第20练 平面向量中的线性问题

第20练平面向量中的线性问题［题型分析•高考展望］平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.体验高考（2015・课标全国I）设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD，贝％b.ad=|Ab-4acc.aD=4AB+3acd.ad=4Ab-|ac答案A解析VBC=3CD,:.AC-AB=3(AD-AC),—>—A—A—A1—A4—A即4AC-AB=3AD,:.AD=-3AB+§AC.(2016・课标全国甲)已知向量a=(1,m)，b=(3，-2)，且(a+b)丄b,则m等于()－8B.－6c.6D.8答案D解析由题知a+b=(4,m-2)，因为(a+b」b，所以(a+b)b=0,即4X3+(-2)X(m-2)=0，解之得m=8，故选D.(2016・山东)已知非零向量m，n满足4lml=3lnl,cos〈m,n)=|.若"丄(tm+n)，则实数t的值为()99A.4B.—4C.4D.—4答案B解析Tn丄(tm+n),.°.n・(tm+n)=0，即tm・n+lnI2=0,.tlmllnlcos〈m，n〉+lnl2=0，又4lml=3lnl，

31.\tx4in12X3+n12=0，解得t=-4,故选b.(2015・北京)在△ABC中，点M，N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC，贝Vx=,,,x=2，y,,,x=2，y二1-6高考必会题型题型一平面向量的线性运算及应用例1⑴在AABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点O在线段CD上（与点TOC\o"1-5"\h\zc,d不重合），若AO=xAB+（i—x）AC，则x的取值范围是（）A.（0,£）B.（0,3）C.（-2，o）D.（-30）►►►1►►（2）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若AD=2DB,CD=3CA+ACB，则A=.答案（1）D（2彳解析⑴设CO二yBC,VAO=AC+cO=AC+yBC=AC+y（AC-AB）=-yAB+（1+y）AC.•••BC二3CD,点O在线段CD上（与点C,D不重合）,.•・yW(0,I),VAO=xAB+(1-x)AC,•°.x=_y,.°.xW(-3，0).---1------2--2--1-(2)因为AD=2DB,CD=3CA+kCB，所以CD=CA+AD=CA+3AB=CA+3(CB-CA)=§CA+#CB，所以a=3.点评平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.⑶(OAMOB+〃OCa,卩为实数)，若a,b,c三点共线，则久+〃=1.变式训练1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD=XAB+TOC\o"1-5"\h\zkAC,则A+k等于()A.1+<2B.2—迈C.2DA'2+2(2)在AABC中，G^A+GB+(jC=0,CA=a,CB=b.若CP=ma,CQ=nb,CGQPQ=H,CG~*11=2CH，则一+一=.mn答案(1)A(2)6解析(1)根据向量的基本定理可得，ad=aC+CD=aC+(ed-eC)=ac+^,'2aC-弩BC=AC+.'2aC-¥(AC-AB)1+¥AC+所以A+k=1+迈.故选A.****1*1*(2)由64+63+60=0,知点G为AABC的重心，取AB的中点D(图略)，则CH=2CG=jCD1**1*1*1111=6(CA+CB)=6mCP+6nCQ，由p，h,q三点共线，得6m+6n=1，则m+n=6・题型二平面向量的坐标运算

例2(1)已知点A(—3,0),B(0,羽)，点O为坐标原点，点C在第二象限，且ZAOC=30°,Oc=aoa+OB，则实数久的值为.答案1解析由题意知OA=(-3,0),OB=(0^;'3),贝I」OC=(-3久，诵),由ZAOC=30°，知ZxOC=150°,.•.tan150°=I，即-¥二-¥，.•.%=1.-3久33人(2)平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(—1,2)，c=(4,1),请解答下列问题:求满足a=mb+nc的实数m,n；若(a+kc)〃(2b—a)，求实数k；若d满足(d—c)〃(a+b)，且Id—cl="75，求d.5m=95=9.解①由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(45m=95=9.-m+4n=3,•V>•、2m+n=2,②a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),•••(a+kc)〃(2b-a),13.A2X(3+4k)-(-5)(2+k)=0,.k=③设d=(x,y)，则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4)13.〔4(x-4)-2(y-1)=0,由题意得V[(x-4)2+(y-1)2=5,x=3,x=5,解得]或V、y=-1〔y=3.••・d=(3，-1)或d=(5,3).点评⑴两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a〃b的充要条件是x1y2-x2y1=0；②若a〃b(aM0)，则b=Aa.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2(1)如图所示，在A4BC中，D为AB的中点，F在线段CD上，T^AB=a,AC=f12b，AF=xa+yb，贝驿+y的最小值为()xyA.8+2<2B.8C.6D.6+^'2(2)已知向量OA=(3，-4)，OB=(6，-3)，OC=(5—m,—3—m),若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是.答案(1)B(2)m^|解析(1)因为点D为AB的中点，所以AB=2AD，因为AF=xa+yb，所以AF=2xAD+yAC.因为点F在线段CD上，所以2x+y=1，又x,y>0,所以1+2二(2x+y)R+二4+；+半三4+2、、l''^4x=8,xy112当且仅当y=2x=2时取等号，所以丄+2的最小值为8.2xy⑵因为O>A=(3,-4),O>B=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),所以AB二(3,1),BC=(-m3m-113m-1由于点a、b、c能构成三角形，所以AB与BC不共线，而当AB与BC共线时，有解得m=|，故当点A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件是m^|.高考题型精练1•设a是非零向量，久是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与加的方向相反Ba与久2a的方向相同C.I—加1三aiD.I—加1三Ula

