七年级下数学专题培优讲义-辅助线构造-教案(含答案)

七年级下数学专题培优讲义-辅助线构造-教案(含答案)七年级春季数学培优讲义（七下）辅助线构造专题复习回顾1.已知直线AB，CD与CF交于C，A两点，且∠BAF=48°，CE⊥CD，试证明：AB//CD，且∠ACE=138°。2.如图，∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，∠1=∠2，AE//BC吗？为什么？3.已知AB//CD，线段EF分别与AB、CD相交于E、F。如图，当∠A=40°，∠C=60°时，求∠APC的度数。4.如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于M、N，MP、NQ是两条射线。（1）若MP、NQ分别平分∠AME、∠MNC，猜想PM与QN的位置关系；（2）若MP、NQ分别平分∠AME、∠CNF，猜想PM与QN的位置关系；例题剖析【例1】已知：E，F分别为AB，CD上任意一点，M，N为AB和CD之间任意两点。连接EM，MN，NF，且∠AEM=∠DFN=α，∠EMN=∠MNF=β。（1）如图1，若α=β，求证：ME//NF，AB//CD；（2）当α≠β时，①如图2，求证：AB//CD；②如图3，分别过点E，点N引射线EP，NP。EP交MN于Q，交NP于P，且∠PEM=∠AEM，∠MNP=∠FNP。∠BEP和∠NFD两角的角平分线交于点I。当∠P=∠I时，α和β的数量关系为：（用含有β的式子表示α）。【例2】如图，已知a//b，（1）小明将一直角三角板（∠A=30°）放在如图所示的位置，经测量知∠1=∠A，求∠2。（2）将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M在线段CD上，且∠CEM=∠CEH，给出以下结论：∠MEG的值不变；∠MEG—∠BDF的值不变。可以证明，其中只有∠BDF一个是正确的，请你做出正确的选择并求值。【例3】基本图形：如图，AB//CD，点E为两平行线间的一点。基本结论：（1）∠BED=∠1+∠2；（2）∠EBM+∠EDN+∠BED=360°。请证明上述两个结论。变式1：如图，AB//CD，E是两直线内部一点，探究∠BED与∠BFD，∠ABE与∠CDE的平分线交于F点。变式2：在图中，已知AB//CD，且ABE与CDE的邻补角平分线交于F点，求证BED与BFD互为补角。变式3：在图中，AB//CD，EM是AMF的平分线，NF是CNE的平分线，EN，MF交于O点。（1）已知AMF=50°，CNE=40°，求E和F的度数；（2）若E+60°=2F，求AMF的度数；（3）探究E，F与MON之间的数量关系。变式4：在图中，AD//GE，且PAH=60°，Q是GE上任一点，QR平分PQG，PM//QR，PN平分APQ。下列结论：APQ+NPM的度数不变；NPM的度数不变。可以证明只有一个正确的，请选择正确的结论并求值。变式1：在图中，已知直线AB//CD，且C=125°，A=45°，求E的度数。变式2：在图中，若AB//CD，求证A+E-D=180°。变式3：在图中，AB//CD，（1）已知DCE=60°，E=20°，求ABE的度数；（2）已知EBF=2ABF，CF平分DCE，若2F-E=10°，求ABE的度数。练习题：在图1中，直线AB//CD，P是截线MN上的一点。（1）已知MNB=45°，MDP=20°，求MPD；（2）当点P在线段MN上运动时，若CDP与ABP的平分线交于Q，求CDP的度数；若不交于Q，说明其范围；（3）在图2中，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，当P点在射线MT上运动时，求CDP的取值范围。【例6】已知直线AB//CD，求证：DPB是否为定值，如果是，请给出其度数。（1）如图1，根据平行线性质，可得到BME=E，END=E，因此有BME+END=2E，即2E=BME+END。（2）如图2，根据角平分线的性质，可得到BME=CNE，因此BME与CNE的角平分线重合，交于点P。由此可得到P与E之间的数量关系为P=2E。（3）如图3，根据相似三角形的性质，可得到MB/AB=ME/AE，ND/CD=NE/CE。因此，MB/ND=AB/CD×AE/CE。又因为AB//CD，所以AB/CD=MB/ND，因此有MB/ND=AE/CE，即MB/ND=BE/DE，因此BME=NDE，即2E=BME+END=DPB。因此，DPB是定值，其度数为2E。【例7】如图，四边形ABCD中，AD//BC，BCD=90°，BAD的平分线AG交BC于点G。（1）求证：BAG=BGA。由平分线的性质可得，BAG=DAG，又因为AD//BC，所以DAG=CGB，因此有BAG=CGB=BGA。（2）如图2，BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，且B=50°。①若点E在线段AD上，由平行线性质可得BCE=BDC=40°，又因为CE是BCD的平分线，所以ECB=DCB=25°，因此有ACB=ECB+ECA=DCB+BCD=65°。又因为AG是BAD的平分线，所以BAG=DAG=45°，因此有AFC=BAG+ACB=110°。②若点E在DA的延长线上，由平行线性质可得BCE=BDC=40°，又因为CE是BCD的平分线，所以ECB=DCB=25°，因此有ACB=ECB+ECA=DCB+BCD=65°。又因为AG是BAD的平分线，所以BAG=DAG=45°，因此有AFC=BAG+ACB=110°。（3）如图3，点P在线段AG上，ABP=2PBG，CH//AG，在直线AG上取一点M，使PBM=DCH。由题意可得，ABP=2PBG，因此有BAG=3PBG。