江苏省常州市江都滨湖中学2022-2023学年高一数学理月考试题含解析

江苏省常州市江都滨湖中学2022-2023学年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个函数：①；②；③；④.

其中值域为的函数有

（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

参考答案：B略2.下列函数中，值域为R+的是（

）A、y=5

B、y=()1-x

C、y=

D、y=参考答案：B3.函数一定有零点的区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.sin2010°的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】先利用诱导公式把sin2010°整理成sin，进而利用150°的正弦求得答案．【解答】解：sin2010°=sin=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣．故选：C．5.甲组数据为x1，x2，…，xn，乙组数据为y1，y2，…yn，其中yi=xi+2（i=1，2，…，n），若甲组数据平均值为10，方差为2，则乙组数据的平均值和方差分别为（）A．10+2，4 B．10，2 C．10+2，6 D．10，4参考答案：A【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【分析】利用均值和方差的性质直接求解．【解答】解：甲组数据为x1，x2，…，xn，乙组数据为y1，y2，…yn，其中yi=xi+2（i=1，2，…，n），甲组数据平均值为10，方差为2，∴乙组数据的平均值为10+2，方差为（）2×2=4．故选：A．【点评】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值和方差的性质的合理运用．6.设，，，则下列关系正确的是（

）A

B

C

D参考答案：B7.若函数，则f(－2)的值等于（

）A、B、C、D、2参考答案：A8.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且则的值是

（

）A.1

B.12

C.13

D.25参考答案：C略9.已知幂函数y=xn的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2x B．y=3x C．y=x3 D．y=x﹣1参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，带入点的坐标，求出函数的解析式即可．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，8），∴f（2）=8=23，从而α=﹣3函数的解析式f（x）=x3，故选：C．【点评】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，本题是一道基础题．10.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A﹣B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【解答】解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B=0，即A=B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）=（1﹣cosC）+=1﹣cosC，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）=1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）=1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）=2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC=0，即cosC（cosC﹣2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前项和为，，，则=

.参考答案：略12.在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值=

． 参考答案：9【考点】等差数列的性质． 【分析】设首项为a1，公差为d，则由S4=1，S8=4，求得a1和d的值，再由a17+a18+a19+a20=4a1+70d，运算求得结果． 【解答】解：设首项为a1，公差为d，则由S4=1，S8=4，可得4a1+6d=1，8a1+28d=4． 解得a1=，d=， ∴则a17+a18+a19+a20=4a1+70d=9， 故答案为9． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，等差数列的通项公式，求得a1=，d=，是解题的关键，属于中档题． 13.若扇形的面积是，它的弧所对的圆心角是，则它的弧长;参考答案：略14.若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为

．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系式以及和与差构造即可求解．【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．∵θ∈（，），∴θ+∈（，π）∴cos（θ+）=﹣．那么：cosθ=cos=cos（θ+）cos+sinsin（θ+）==．故答案为：．15.已知函数，则=

.参考答案：2【详解】，16.已知sin（3π+α）=2sin（+α），则=． 参考答案：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 【分析】运用诱导公式和同角的商数关系，可得tanα=2，再对所求式子分子分母同除以cosα，代入数据即可得到． 【解答】解：sin（3π+α）=2sin（+α），即为 ﹣sinα=﹣2cosα，即有tanα=2， 则= ==﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查诱导公式和同角的商数关系的运用，考查运算能力，属于基础题． 17.在等差数列{an}中，已知a1+a19=-18，则a10=

.参考答案：－9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）扇形AOB中心角为60°，所在圆半径为，它按如下（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB=θ；（Ⅱ）点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM=φ；试研究（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？参考答案：如图，在Rt△OD中，设∠EOD=θ，则OD=cosθ，ED=sinθ又CD=OD﹣OC==，∴SCDEF=ED?CD=sinθ（cosθ﹣sinθ）=3sinθcosθ﹣sin2θ=sin2θ﹣=sin（2θ+）﹣．当2θ+=，即时，S最大=．（Ⅱ）令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，则EN=sinφ，于是ED=2sinφ，又CD=PN=ON﹣OP=cosφ﹣=﹣3sinφ，∴SCDEF=ED?CD=2sinφ（）=3sin2φ﹣3（1﹣cos2φ）=6sin（2φ+）﹣3．当22φ+=，即φ=时，y取得最大值为：6﹣3．∵6﹣3，（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式（Ⅱ）．19.已知定义在区间[-p，]

上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称，当x?[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,-<j<)，其图象如图所示。(1)求函数y=f(x)在[-p，]的表达式；(2)求方程f(x)=的解。参考答案：解析：(1)由图象知A=1，T=4()=2p，w=

在x?[-，]时

将(，1)代入f(x)得

f()=sin(+j)=1∵-<j<

∴j=∴在[-，]时

f(x)=sin(x+)

∴y=f(x)关于直线x=-对称

∴在[-p，-]时

f(x)=-sinx综上f(x)=

(2)f(x)=

在区间[-，]内可得x1=

x2=-∵y=f(x)关于x=-对称∴x3=-

x4=-∴f(x)=的解为x?{-,-,-,}20.已知函数为常数）.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，,求函数的值域；（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.参考答案：

略21.（本小题满分12分）如图，垂直于⊙所在的平面，是⊙的直径，是⊙上一点，过点

作，垂足为.求证：平面参考答案：证明：因为平面

所以又因为是