新教材人教A版3.3幂函数课件（36张）2

3.3幂函数第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.(数学运算)2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律.(直观想象)3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]给出下列5个说法:①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数.⑤如果某人ts内骑车行进了1m,那么他骑车的平均速度v=t-1m/s,这里v是t的函数.问题:上述5个说法中,若自变量都用x表示,函数值用y表示,则对应的函数关系式分别是什么?[知识点拨]知识点一:幂函数的定义一般地,函数

y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.名师点析

幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数.微练习在函数y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为

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答案

1解析

函数y==x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.知识点二:幂函数的性质与图象1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如下图所示.2.幂函数的性质

幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减在R上单调递增在[0,+∞)上单调递增在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减公共点(1,1)微拓展幂函数的图象观察幂函数的图象在第一象限内的特征:(1)当α>0时,第一象限内的图象是上升的,当α<0时,第一象限内的图象是下降的;(2)当x>1时,α值大,图象在上方;当0<x<1时,α值大,图象在下方.微思考幂函数的图象一定过定点吗?提示

因为无论α取何值y=xα,当x=1时,1α=1,因此幂函数的图象一定过定点(1,1).课堂篇探究学习探究一幂函数的概念例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的值.解

根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.要点笔记

幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.变式训练1如果幂函数

的图象不过原点,求实数m的取值.解

由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.探究二幂函数的图象例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案

A解析

由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.反思感悟

函数y=xα(α为常数)的图象特点(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递减.变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(

)A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0答案

A解析

画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.探究三利用幂函数的单调性比较大小例3比较下列各组中两个数的大小:反思感悟

1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.探究四幂函数性质的综合应用例4(2021黑龙江哈尔滨高一期末)函数

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m为(

)A.1 B.-1 C.2 D.-1或2答案

B解析

∵函数

是幂函数,∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或2.当m=-1时,函数为y=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.要点笔记

幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.变式训练3幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则m=

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答案

1解析

∵幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,∴3m-5<0,即m<,又m∈N,∴m=0,1.∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,故m=1.

素养形成数形结合法求解含幂的不等式典例

已知a2>,求实数a的取值范围.方法点睛

已知xm与xn的大小,求x的取值范围时,应借助幂函数y=xm与y=xn的图象,利用数形结合的方法来解决.由图象知,(1)当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);(2)当x=1时,f(x)=g(x);(3)当x∈(0,1)时,f(x)