随机误差概率密度的正态分布

随机误差概率密度的正态分布第1页，课件共28页，创作于2023年2月

随机误差的频率直方图ni/n

δ0.150.100.050.040.02-0.02-0.040ni为在范围内出现的次数第2页，课件共28页，创作于2023年2月

随机误差的概率密度分布曲线图f(δ)

δF(δ)ⅡⅠf(δ)dδdδ概率密度：与分布函数互为微积分关系分布函数第3页，课件共28页，创作于2023年2月一、随机误差的特点测试条件：研究对象在无系统误差且无粗差的独立的等精度实验结果.

特点：⑴对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分布曲线对称于纵轴。⑵抵偿性：相同条件下,当测量次数n趋于∞时,全体误差的代数和为0。⑶单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差的概率密度大,在δ=0处概率最大.⑷有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。第4页，课件共28页，创作于2023年2月二、概率密度的正态分布1、随机误差必然服从正态分布，其概率密度可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲线又称之为正态分布曲线。2、标准误差σ越小,精密度指数h越大,正态分布曲线越陡,小误差的概率密度越大，测量值越集中,测量精密度越高。

第5页，课件共28页，创作于2023年2月

随机误差正态分布曲线图ƒ(δ)

δƒ(δ)dδ-σ´´-σ´-σσ

σ´σ´´

拐点

1/(σ√2πe)

1/(σ√2π)h>h´>h´´σ<σ´<σ´´ƒ(δ)ƒ´(δ)ƒ´´(δ)第6页，课件共28页，创作于2023年2月3、σ（曲线的拐点）的大小说明了测量值的离散性,故等精度测量是一种σ值相同的测量。4、正态分布曲线的关键点峰点坐标：拐点坐标：概率：

σ第7页，课件共28页，创作于2023年2月一、算是平均值与数学期望值

1.算是平均值:2.随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶原点距，记为：

它表示了随机变量的中心位置。第四节算术平均值与标准误差第8页，课件共28页，创作于2023年2月

图1—2测量值的概率密度分布曲线ƒ(x)

1/σ√2πeƒmax(δ)0X0-σX0X0+σX第9页，课件共28页，创作于2023年2月数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均数。对于正态分布，上式积分后可得：正态分布重要特征之一：全体测量值的数学期望就是测量值的真值。在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用算术平均值x代替真值x0，用测量偏差或残余误差（简称残差）vi=xi-x代替测量误差δi=xi-x0第10页，课件共28页，创作于2023年2月二、方差与标准误差方差定义为随机变量的二阶中心距，它表征了随机变量相对于其中心位置（数学期望）的离散程度。对于全体测量值来说，母体的方差Dx表征了测量值相对于其真值X0的离散程度。

标准误差σ是方差Dx的均方根值，这也是标准误差σ又称均方根误差的原因。第11页，课件共28页，创作于2023年2月置信区间：就是随机变量的范围±(-L—L)表示又：±L=±Zσ

Z为置信系数，Z=L/σ置信限：L=Zσ置信概率φ(Z)：随机变量在置信区间内取值的概率.置信度：结合置信区间与置信概率置信水平α(Z)：随机变量在置信区间外取值的概率第五节置信区间与置信概率第12页，课件共28页，创作于2023年2月

图1—5 置信区间与置信概率ƒ(0)δ1/2α置信区间±(L)1/2α置信概率P=φ(z)=1-α第13页，课件共28页，创作于2023年2月

Zφ(Z)Zφ(Z)Zφ(Z)Zφ(Z)00.000000.90.631881.90.942572.70.993070.10.079661.00.682691.960.950002.80.994890.20.158521.10.728672.00.954502.90.996270.30.235851.20.769862.10.964273.00.997300.40.310841.30.806402.20.972193.50.995350.50.382931.40.838492.30.978554.00.999370.60.451491.50.866392.40.983614.50.999930.67450.500001.60.890402.50.987585.00.999990.70.516071.70.910872.580.99012∞1.000000.80.576291.80.928142.60.99068第14页，课件共28页，创作于2023年2月Z=1时，置信区间：±σ

置信概率φ(Z)=0.683=68.3%置信水平α(Z)=0.317=31.7%Z=2或Z=3时，置信区间：±2σ或±3σ

置信水平α(Z)=5%或置信水平α(Z)=0.3%故极限误差Δ=δlim=±2σ或±3σ

第15页，课件共28页，创作于2023年2月原始数据必须实事求是地记录，并注明有关情况。在整理数据时，再舍弃上述有明显错误的数据。基本方法是给出一个置信水平值（常给定α=0.05或0.01），然后确定相应的置信区间，则超过此区间的误差被认为是粗差，相应的测量值予以舍弃。常用这两种方法：

