2009年江西高等考试数学理科卷带详解

.2009年高考理科数学卷（江西）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有感谢阅读一项是符合题目要求的.x（）1.若复数zx211i为纯虚数，则实数x的值为A.1B.0C.1D.1或1【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】由纯虚数概念直接进行求解.【难易程度】容易【参考答案】Ax210x1，故选A.【试题解析】由纯虚数概念得：x10lnx1的定义域为（）2.函数yx23x4A.(4,1)B.(4,1)C.(1,1)D.1,1【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由对数函数、根式性质分别求解，直接得出答案.感谢阅读【难易程度】容易【参考答案】Cx10x1，(步骤1)【试题解析】由x23x404x11x1.故选C.（步骤2）3.已知全集U=AU()()中有n个元素．若AIB非空，则AIBB中有m个元素，痧AUBUU的元素个数为 ( ).A.mn B.m+n C.nm D.mn感谢阅读【测量目标】集合的含义，集合的基本运算.【考查方式】利用交并补之间的基本关系，进行计算.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】QAIB痧AU?BAIBmn，故选DUUU，4.若函数f(x)13tanxcosx,(0剟xπ)，则f(x)的最大值为（）2A.1B.2C.31D.32【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的值域.谢谢阅读【考查方式】对函数进行化简，进一步得到答案.【难易程度】容易【参考答案】BQf(x)13tanxcosxcosx3sinx【试题解析】π(0剟xπ).（步骤1）2cosx23π时，f(x)2cosππ2cos02.故选B.（步骤2）当x3335.设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点1,g(1)处的切线方程为y2x1，则曲谢谢阅读线yf(x)在点1,f(1)处切线的斜率为（）A.4B.0.25C.2D.0.5【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】利用导数求解切线方程，进而求解切点处的斜率.精品文档放心下载【难易程度】容易.【参考答案】A【试题解析】Qf(x)g(x)2x，（步骤1）谢谢阅读g(1)2,f(1)g(1)214，故选A.（步骤2）感谢阅读6.过椭圆x2y2作x轴的垂线交椭圆于点P，F为右焦点，a21(ab0)的左焦点Fb212若FPF60o，则椭圆的离心率为()12A.2B.3C.1D.12323【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】求出交点坐标，由角度关系确定离心率.【难易程度】中等【参考答案】Bc,b2QFPF60o【试题解析】由题意知，QP，(步骤1)a12tanFPFPF2c2ac2ac2e3,（步骤2）212PFb2b2a2c21e21ae21或e23（舍去），e3.（步骤3）33第6题图7.1axbyn展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的感谢阅读和为32，则a,b,n的值可能为 （ ）.A.a=2,b=1,n=5B.a=2,b=1,n=6C.a=1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用展开式中的常数项求参数的值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】1bn24335,1an3225，（步骤1）感谢阅读a1,b2,n5.（步骤2）感谢阅读8．数列a的通项anπsin2nπ，其前n项和为S，则S为（）n2cos23nn3n30A.470B．490C．495D．510【测量目标】数列的前n项和.【考查方式】由通项公式化简求得结果.【难易程度】中等【参考答案】A1cos2nπ1cos2nπnπnπ332nπ，【试题解析an2cos2sin2n22n2gcos3n332T2π3,故数列a的最小正周期为3，（步骤1）2πn31222324252282292则S2262…230230103k23k110591011229k25470.（步骤2）22k122k19.如图，正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上，则在下.列命题中，错误的为 （ ）第9题图A.OABC是正三棱锥

B.直线OB∥平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45o D.二面角DOBA为45o精品文档放心下载【测量目标】二面角，线面平行的判定.【考查方式】由题设已知条件，求解.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】将原图补为正方体B选项错误，故选B.感谢阅读10.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡精品文档放心下载片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A.31B.33C.48D.5081818181【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】根据题意，先计算没有获奖的概率，再计算获奖即可.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】没有获奖的概率：P3253313581,(步骤1).50能获奖的概率为：P1P181,故选D.（步骤2）感谢阅读11.