遥感数字图像第五章

遥感数字图像第五章第1页，课件共76页，创作于2023年2月一.图像变换的作用

图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换

图像变换的作用我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。1.方便处理2.便于抽取特性第2页，课件共76页，创作于2023年2月常用的变换傅立叶变换FourierTransform2.离散余弦变换DiscreteCosineTransform3.沃尔什－哈达玛变换Walsh-HadamardTransform第3页，课件共76页，创作于2023年2月二.傅立叶变换

傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。第4页，课件共76页，创作于2023年2月

傅立叶变换的定义

傅立叶变换若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：第5页，课件共76页，创作于2023年2月函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。第6页，课件共76页，创作于2023年2月傅里叶变换的条件

傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积;第7页，课件共76页，创作于2023年2月F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。第8页，课件共76页，创作于2023年2月称为函数f(x)的能量谱或功率谱。第9页，课件共76页，创作于2023年2月高斯函数的定义为：例1高斯函数的傅立叶变换根据傅立叶变换的定义可得：第10页，课件共76页，创作于2023年2月令x+ju=t，上式可以化为：结论:与即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数为傅立叶变换函数对。第11页，课件共76页，创作于2023年2月例2.矩形函数

矩形函数形式如下:

第12页，课件共76页，创作于2023年2月根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：第13页，课件共76页，创作于2023年2月可得矩形函数f(x)的傅立叶频谱为：几何图形如下页图(b)所示第14页，课件共76页，创作于2023年2月第15页，课件共76页，创作于2023年2月第16页，课件共76页，创作于2023年2月线性系统与傅立叶变换第17页，课件共76页，创作于2023年2月傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。第18页，课件共76页，创作于2023年2月傅立叶变换在图像压缩中的应用

变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。第19页，课件共76页，创作于2023年2月傅立叶变换在卷积中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。第20页，课件共76页，创作于2023年2月三.离散傅立叶变换

离散傅立叶变换的定义要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。第21页，课件共76页，创作于2023年2月

离散傅立叶变换

离散傅立叶变换的定义离散傅立叶正变换:第22页，课件共76页，创作于2023年2月离散傅立叶逆变换:第23页，课件共76页，创作于2023年2月四.傅立叶变换的性质

共轭对称性加法定理位移定理相似性定理卷积定理能量保持定理第24页，课件共76页，创作于2023年2月

共轭对称性第25页，课件共76页，创作于2023年2月第26页，课件共76页，创作于2023年2月

加法定理第27页，课件共76页，创作于2023年2月第28页，课件共76页，创作于2023年2月位移定理第29页，课件共76页，创作于2023年2月相似性定理结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱第30页，课件共76页，创作于2023年2月第31页，课件共76页，创作于2023年2月

旋转不变性

由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。(a)(b)(d)(c)图离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱

第32页，课件共76页，创作于2023年2月卷积定理第33页，课件共76页，创作于2023年2月能量保持定理第34页，课件共76页，创作于2023年2月五.二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换:第35页，课件共76页，创作于2023年2月二维傅立叶逆变换:第36页，课件共76页，创作于2023年2月第37页，课件共76页，创作于2023年2月第38页，课件共76页，创作于2023年2月第39页，课件共76页，创作于2023年2月2.二维离散函数傅立叶变换的定义根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二位离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立叶变换为：(1)二维离散傅立叶正变换第40页，课件共76页，创作于2023年2月(2)二维离散傅立叶逆变换若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：第41页，课件共76页，创作于2023年2月Δx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔两者之间满足如下关系：第42页，课件共76页，创作于2023年2月式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：F(u，v)可以表示为如下形式：第43页，课件共76页，创作于2023年2月(1)．线性特性3.二维离散傅立叶变换的性质(1)比例性质=第44页，课件共76页，创作于2023年2月(3)平移性质二维傅立叶变换的移位特性表明，当用乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第45页，课件共76页，创作于2023年2月(4)可分离性第46页，课件共76页，创作于2023年2月二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换在此基础上对x进行一维傅立叶变换第47页，课件共76页，创作于2023年2月变量分离步骤如图所示第48页，课件共76页，创作于2023年2月若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换第49页，课件共76页，创作于2023年2月(5)周期性如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：第50页，课件共76页，创作于2023年2月(6)共轭对称性第51页，课件共76页，创作于2023年2月(7)旋转不变性图像f(x，y)可以表示为f(r，θ)。同样，空间频率域的F(u，v)采用极坐标可以表示为F(ρ，)。二维离散傅立叶存在如下旋转特性：第52页，课件共76页，创作于2023年2月(a)原始图像(b)DFT变换(c)原始图像旋转45º(d)旋转之后DFT变换结果第53页，课件共76页，创作于2023年2月(8)微分性质第54页，课件共76页，创作于2023年2月(9)平均值性质平均值定义如下平均值性质如下：即：结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。第55页，课件共76页，创作于2023年2月二维傅立叶变换(幅值及相位)意义第56页，课件共76页，创作于2023年2月左边一列:

上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;中间一列:

上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);右边一列:

上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);图像的说明第57页，课件共76页，创作于2023年2月第58页，课件共76页，创作于2023年2月1.问题的提出：傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。六.离散余弦变换第59页，课件共76页，创作于2023年2月2.正变换：3.逆变换：其中：第60页，课件共76页，创作于2023年2月4.DCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。第61页，课件共76页，创作于2023年2月返回第62页，课件共76页，创作于2023年2月返回Fourier变换的高通滤波第63页，课件共76页，创作于2023年2月另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1第64页，课件共76页，创作于2023年2月

返回压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1第65页，课件共76页，创作于2023年2月返回Fourier变换的低通滤波第66页，课件共76页，创作于2023年2月七.哈达玛正变换

1.一维哈达玛正变换

设f(x)表示N点的一维离散序列，则一维哈达玛变换如下：u=0,1,2,3,…,N-1第67页，课件共76页，创作于2023年2月其中，g(x，u)是一维哈达玛变换的核，定义如下：式中，u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈达玛变换的阶数，bi(z)是z的二进制数的第i位数值，取值为0或1。第68页，课件共76页，创作于2023年2月2.一维哈达玛逆变换

第69页，课件共76页，创作于2023年2月h(x，u)是一维哈达玛逆变换的核逆变换核与正变换核相等，即第70页，课件共76页，创作于2023年2月哈达玛变换的阶数具有规律性，即按照规律递升，高阶哈达玛矩阵可以通过低阶哈达玛矩阵的克罗尼科积运算求得，也就是说，哈达玛矩阵具有如下关系：第71页，课件共76页，