1）拉依达准则

2）格拉布斯准则第六节粗差的判别与坏值的舍弃

第16页，课件共28页，创作于2023年2月一、系统误差是一种恒定不变的或按一定规律变化的误差.⒈恒定系差误差的大小和符号固定不变。例如,仪器仪表的固有(基本)误差;工业仪表检验时,标准表的误差会引起被校表的恒定系差;仪表零点的偏高或偏低,观察者读数时的角度不正确(对模拟式仪表而言)等所应引起的误差均属此类.⒉变化系差是一种按照一定规律变化的系统误差.可分为累计性系差、周期性系差及复杂变化系差等.累计性系差:是一种在测量过程中,随着时间的增长,误差逐渐加大或减少的系差.它可以是随时间作线性变化(称线性系差),见图中直线b,也可以是非线性变化的(见图中曲线c).其原因往往是由于元件的老化、磨损,以及工作电池的电压或电流随使用时间的加长而缓慢降低等而引起,例如电位差计中,滑线电阻的磨损,工作电池电压随放电时间的加长而降低等

第七节系统误差

第17页，课件共28页，创作于2023年2月系统误差的变化特征εa恒定系差b累计性系差c累计性系差d周期性系差e复杂变化的系差t0第18页，课件共28页，创作于2023年2月二、系差的消除方法⒈交换法在测量过程中,将引起系差的某些条件(如被测量的位置)相互交换,而保持其它条件不变,使产生系差的因数对测量结果起相反作用,从而抵消了系差.⒉上、下读数法或换向法仪表测量机构的空程或间隙等的影响会造成误差,取上行读数和下行读数的平均值可以消除这部分系差.⒊校准法恒定系差用偶然误差的处理方法难以判断和消除.如果测量仪器本身存在恒定系差,只能用标准表进行现场检验或送检的办法解决.经过检定.仪表可以得到不同示值下的修正曲线或数表.⒋补偿法在测量过程中,由于某个条件的变化或仪器的某个环节的非线性特性等会引入变化的系差.此时常在测量系统中采取补偿措施,以便在测量过程中自动消除系差.如用热电偶测量温度时,其参比端温度的变化会引入变化系差,减弱或消除的较好办法是在测量系统中加冷端补偿器,则可起到自动补偿的作用等.。第19页，课件共28页，创作于2023年2月U0调R0

，使其平衡输出值为零则:R1R2R0RxABCDUR1R2RxR0ABCDU交换R0与RX的位置,再调R0

，使其平衡输出值为零则:第20页，课件共28页，创作于2023年2月三、系统误差的估计方法⒈恒定系差的估计恒定系差：修正值：测量值误差平均值⒉变化系差的估计精确：以函数关系式或实验公式描述一般：估计出变化系差的上/下限值b和a.设a<b，ε=（a+b）/2（恒定部分）e=（b－a）/2（幅值）第21页，课件共28页，创作于2023年2月直接检测量将误差传递给间接检测量。一、间接测量中系统误差的传递二、间接测量中随机误差的传递如果直接检测的各个量之间彼此相关，间接检测量的计算将十分复杂，应设法将相关量转化为独立量来计算。（去耦）第八节误差的传递

第22页，课件共28页，创作于2023年2月一、随机误差的合成按方和根法得到它们的标准误差:

二、系统误差的合成1、恒定系差的合成可按代数和法合成：当误差项数较多时，一般情况下按方和根法合成较好。第九节误差的合成

第23页，课件共28页，创作于2023年2月2.变值系差的合成第j个系差的误差区间为[aj,bj]系统不确定度为：ej=1/2(bj-aj)标准误差为：σj=ej/kj（系统不确定度或极限误差与置信系数之比）合成方法：（1）线性相加法：

e=e1+e2+e3+•

•

•

•

•

•+en（2）方和根法：

e=√e12+e22+e32+•

•

•

•

•

•+en2（3）广义方和根法：将各变值系差的系统不确定度转换成相应的标准误差，用方和根法合成后，得到总的标准误差，再转化为总的系统不确定度。第24页，课件共28页，创作于2023年2月

三、随机误差与系统误差的合成1.线性相加法:g=e+Δ线性相加的结果，综合不确定度g偏大。2.方和根法：g=√e2+Δ23.广义方和根法第25页，课件共28页，创作于2023年2月四、最后结果的表示（1）随机不确定度（又称A类不确定度）与系统不确定度（又称B类不确定度）在结果中分别标明。最后结果可表示为：M=（±Δ,±e）式中，M为被测量的测量值或计算结果；e及Δ分别是相应的系统、随机不确定度。（2）用随机不确定度与系统不确定度合成后的综合不确定度表示之。最后结果可写为：M±g

。第26页，课件共28页，创作于2023年2月例：标准活塞式压力计实验测得各种误差因数引起的压力的极限误差值如下。求总的不确定度（压力P=ma/S，单位均略）。（1）恒定系差：ε=+0.2，由系统安装误差引起。（2）系统不确定度：e1=10.3，是由活塞有效面积S引起的：e2=3.2，来自砝码及活塞质量（m）；e3=0.5，是由重力加速度a的误差引起的。（3）随机不确定度：Δ1=11.6，是由活塞有效面积引起的；Δ2=4.8，是由砝码及活塞质量（m）引起的。解：设引起误差的各个因数是相互独立的，按照方和根法合成之。总的系统不确定度为：=e=√e12+e22+e32=

√10.32+3.22+0.52=10.8总的随机不确定度为：

Δ=√Δ12+Δ22=√11.62+4.82=12.6故活塞压力计总的不确定度g及修正量c为：g=√e2+Δ2=√10.82+