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的精品文档放心下载长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右谢谢阅读依次记为t,t,t,t，则下列关系中正确的为（）1234A BC DA.ttttB.ttttC.ttttD.tttt1432312442313421【测量目标】几何概型的新定义.【考查方式】计算出各个选项的面积即可得出答案.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，精品文档放心下载t22,tπ,t3，1 2 3第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，谢谢阅读t23，则tttt，选C.谢谢阅读4 4 2 3 1.12.设函数f(x) ax2bxca0的定义域为D，若所有点s,f(t)s,tD构成谢谢阅读一个正方形区域，则a的值为 ( )A.2 B.4 C.8 D.不能确定【测量目标】函数定义域求参数范围.【考查方式】由韦达定理、正方形性质直接求解.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由题意知，函数

f(x) ax2bxca0的两根分别为：感谢阅读xbb24acbb24ac和x2a，12a2因为区域为正方形，xxf(x)，12max即b24ac4acb2a2aa4或a0（舍去），故a4.a24a二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上.感谢阅读13．已知向量a3,1,b1,3,ck,7，若acPb，则k=精品文档放心下载【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】向量平行，对应坐标成比例即可得出答案.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】Qac3k,6，31k36，谢谢阅读3k15,k5.14．正三棱柱ABCABC内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为π，则正三感谢阅读1 1 1棱柱的体积为 ．【测量目标】三棱锥的体积.【考查方式】利用它球面距离进行求解即可.【难易程度】中等【参考答案】8【试题解析】QA,B两点的球面距离为π，故AOB90o,感谢阅读又Q△OAB是等腰直角三角形，ABOA2OB222，精品文档放心下载则△ABC的外接圆半径为26，（步骤1）谢谢阅读3O到平面ABC的距离:dBC2OB2AB2OB223.正三棱柱高h43Q△ABC的面积S23，（步骤2）3，又正三棱柱ABCABC的体积VSh8.（步骤3）11115．若不等式9x2„kx22的解集为区间a,b,且ba2,则k【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】画出图象，数形结合，求解.【难易程度】中等【参考答案】 2

.．【试题解析】由题意知，曲线y 9x2表示的是x轴上半周的半圆，（步骤1）精品文档放心下载若使得 9x2„kx2 2，需直线在半圆之上，由图象知(如图)，感谢阅读此时有：b3.又ba2，a1.（步骤2）感谢阅读 a1处，半圆与直线相交，y22，故直线与半圆相交于点1,22，（步骤3）谢谢阅读将点1,2 2代入直线中：k 2.（步骤4）感谢阅读.第15题图16．设直线系M:xcosy2sin10剟2π,对于下列四个命题：．M中所有直线均经过一个定点;B．存在定点P不在M中的任一条直线上;C．对于任意整数nn…3，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;D．M中的直线所能围成谢谢阅读的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是【测量目标】直线方程，点到直线的距离公式.【考查方式】利用点到直线的距离公式、n边形内切性质直接进行计算.谢谢阅读【难易程度】中等【参考答案】A,B,C【试题解析】Qxcosy2sin1，点P0,2到M中每条直线的距离:精品文档放心下载d1(y2)21的全体切线组成的集合,1，即M为圆C:x2cos2sin2从而M中所有直线上与经过一个定点（0,2）,A正确；（步骤1）谢谢阅读又因(2,0)点不存在任何直线上,B正确；（步骤2）谢谢阅读对任意n≥3,存在n正边形使其内切圆为圆C,故C正确；（步骤3）精品文档放心下载M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错.（步骤4）感谢阅读三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.感谢阅读17．（1）设函数f(x)ex，求函数f(x)的单调区间；精品文档放心下载x.（2）若k0，求不等式f(x)k1xf(x)0的解集．精品文档放心下载【测量目标】利用导数求函数的单调区间，解决不等式问题.精品文档放心下载【考查方式】求函数导数，判断单调区间，分类讨论，来求解参数解集.感谢阅读【难易程度】中等【试题解析】（1）f(x)1ex1exx1ex，由f(x)0x1.(步骤1)谢谢阅读x2 x x2x0时，f(x)0；当0x1时，f(x)0；(步骤2)精品文档放心下载x1时，f(x)0.（步骤3）感谢阅读f(x)的单调增区间是1,；单调减间是,0U0,1.（步骤4）感谢阅读（2）由f(x)k1xf(x)x1kxkx2exx1kx1ex0，精品文档放心下载x2 x2x1kx10.（步骤5）谢谢阅读当0k11；（步骤6）时，解集为：x1xkk1时，解集为：；（步骤7）k1时，解集为：x1x1.（步骤8）感谢阅读k18．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方谢谢阅读案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是50%若某人获得两个“支感谢阅读持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得感谢阅读“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．写出的分布列；求数学期望E()．