活用圆周角定理解题

活用圆周角定理解题在涉及圆周角或圆心角的有关计算、证明题中，若能从圆周角与圆心角的关系入手，往往可快捷地找到解题思路，从而使问题在短时间内得到有效正确的解答．下面以近几年中考题为例加以说明．一、确定角度例1（武汉中考题）如图1,00中，弦AB丄CD,垂足为E,求ZAOD+ZBOC的度数．点拨分别找出Ad和Bc所对的圆周角.解如图1,连结bd，贝y有ZA0D=2ZABD,ZB0C=2ZCDB.•.•AB丄CD.AZBED=90°,AZABD+ZCDB=90°,.•.ZAOD+ZBOC=2(ZABD+ZCDB)=180°.、证明切线例2（日照中考题）如图2,AB是OO的直径，AC是弦，ZAOC=2ZACD,AD丄CD于点D,求证：CD是OO的切线.点拨找圆心角ZAOC所对弧上的圆周角.证明如图2,连结BC,则有ZAOC=2ZABC,•/Z.AOC=2Z.ACD,.'.乙ABC=Z.ACD.又4〃是00的直径,OC=0B,:.乙ACB=90。，乙OCB=厶OBC,厶OCR+厶ACO=90°,LACD+Z.ACO=90°,/.CD丄CO,・••CD是OO的切线.三、求三角函数值例3（雅安中考题）如图3,AB是OO的直径，C、D是OO上的点，ZCDB=30°,过点C作OO的切线交AB的延长线于点E,求sinZE的值.点拨找BC所对的圆心角.解如图3,连结OC,•CE是OO的切线，AOC丄CE,即ZOCE=90°.

VZCDB=30°..•・ZCOB=2ZCDB=60°,.•・ZE=90°—ZCOB=30°,1••sinZE=2四、计算线段长度例4（孝感中考题）如图4,AABC内接于OO,ZB=60°,CD是0O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC.若PD=\：3，求0O的直径.点拨找Ac所对的圆心角.解如图4,连结OA.•••Z.B=60°,/.乙AOC-2Z.B=120°.又OA=OC,厶OAC=厶OCA=30°.又'/AP=AC,・••LP=LACP=30°,L.OAP=厶AOC-AP=90°,OA丄PA.在RtAO4P中，•••乙P=30°,PO=20A=OD+PD.又•/OA=OD,PD-OA.TPD=屁2OA=2PD=2再，oo的直径为2再.五、求不规则图形面积例5（宿迁中考题）如图5,AB是半圆O的直径，且AB=8,点C为半圆上的一点.将此半圆沿bc所在的直线折叠，若Bc恰好过圆心o,求图中阴影部分的面积（结果保留n.点拨找Ac所对的圆心角与圆周角.解如图5,连结OC,作半径OE丄BC于点D,由折叠知，OE=OD.1•.•OB=OE,.・.OD=—OB.2图5乙ABC=30°,.;厶A0C=60°.图5OC-OBt•••OC和它对的弧组成弓形面积与0B和它对的弧组成弓形面积相等，42360_=T*六、求最大值1例6（天津中考题）如图6,已知AB=AC=8,点D是动点，满足ZCDB=—ZBAC2=30°，求△DBC面积的最大值.D图6 图了1点拨由ZCDB=—ZBAC及AB=AC知，B、C、D三点在以A为圆心的圆上.2解如图7,以A为圆心，AB为半径作OA.•/乙CDB=yZ.BAC=30°,点D在 上，乙B4C=60°.连结BC,当点D在弦BC的垂直平分线DE上时，△仙B面积最大.•/AE=cos30°x8=4事、:,DE=AD+4E=8+4#,AADB面积最大值为：*BC•DE=yx8x（8+4#）=32+质.七、探求点的坐标例7（呼和浩特中考题）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（－6，0）.点C是y轴上的一个动点，当ZBCA=45。时，求点C的坐标.点拨以ZBCA为圆周角找对应的圆心角.1解（1）如图8,过点E在第二象限作EP上BA,且EP=—AB=5,2.•.△PBA为等腰直角三角形，ZBPA=90°,PA=PB=5“—.以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作OP,与y轴的正半轴交于点C.•••ZBCA为0P的圆周角，1.•・ZBCA=—ZBPA=45°,—・••点C为所求的点，过点P作PF丄y轴于点F,则OF=PE=5,PF=1.曲RSPFC中,PF=1,PC=5血，由勾股定理，得CF=/PC2-PF2=7;.OC=OF+