2）当n=2时，S2aa，所以3262.又32212可以解得1，1………9分2所以Snaa，Sn1aa，两式相减得an1anaaan2nn1n12n1nn12n12nnn1即n1an2aa.2n12nn1_猜想an1，下面用数学归纳法证明：n①当n=1或2时，a211，a321，猜想成立；精品文档放心下载1 2②假设当nk（kN*,k2）时，ak1成立k则当nk1时，a2(k2aa)2(k2(k1)k)k2猜想成立.k1k12kk1k12由①、②可知，对任意正整数n，an1.谢谢阅读n所以a a1为常数，所以数列{a}是等差数列.精品文档放心下载n1 n n另解：若a3，由aa2aa，得562，2122123，解得12，1．感谢阅读由a2，a3，1，1，代入Snaa得a4，122nnn13

………13分………14分………9分所以a，a，a成等差数列，123由Snaa，得Sn1aa，n2nn1n12n1n两式相减得：an1anaaan12n12nnn1即(n1)a(n2)a2a0n1nn1所以na(n1)a2a0………11分n2n1n相减得：na2(n1)a(n2)a2a2a0n2n1nnn1所以n(a2aa)2(a2aa)0n2n1nn1nn12(a2aa)22(a2aa)所以(a2aa)n2n1nnn1nn1n(n1)nn1n-2(2)n1(a2aa)，n(n1)2321因为a2aa0，所以a2aa0，即数列{a}是等差数列.………14分123n2n1nn20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）精品文档放心下载_【解】（1）椭圆:9x2y29，两个焦点F(0,22)、F(0,22)，设K(x,y)12所以KFKF(x,22y)(x,22y)x2y2812由于9x2y29，所以y299x2，KFKFx2(99x2)88x21…3分12由椭圆性质可知1x1，所以KFKF[7,1]……………5分12（2）设直线l:ykxb（b0,k0），A(x,y)，B(x,y)，M(x,y)，112200所以x、x为方程9x2(kxb)2m2的两根，化简得(k29)x22kbxb2m20，12所以xxxkb，ykxk2b9b.……………8分12bb02k2900k29k29ky09OMl的斜率的乘积等于-9为定值.…………10分OMxk，所以直线的斜率与0（3）因为直线l过点(m3,m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3．谢谢阅读设P(x,y)设直线l:yk(xm)m（m0,k0），即ykxmkm.pp33由（2）的结论可知OM:y9x，代入椭圆方程9x2y2m2得x2m2k2…12分kp9k281(mmk)k9(mkm)由（2）的过程得中点M(3,3)，……………14分k29k29若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以2xx，0pmk2得4(mk3)2m2k2，解得k47k299k281所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形．……………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）f(x)11是函数.……1分x_理由如下：f(x)11的定义域为{x|x0}，x只需证明存在实数a，b使得f(ax)f(ax)b对任意xa恒成立.由f(ax)f(ax)b，得112b，即b2axax.axax(ax)(ax)所以(b2)(a2x2)2a对任意xa恒成立.即b2,a0.从而存在a0,b2，使f(ax)f(ax)b对任意xa恒成立.所以f(x)11是函数.…………4分x（2）记g(x)的定义域为D，只需证明存在实数a，b使得当axD且axD时，感谢阅读g(ax)g(ax)b11b恒成立.恒成立，即2axt2axt所以2axt2axtb(2a