陕西省西安市庆安初级中学2022-2023九年级下学期第五次模考数学试卷（含解析）

第第页陕西省西安市庆安初级中学2022-2023九年级下学期第五次模考数学试卷（含解析）初三第五次适应性练习数学试题

一、单选题（共24分）

1．的绝对值是（）

A．B．3C．D．

2．志愿服务传递爱心，传播文明．下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．下列各式运算正确的是（）

A．B．C．D．

4．已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（）

A．当时，它是矩形B．当时，它是菱形

C．当时，它是正方形D．当时，它是菱形

5．如图，点在正方形网格的格点上，则等于（）

A．B．C．D．

6．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（）

A．B．5C．D．6

7．如图分别与相切于两点．若，则的度数为（）

A．B．C．D．

8．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

…013…

…6…

下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（）

A．①②B．①③C．①②③D．①②③④

二、填空题（共15分）

9．下列实数：中最小的实数是_________．

10．如图，将绕点顺时针旋转得到，边相交于点，若，则的度数为_________．

11．把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为_________．

12．如图，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，且点，反比例函数的图象与交于点，与交于点，则点的坐标是_________．

13．如图，四边形中，，则的正切值是_________．

三、解答题（共81分）

14．（本题5分）计算：．

15．（本题5分）解不等式组：

16．（本题5分）

17．（本题5分）如图，已知在中，．在边上求作一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

18．（本题5分）如图，点在直线上，．

求证：．

19．（本题5分）如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点上．

（1）以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为；

（2）点和点之间的距离是_________．

20．（本题5分）在如图所示的电路图中，有四个断开的开关A、B、C、D和一个灯泡L．

（1）若任意闭合其中一个开关，则灯泡L发亮的概率为_________；

（2）若任意闭合其中两个开关，请用列表法或画树状图法求灯泡L发亮的概率．

21．（本题6分）如图，为测量某建筑物的高度，小刚采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走60米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点在同一平面内，斜坡的坡度．请根据小刚的测量数据，计算出建筑物的高度．（结果要求精确到个位，参考数据：）

22．（本题7分）某商店王老板借助网络平台了解到两款网红杯子非常受欢迎，于是决定购进这两款网红杯子售卖．该店中这两款杯子售卖信息具体如下：

款杯子款杯子

进价（元/个）10085

售价（元/个）150120

王老板计划购进两款网红杯子共160个进行销售，设购进款杯子个，两款网红杯子全部售完后获得的总利润为元．

（1）求出与之间的函数关系式；

（2）若王老板计划用不超过15000元资金一次性购进两款网红杯子，则如何进货才能使获利最大？并求出最大利润．

23．（本题7分）学校组织了一次初三年级体育，考试后体育王老师为了解所带两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取10名同学的立定跳远成绩（满分15分）进行整理，分析（立定跳远成绩用表示，为整数，共分为3个等级：为不合格，为良好，为优秀），下面给出了部分信息：班10名同学立定跳远成绩：7，15，15，13，11，15，9，10，13，12班立定跳远成绩是“良好”等级的有4人，其成绩分别是：10，12，11，11．

众数中位数平均数方差优秀等级比例

A班立定跳远成绩a12.5126.850％

B班立定跳远成绩11b123.440％

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：表中的______，______；

（2）初三学生共有2000人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？

（3）根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由（写出一条理由即可）．

24．（本题8分）如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

25．（8分）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是轴上一点，点是平面内任意一点，当以点为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标．

26．（本题10分）（1）问题提出：如图（1），在中，是的平分线，，的面积为

（2）问题解决：如图（2），是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形，是一条长200米的健身步道，且是的平分线，．为了增加花卉的种植面积，规划在上找点，在上找点，沿线段修建两条健身步道，将四边形分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉，若，设的长为（米），种植花卉区域的面积为（平方米）．

