《圆周角》 省赛获奖

圆周角圆周角定义圆周角定理课堂练习例题讲解巩固练习课堂小结一、导入新课:1.圆心角的定义?2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?.OBC2.相等.答:1.顶点在圆心的角叫圆心角.探索1:圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:A.OBC.OBCA.OBCA圆内角圆外角圆周角探索1:探索2:你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?.OBCA圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.判别图中的角是不是圆周角.√××××反馈练习:OABC.探索3:画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.同时思考：一条弧所对的圆周角有多少个?

圆心角呢?圆周角与圆心的位置有几种情况?用量角器量出这两个角的度数,你能得出什么结论?OABC..OABC.ABO由“探索3”猜想出结论：

如何证明呢？同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。该结论成立吗？圆周角定理的证明ACOBACOBACOB（1）（2）（3）CAOB情形（1）的证明

已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠BCA，圆心角是∠BOA.

求证：∠BCA=1/2∠BOA.证明：∵OB=OC∴∠BCA=∠B（等边对等角）又∵∠BOA=∠BCA+∠B

（外角等于不相邻两个内角的和）∴∠BCA=1/2∠BOA情形（2）的证明

已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠BCA，圆心角是∠BOA.

求证：∠BCA=1/2∠BOA.证明：连接CO并延长交⊙O于D.ACOBD利用（1）的结果，有∴∠BCD+∠ACD=1/2(∠BOD+∠AOD)∴∠BCA=1/2∠BOA∠BCD=1/2∠BOD∠ACD=1/2∠AOD情形（3）的证明

已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠BCA，圆心角是∠BOA.

求证：∠BCA=1/2∠BOA.证明：连接CO并延长交⊙O于D.ACOBD利用（1）的结果，有

∴∠BCD-∠ACD=1/2(∠BOD-∠AOD)∴∠BCA=1/2∠BOA∠BCD=1/2∠BOD∠ACD=1/2∠AOD同一条弧所对的圆周角等于它所对的

的一半.圆心角(弧的度数)两点启示：1.要说明一个命题是真命题，如果一个图形不能概括一般的情况，那么就往往需要分类讨论.

分类讨论的原则是既不遗漏，又不重复.2.一个定理的发现，最初往往是从特殊情况中得到信息，然后进行大胆猜想，从特殊到一般，最后完整起来.ABCOABCOABCO练习1：判断题，下列命题是否正确？（1）圆周角的顶点一定在圆上；（2）顶点在圆上的角叫圆周角；（3）圆周角的两边都和圆相交；（4）两边都和圆相交的角叫圆周角.（√）（×）（√）（×）

练习2：如图，在下列各图中，

∠1＝_____度,∠2＝_____度,37.565O75°1O75°1O2130°如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B、D的任意一点，连接AC、BC.求证：∠C是直角.证明：因为∠Ｃ是半圆弧ADB所对的圆周角，弧ADB所对的圆心角是平角AOB，所以∠C=1/2∠AOB=1/2×180°=90°（圆周角定理）

即∠Ｃ是直角.反之，若已知∠C是直角，∠C的两边交⊙O于A、B，连接AO、BO，所以，A、O、B同在一直线上，AB是⊙O的直径.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.ＣＡＢ.Ｄ．Ｏ则∠AOB=2∠Ｃ=2×90°=180°.1.圆周角的定义：顶点在______上，两边与圆

______的角，叫圆周角.圆周相交2.圆周角定理：同一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________.一半3.圆周角定理还可理解成，一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的______；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的________.一半二倍一、填空（1）40°弧所对的圆心角是度，圆周角度.（2）一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是100度，这条弧是度.（3）n°弧所对的圆心角是度，所对的圆周角是度.

二、计算1.如图所示：∠1＝_____度,6021n4020100n2O60°1C2.求圆中角x的度数BAO.x120°BAO.70°x35°120°做一做，成功在向你招手！OACB3.已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数D分析：∵

∠AOB=100°∴劣弧AB=100°优弧ADB=260°∴∠ACB=130°扩展：4.半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：3两部分，则弦所对的圆周角的度数是___________________.45°或135°OABC5.如右图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BACAOCB证明：∵∠AOB=2∠ACB

（1）∠BOC=2∠BAC

（2）

且∠AOB=2∠BOC

（3）把（1）代入（3）得：∠ACB=∠BOC（4）再把（2）代入（4）得：∠ACB=2∠BAC，这就是我们所要证明的结论.∴∠ACB=2∠BAC

你能解决它吗？

本节课涉及：（1）研究方法：特殊——一般——

特殊（2）数学思想：转化、分类讨论.归纳猜想本节课你学到了什么？有何收获？应用已知：如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E.

求证：AD∥BC.AODCBE证明：在⊙O中∵OA⊥OB，AC⊥BD∴∠C=1/2∠AOB=45°∠D=