二次函数性质及根的分布

二次函数性质及根的分布第1页，课件共21页，创作于2023年2月

第2页，课件共21页，创作于2023年2月判别式△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次不等式的解集ax2＋bx+c=0(a≠0)的根

ax2＋bx＋c>0(a＞0)

ax2＋bx+c<0(a＞0)

有两相等实根x1＝x2＝-有两相异实根：

x1,2＝

x＜x1或x＞x2

x1＜x＜x2空集空集全体实数没有实根所有不等于－的实数第3页，课件共21页，创作于2023年2月在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有（a≠0）：①标准式：y＝ax2＋bx＋c；②顶点式：y＝a(x－k)2＋m；③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、x2为方程ax2＋bx＋c＝0的二根).第4页，课件共21页，创作于2023年2月

例１已知二次函数y＝f(x)有最小值－３，且当x＝－３和x＝２时f(x)的值都是，求f(x)．设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得解:

a(－３)2＋b

(－３)＋c＝a(２)2＋b×2＋c＝＝－３(a＞０)．

９a－３b＋c＝４a＋２b＋c＝

b2－４ac－１２a＝０解法一:

∴f(x)＝２x2＋２x－．a=2解之得b＝２,c＝－第5页，课件共21页，创作于2023年2月解二∵f（－３）＝f（２）＝，∴抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝，即x＝－，故其顶点坐标为（－，－３）．

设f(x)＝a(x＋)2－３．

∵f(2)＝a(2＋)２－３＝

∴a＝＝２．.

∴f(x)＝２x2＋２x－．第6页，课件共21页，创作于2023年2月解三由已知，x＝－３和x＝２是一元二次方程f(x)－＝０的两个实数根．

设f(x)－＝a(x＋３)(x－２),则f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋．又当x＝＝－时，f(－)＝－３．∴a(－＋３)(－－２)＋＝－３，－a＝－，a＝２．

∴f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－．第7页，课件共21页，创作于2023年2月-1例2

已知函数f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。

yxOabf(x)为二次函数，f(a)=f(b)f(x)的对称轴为f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c-x)f(x)的对称轴为x=cyxO231若x<0,若x=0，则1>2x>3x∴f(2x)<f(3x)则1<2x<3x∴f(2x)<f(3x)则1<2x<3x，若x=0，综上所得，f(2x)≤f(3x)。第8页，课件共21页，创作于2023年2月例3已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试证：(1)当b＜－2时，f(x)是递减函数；(2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥1/2成立。

证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋)2＋c－，

抛物线的对称轴x＝－，

当b＜－2时,－＞1(如图)∴当b＜－2时，f(x),x∈[－1，1]是递减函数。

(2)假设在x∈[－1，1]内在存在|f(x)|≥，则有－＜f(x)＜

∴f(－1)＝1－b＋c＜，f(1)＝1＋b＋c＞－联立解得b＞－与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立。

第9页，课件共21页，创作于2023年2月设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞０),则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定．

如果f(m)f(n)＜０(m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根．第10页，课件共21页，创作于2023年2月例：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围。变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围。变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根，且x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围。变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根，求x12+x22的取值范围。第11页，课件共21页，创作于2023年2月二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）：(1)若x1＜x２＜m，则应有Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，－＜m，Δ＝b2－４ac＞０，或(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)＜０．yxOx1x2m第12页，课件共21页，创作于2023年2月

二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）：(2)若x1>x２>m，则应有Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，－>m，Δ＝b2－４ac＞０，或(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)>０．yxOx1x2m第13页，课件共21页，创作于2023年2月

(3)若x1＜m＜x2，则应有

f(m)＜０，或(x1－m)(x2－m)＜０．yxOx1x2m第14页，课件共21页，创作于2023年2月

(4)若m＜x1＜x2＜n，则应有Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，

f(n)＞０，

m＜－＜n.yxOx1x2mn第15页，课件共21页，创作于2023年2月

(5)若x1＜m＜n＜x2，则应有

f(m)＜０，

f(n)＜０．yxOx1x2mn第16页，课件共21页，创作于2023年2月

例4已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个正根，求实数m的范围．

解:若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件．若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．∵f(０)＝－１≠０，∴方程f(x)＝０无零根．

如方程有异号两实根，则x1x2＝1-m＜０，m＞１．如方程有两个正实根，则:

Δ＝m2＋４(m－１)≥０，m≥－２＋或m≤－２－，

x1x2＝＞０，m＜１，

x1＋x2＝－＞０，０＜m＜１．

∴－２≤m＜１．由此得，实数m的范围是m≥－２.第17页，课件共21页，创作于2023年2月根的分布x2>x1>mx1＜x２＜mx1＜m＜x2m＜x1＜x2＜n函数图像韦达定理图像方法mx2x1x1x2mx1x2mx2x1nmΔ＞０，

f(m)＞０，－＜m，Δ＞０，

f(m)＞０，－>m，

f(m)＜０

Δ＝b2－４ac＞０，

f(m)＞０，

f(n)＞０，

m＜－＜n.Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)＜０Δ＝b2－４ac＞０，(x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)＋(x2－m)>０(x1－m)(x2－m)＜０表示比较复杂，繁琐第18页，课件共21页，创作于2023年2月１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠０)的图像只能是（）

ＡＢＣＤ练习C2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数满足abc＜０,则它的图像可能是（）ABCDB第19页，课件共21页，创作于2023年2月3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（）

Ａ.１Ｂ.Ｃ.Ｄ.

4．若二次函数f(x)＝－２x2＋４x＋t的图像顶点的纵坐标等于１，则t的值是（）Ａ.１Ｂ.－１Ｃ.２Ｄ.－２5．已知函数f(x)＝mx2＋２mx－３