①求与之间的函数关系式；

②试求当新修建的健身步道总长度最小时，种植花卉区域的面积．

参考答案：

1．B

【详解】解：的绝对值：，

故选：B．

【点拨】此题考查了绝对值的问题，解题的关键是掌握绝对值的定义．

2．D

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D．

【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．

3．D

【详解】解：A、a2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、，故本选项错误；

D、，正确．

故选：D．

【点拨】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．

4．D

【详解】解：A、当AC⊥BD时，它是菱形，说法错误，不符合题意；

B、当AC=BD时，它是矩形，说法错误，不符合题意；

C、当AC=BD且AC⊥BD时，它是正方形，说法错误，不符合题意；

D、当AB＝BC时，它是菱形，说法正确，符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．

5．A

【详解】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：

设每个小正方形的边长为a，

则CDa，

ACa，

AD2a，

∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，

∴△ACD是直角三角形，

∴sin∠BAC＝sin∠CAD，

故选：A．

【点拨】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状．

6．A

【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．

【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后

得到的解析式为：，

化简得：，

∵平移后得到的是正比例函数的图像，

∴，

解得：，

故选：A．

【点拨】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．

7．C

【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

又∵∠AOB=2∠C=130°，

则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．

故选：C．

【点拨】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．

8．B

【详解】解：设二次函数的解析式为，

由题意知：，

解得，

∴二次函数的解析式为，

①函数图象开口向上，故①选项正确；

②对称轴为直线，故②选项错误；

③当时，函数值y随x的增大而增大，故③选项正确；

④方程的解为，，故④选项错误．

故选：B．

【点拨】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．

9．－2

【详解】解：∵3-2，

∴，即最小是数是-2，

故答案为：-2．

【点拨】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，还考查了无理数的估算．

10．

【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点拨】．本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

11．1

【详解】解：由题意得，，

解得，

∴，

故答案为：1．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．

12．

【分析】由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，则根据的坐标求得．

【详解】解：∵矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且点B(5，4)，

∴的横坐标为5，

由点D(1，4)，在反比例函数的图象上，可得，

反比例函数，

在反比例函数图象上

．

故答案为：．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形，掌握矩形的性质，反比例函数的性质是解题的关键．

13．

【分析】根据已知AB=BC=BD=6.5，可得点A、D、C在以B为圆心，BA长为半径的圆上，再利用直径所对的圆周角是直角，想到延长AB交⊙B于点E，然后利用平行线的性质可得∠ACD=∠CAE，最后在Rt△ACE中即可解答．

【详解】解：∵AB=BC=BD=6.5，

∴点A、D、C在以B为圆心，BA长为半径的圆上，延长AB交⊙B于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CDB=∠ABD，∠DCB=∠CBE，∠ACD=∠CAE，

∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∴∠ABD=∠CBE，

∴AD=CE=5，

∵AE是⊙B的直径，

∴∠ACE=90°，

在Rt△ACE中，AE=2AB=13，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

14．．

【详解】解：原式=

=

=．

15．-1-5

x>-1

由②得：3x-3≤x+5

x≤4

∴不等式组的解集为：-1<x≤4

16．（增根）

【详解】试题分析：解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验.

两边同乘得

解这个方程得

经检验是增根，所以原方程无解.

考点：解分式方程

点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.

17．见解析

【详解】解：如图，点D即为所求，此时∠C+∠CAD=90°．

18．见解析

【分析】证明，即可得证．

【详解】证明：∵，

∴，

∵，

∴，即：，

又∵，

∴，

∴．

19．(1)见解析

(2)5

【分析】（1）分别找出的中点、、，顺次连接、、即可得到；

（2）根据两点之间的距离公式进行计算即可．

【详解】（1）解：如图，即为所求．

；

（2）解：如图，点和点之间的距离是5．

故答案为：5．

【点拨】本题主要考查了网格中作位似图形．解题的关键是掌握位似图形的概念及作图方法．

20．（1）；（2）

【分析】（1）根据概率公式直接填即可；

（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

【详解】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，

所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；

（2）根据题意，列表如下

由表可知，任意闭合两个开关共有种情况，其中能使灯泡发光的情况有种

（灯泡发光）．

21．建筑物的高度约为米

【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，

则，

∵斜坡的坡度，

设，则，

在中，，

，

∴

解得，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

∴，

∴建筑物的高度约为米．

22．(1)

(2)A款网红杯子购买93个，B款网红杯子购买67个；获得最大利润6995元

【详解】（1）由题意得：，

化简得：，

即y与x的函数关系式为：．

（2）∵王老板计划用不超过15000元资金一次性购进A、B两款网红杯子，

∴，

解得：，

∵x为非负整数，

∴．

∵，且，

∴当x=93时，y取得最大值，且最大值为6995，

即A款网红杯子购买93个，B款网红杯子购买160-93=67（个）时，获得最大利润6995元．

23．(1)15，11.5

(2)400人

(3)A班的成绩更好，理由：A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%

【详解】（1）将A班成绩从小到大排列：7，9，10，11，12，13，13，15，15，15，

∴A班的众数为：15，故，

B班优秀的人数为：（人），

则B班不合格的人数为：（人）

将B班成绩从小到大排列：不合格（2人），10，11，11，12，优秀（4人），

则B班中位数为：，故；

（2）A、B班中不合格比例为：，

即：（人），

答：估计初三年级立定跳远成绩不合格的有400人；

（3）∵A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%，

∴A班的成绩更好，

即A班的成绩更好，理由：A班的优秀率50%高于B班的优秀率40%．（答案不唯一）

【