【测量目标】离散型随机变量的分布列及数学期望..【考查方式】分布列及数学期望的求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.感谢阅读P(0)1,P(5)3,P(10)15,P(15)5,64326416P(20)15,P(25)3,P(30)1.(步骤1)643264051015202530P13155153164326416643264（步骤2）（2）31551531326416643264数学期望E()15.（步骤3）19．△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，sinAsinB,1.cosAcosB2（1）求A,C；（2）若S 33,求a,c.△ABC【测量目标】两角差的正弦，正弦定理.【考查方式】由题设等式，进行化简，进而求解答案.【难易程度】中等【试题解析】(1)sinAsinBsinCsinAsinB,cosAcosBcosAcosBcosCsinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB感谢阅读sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB，(步骤1)感谢阅读sin(CA)sin(BC),.CABC或CAπ－(BC)(不成立)，即2C=A+B,Cπ,AB2π①.（步骤2）33又1π5π（舍去）266①②联立得：Aπ，B5π.（步骤3）412(2)S1acsinB62ac33，（步骤4）△ABC28由正弦定理得：ac,ac，解得，a22,c23.（步骤5）sinAsinC232 220．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，谢谢阅读AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.精品文档放心下载（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.第20题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.谢谢阅读【考查方式】由球的性质、等面积法，空间向量运算求解.谢谢阅读【难易程度】较难【试题解析】方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.精品文档放心下载.又QPA⊥平面ABCD，PA⊥CD，（步骤1）精品文档放心下载又QCD⊥AD，CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，AM⊥平面PCD，感谢阅读平面ABM⊥平面PCD.(步骤2)（2）由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点可得，感谢阅读AM1PD22,MCMD2CD223,（步骤3）2则S1AMgMC26,设D到平面ACM的距离为h，△ACM2QVV,又V1S1PA8,DACMMDCAMDCA3△DCA23126h8,h26.（步骤4）333设所求角为，则sinh6,6CD3arcsin3.（步骤5）（3）可求得PC=6.因为AN⊥NC，由PNPA，得PN8,（步骤6）PAPC3NC5,故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的5.（步骤7）PC99又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，感谢阅读由（2）可知所求距离为95h10276.(步骤8)谢谢阅读方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0),M(0,2,2)，（步骤3）nx,y,zuuuruuuur2x4y0设平面ACM的一个法向量，由nAC,nAM，令可得：2y2z01，则n2,1,1.（步骤4）uuur466CDgn，arcsin设所求角为，则sinuuur2633.CDn.所求角的大小为arcsin6.（步骤5）3第21题图（3）由条件可得，ANNC.在Rt△PAC中，PA2PNgPC,（步骤6）谢谢阅读所以PN8,则NCPCPN10，NC5，（步骤7）33PC9所以所求距离等于点P到平面ACM距离的5，uuur926，（步骤8）设点P到平面ACM距离为h，则hAPgnn3所求距离为5h106.（步骤9）92721已知如图，点Px,y为双曲线x2y21(b为正常数）上任一点,F为双曲线的右1008b2b22焦点,过P作右准线的垂线,垂足为A,连接FA并延长交y轴于P.122(1)求线段PP的中点P的轨迹E的方程;12(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Qx,yy0,直线QB,QD分别交感谢阅读1 1 1轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.感谢阅读第21题图.【测量目标】圆锥曲线的轨迹方程，双曲线的简单几何性质，圆锥曲线中的定点问题，间接谢谢阅读证明.【考查方式】由直线方程求解轨迹方程，进而利用椭圆性质求解定点.感谢阅读【难易程度】较难8b,y，则直线FA的方程为：【试题解析】（1）由已知得F3b,0，A32023by0x3b，（步骤1）令x0得，y9y，即P0,9y，（步骤2）020xxx2x0设Px,y，则20x2y2y09y0，即y，代入001得，5yy8b2b2y20054x2y21，x2y21.8b22b225b225b2P的轨迹E的方程为x2y21.（步骤3）2b225b2（2）在x2y21中，令y0得x22b2，则不妨设B2b,0,D2b,0，2b225b2于是：直线QB的方程为:yy1x2b，（步骤4）x2b1直线QD的方程为:yy2bx1x.（步骤5）2b1则M2by,N0,2by0,11x2bx2b112by2by则以MN为直径的圆的方程为x2y1y10，（步骤6）x2bx2b112b2y2，而Qx,y在x2y2令y0得，x212b21上，x22b21125b21.则x22b22y