又因为CH//AG，所以DCH=PBM，因此有ABM=ABP+PBM=3PBG+PBG=4PBG。因此，ABM:PBM=4:1。1.当动点P在图(a)中的第①部分时，需要证明：$\angleAPB=\anglePAC+\anglePBD$；2.当动点P在图(b)中的第②部分时，需要说明为什么$\angleAPB=\anglePAC+\anglePBD$不成立；3.当动点P在图中第③部分时，需要全面探究$\anglePAC$、$\angleAPB$、$\anglePBD$之间的关系，并给出动点P的具体位置和相应结论。选择其中一种结论进行证明。4.在图1中，已知$AB\parallelCD$，P为定点，E、F分别为AB、CD上的动点。需要证明：$\angleP=\angleBEP+\anglePFD$；在图2中，已知$\angleFMN=\angleBEP$，且MN交PF于N。需要说明$\angleEPF$与$\anglePNM$的关系，并进行证明；在图3中，移动E、F使得$\angleEPF=90°$，作$\anglePEG=\angleBEP$，需要求出$\angleAEG$的值。5.在图中，已知$AB\parallelCD$，直线l分别交AB、CD于E、F，点M在AB线段EF上，点N是直线CD上的一个动点。需要在以下两种情况下分别说明$\angleFMN+\angleFNM=\angleAEF$的成立情况，并给出证明。6.在图中，已知$AB\parallelCD$，直线l分别交AB、CD于E、F，点M在AB线段EF上，点N是直线CD上的一个动点。需要在以下两种情况下分别说明$\angleFMN+\angleFNM$与$\angleAEF$的关系，并给出证明。7.在图1中，已知AC平分$\angleDAB$，$\angle1=\angle2$，需要说明AB与CD的位置关系，并进行证明；在图2中，在上述条件下，如果BF平分$\angleABE$，DF平分$\angleCDE$，且$\angleDFB=20°$，$\angleCDE=70°$，需要求出$\angleABE$的度数；在图3中，在上述条件下，如果P是BE上的一点，G是CD上任一点，PQ平分$\angleBPG$，PQ//GN，GM平分$\angleDGP$，需要判断并求出$\angleDGP-\angleMGN$的值或$\angleMGN$的度数是否不变，并进行证明。A8.如图，已知AB//CD，点E为射线AB上一点，连接CE，$\angleACE=n\angleDCE$，$\angleBAC=\alpha$。（1）如图1，若$n=3$，$\alpha=40^\circ$，则$\angleBEC=100^\circ$；（2）点F为CE延长线上一点，连接AF，a.如图2，若$n=2$，判断$\angleF$，$\angleBAC$，$\angleBAF$之间的数量关系，并说明理由；b.若$n=1$，$AM$平分$\angleFAC$，交$CF$于点$M$，则$\angleF=10\alpha$。解析：1.（1）证明：过C作CD//AB，$\anglea//\angleb$，$\anglePAB+\angleABb=180^\circ$。又$BC$、$AC$平分$\angleABb$、$\anglePAB$，$\anglePAB=2\anglePAC$，$2\angleCBb=\angleABb$。即$2\anglePAC+2\angleCBb=180^\circ$。又$AP$//$CD$//$AB$，$\angleCBb=\angleDCB$，$\anglePAC=\angleACD$（两直线平行，内错角相等）。$\angleACD+\angleDCB=\angleCBb+\anglePAC=90^\circ$，$\angleACB=90^\circ$，即$AC\perpBC$。（2）解：值不变，过C点作CD//$AP$//$QB$，$\angleACD=(180^\circ-\angle1)-\angle2$，$\angle4=\angleQCD$，$\angleDCB=\angle3+\angle4$。$\angleACB=90^\circ=180^\circ-\angle1-\angle2+\angle3+\angle4$，$\angle1+\angle2-\angle3-\angle4=90^\circ$。2、（1）$\angleCAE+\angleCBF=90^\circ$。（2）解：值不变，过O作PQ//AE，设$\angleCAE=\angleOAE=x$，则$\angleAOP=x$，$\angleCBF=\angleOBF=y$，$\angleOAE=\angleAOB=x$，$\angleAEO=\angleQOE$。$\angleOAE+\angleAEO=90^\circ$，同理可证$\angleCAB+\angleCBA=90^\circ$，$2x+2y=180^\circ$，$x+y=90^\circ$，$y=\angleAEO$，即$AE\parallelBF$。(3)$\angleAEB-\angleCBF=90^\circ$。3、（1）略。（2）不成立，$\anglePAC+\angleAPB+\anglePBD=360^\circ$。（3）分三种情况讨论分别为：P在BA左侧$\anglePAC=\angleAPB+\anglePBD$；P在BA右侧$\anglePBD=\anglePAC+\angleAPB$；P在BA的延长线上$\anglePAC=\anglePBD$。4、图一：$\anglePAC+\anglePBD=\angleAPB$。图二：$\angleAPB=\anglePBD-\anglePAC$。图三：$\angle