答案B解析对于A,当久＞0时，a与的方向相同，当久＜0时，a与加的方向相反，B正确；对于C,I-AaI二I-AIIaI，由于I-刀的大小不确定，故I-AaI与aI的大小关系不确定；对于D,IAIa是向量，而I-AaI表示长度，两者不能比较大小.f3f3fIMDI2.设点M是△ABC所在平面上的一点，且MB+2MA+2MC=0,点D是AC的中点，则=22IBfMICC1一-2AB1-3案A.答解析VD是AC的中点，延长MD至E,使得DE=MD,・•・四边形MAEC为平行四边形，.•・MD=*ME=2（MA+MC）.f3f3fvmb+2MA+2MC=0,.•.MB=-|（MA+MC）3MD,•・M匚气占故选a.IBfMII－3MfDI3已知点A（—3,0）,B（0,2）,点O为坐标原点，点C在ZAOB内，IOCI=2詁。，且ZAOCn=4?n=4?设OC=久OA+OBqwr），则久的值为（）A.1112B.3c.qd.§答案解析过点解析过点C作CE丄x轴于点E（图略）.由ZAOC=4，知|OEI=ICEI=2,所以OC=OE+OB=^OA+OB,即OEmOA,2所以（-2,0）=A（-3,0），故A=3.在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=~4a^b,CD=-5a~3b，则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案C解析由已知，得Ad=AB+Bc+Cd=-8a-2b二2(-4a-b)二2BC，故AD^BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.设向量a,b满足lal=A'5,b=(2,1),则“a=(4,2)”是“allb”成立的()充要条件必要不充分条件充分不必要条件既不充分也不必要条件答案C解析若a=(4,2)，则lal=2寸5，且alb都成立；•••a〃b，设a=Ab=(2A，久)，由lai=^,'5，知4久2+久2二20,久2二4,久二±2,•°.a—(4,2)或a—(-4,-2).因此“a—(4,2)”是“a〃b”成立的充分不必要条件.在四边形ABCD中，ABlCD,AB=3DC,点E为BC的中点，贝VAE等于()2C,1CA.zAB+^ADc^AB+^AD答案A1C,2CB.^AB+zADd.|ab+|ad解析BCC—BCA+ACD+DCC—2CC-3AB+AD,CCCC1CCAE—AB+BE—AB+2BC—AB+

给出下列命题：若ai=lbl，则a=b；若A,B,C,D是不共线的四点，贝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a=b,b=c，贝9a=c；a=b的充要条件是lal=lbl且a〃b；若a〃b,b〃c,则allc.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.④⑤答案A解析①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b=0,则不对.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC=5e1,DC=3e,则OC=.(用e”e2表示)答案2(5e1+3e2)解析在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，所以OC二|Ac二2(Ab+AD)=|(Dc+BC)=1(5e1+3e2).在梯形ABCD中，ABlCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点，若AB=AAM+〃AN,贝y久+〃=.答案4解析依题意得，Am=Ab+Bc+CM=AB+Bc-1Ab=|Ab+Bc又Ab=aam+^An,于是有Ab=a(|ab+Bc)+』AB+二£久+^i^AB+(+2)BC.——<又——<又AB与BC不共线，因此有話+〃二1

<2+^=0,4由此解得A=-5,^=-2A,4所以A+^--A—5>已知点G是△ABC的外心，GA,GB,GC是三个单位向量，且2GA+Ab+AC=0,如图所示，AABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，点O是坐标原点，则lOAl的最大值为.08X答案2解析因为点G是AABC的外心，且2GA+AB+AC—0，所以点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且ZBAC是直角.又GA,GB,GC是三个单位向量，所以BC—2，又△ABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又IGAl—1，所以当OA经过BC的中点G时，lOAl取得最大值，且最大值为2lGAl—2.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1—8e2，CB=e1+3e2，CD=2e1—e2.(1)求证：A，B，D三点共线；⑵若BF=3e1—ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.(1)证明由已知得BD—CD-CB—(2e1-e2)-(e1+3e2)—e1-4e2,TAB—2e1-8e2,AAB—2BBD.又TAB与BD有公共点B,AA，B，D三点共线.⑵解由⑴可知BD—e1-4e2,tBF—3e1-ke2，且B,D,F三点共线，aBF-aBD(awr),即3e1-ke2—Ae1-4Ae2，解得k=12.、■k二.4A.已知点O为坐标原点，A(0,2),B(4,6),OM=t1<OA+t2AB.求点M在第二或第三象限的充要条件；求证：当“=1时，不论t2为何实数，A,B,M三点都共线;⑶若t1=a2，求当OM丄AB且AABM的面积为12时，a的值.(1)解oM=tOA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时，4t2<0，有<、2t]+4t2H0,故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2H0.⑵证明当t1=1时，由⑴