专题四平衡中的极值和临界问题

专题四平衡中的极值和临界问题——精剖细解预习讲义学问点1：平衡中的极值和临界问题1、静态平衡和动态平衡静态平衡v=0，a=0；静止与速度v＝0不是一回事。物体保持静止状态，说明v＝0，a＝0，两者同时成立。假设仅是v＝0，a≠0，如自由下落开头时刻的物体，并非处于平衡状态。动态平衡v≠0，a=0。瞬时速度为0时，不肯定处于平衡状态，如竖直上抛最高点。只有能保持静止状态而加速度也为零才能认为平衡状态。物理学中的“缓慢移动〞一般可理解为动态平衡。动态平衡：通过掌握某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。动态平衡的根本思路：化“动〞为“静〞，“静〞中求“动〞。2、静态平衡的分析方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，那么任意两个力的合力肯定与第三个力大小相等，方向相反。分解法物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，那么其分力和其他两个力满意平衡条件。正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满意平衡条件。力的三角形法对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，依据正弦定理、余弦定理或相像三角形等数学学问求解未知力。3、动态平衡分析方法解析法假如物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，依据自变量的变化确定因变量的变化。还可由数学学问求极值或者依据物理临界条件求极值。图解法一个力恒定、另一个力的方向恒定时可用此法．由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可推断出极值。相像三角形法一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形〞与空间的某个“几何三角形〞总相像时用此法。4、平衡中的临界极值问题临界或极值条件的标志：有些题目中有“刚好〞、“恰好〞、“正好〞等字眼，明显说明题述的过程存在着临界点。假设题目中有“取值范围〞、“多长时间〞、“多大距离〞等词语，说明题述的过程存在着“起止点〞，而这些起止点往往就对应临界状态。假设题目中有“最大〞、“最小〞、“至多〞、“至少〞等字眼，说明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。假设题目要求“最终加速度〞、“稳定加速度〞等，即是求收尾加速度或收尾速度。5、解决动力学临界、极值问题的常用方法极限分析法一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰中选取某个变化的物理量将问题推向极端〔“极大〞、“微小〞、“极右〞、“极左〞等〕，从而把比拟隐藏的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。临界条件必需在变化中去查找，不能停留在一个状态来争论临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和微小，并依次做出科学的推理分析，从而给出推断或导出一般结论。假设分析法临界问题存在多种可能，特殊是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能消失临界条件，也可能不消失临界条件时，往往用假设法解决问题。数学极值法通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系或画出函数图象，用数学方法求极值如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值，但利用数学方法求出极值后，肯定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行争论和说明。物理分析方法依据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定那么进行动态分析，确定最大值与最小值。平衡中的临界和极值问题分析单项选择题1．如下图，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ，设横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力大小分别为F1和F2，以下结果正确的选项是〔〕A． B．C． D．【答案】D【详解】O点的受力状况如下图依据几何关系，有应选D。2．如下图，外表粗糙的斜面顶端安有滑轮，两物块P，Q用轻绳连接并跨过滑轮〔不计滑轮的质量和摩擦〕，P悬于空中，Q放在斜面上，两物块和斜面均处于静止状态。当用沿斜面对上渐渐增大的推力推Q时，两物块和斜面均静止不动，那么以下说法正确的选项是〔〕A．Q受到的摩擦力肯定变大B．绳上拉力肯定变小C．Q与斜面间的压力肯定变大D．斜面与地面间的摩擦力肯定变大【答案】D【详解】A．由于P、Q两物体质量关系不确定，所以Q相对于斜面的运动趋势不确定，假如原来Q的运动趋势沿斜面对下，那么增加推力之后，Q的摩擦力先减小后增加，故A错误；B．因物体P静止，所受拉力必定始终等于重力，不变，故B错误；C．推力沿着斜面方向，并不会转变Q对斜面的压力，因此压力大小始终等于Q重力垂直于斜面的分力大小，故C错误；D．由整体法，斜面与地面间的摩擦力肯定等于推力沿着水平方向的分力，肯定增大，故D正确；应选D。3．如下图，用一轻质细绳系着一质量为2kg的小球，细绳的另一端固定在墙壁上，为了防止小球遇到墙壁，在小球和墙壁之间放置一水平轻质弹簧，弹簧的一端与竖直墙壁固定。小球处于静止状态时，细绳与竖直墙壁之间夹角为30°，重力加速度为10m/s2，小球可视为质点，那么〔〕A．小球所受合力为20NB．细绳上的张力大小为C．弹簧处于伸长状态，弹力大小为D．剪断细绳瞬间小球的加速度大小为【答案】B【详解】A.小球处于静止状态，合力为零，A错误；B.对小球进行受力分析，设细绳得拉力为T，依据共点力平衡得那么B正确；C.由受力分析得方向水平向右，弹簧处于压缩状态，C错误；D.剪断细绳瞬间，弹簧弹力不会突变，重力不变，那么细绳的拉力为小球的合力，依据牛顿其次定律得那么D错误。应选B。4．如下图，a、b两个小球穿在一根与水平面成角的光滑固定杆上，并用一细绳跨过光滑定滑轮相连。初始时两球静止，Oa绳与杆的夹角也为，Ob绳沿竖直方向。现沿杆缓慢向上拉动b球，至Ob与杆垂直后静止释放，那么〔〕A．a球质量是b球的2倍B．b球返回到初始位置时，其速度是a球速度的倍C．b球返回到初始位置时，其动能是a球动能的倍D．从释放至b球返回到初始位置，b球重力势能减小量小于b球返回初始位置时的动能【答案】C【详解】分别对a、b小球受力分析，如下图A．依据共点力平衡条件可得，解得即故A错误；D．b球回到初始位置时，对b由于绳子拉力对b球做负功所以即D错误；BC．b球回到初始位置时，连接a、b两个小球的绳子与杆的夹角分别为，此时两球的动能为，又代入计算可得B错误，C正确。应选C。5．如下图，质量为m、带正电的小球A通过绝缘轻绳悬挂于O点，O点正下方用绝缘杆固定有一个带正电的小球B，现让不带电的小球C与A接触后离开，那么A、B两球间的库仑力及轻绳拉力如何变化〔〕A．库仑力大小不变 B．库仑力大小增大C．拉力大小不变 D．拉力大小减小【答案】C【详解】对A球受力分析，如下图力三角形与几何三角形OAB相像，所以有，即，可得A的电荷量减小，因此AB变小，可知库仑力F变小，拉力T大小不变。应选C。6．水平固定放置的光滑圆筒横截面如下图，圆心为O，两个可视为质点的小球固定在质量不计的刚性杆两端，开头时系统处于静止状态，与水平方向的夹角分别为37°和53°。现对小球a施加始终沿圆切线方向的推力F，使小球在圆简内缓慢移动，直到小球b到达与圆心O等高处，。以下说法正确的选项是〔〕A．质量之比为4：3B．对a施力前，圆筒对的弹力大小之比为3：4C．移动过程杆上的弹力渐渐增加，圆筒对b的弹力渐渐增加D．b到达与圆心O等高处时，F的大小小于b的重力【答案】B【详解】A．对小球a施力前，对受力分析，组成的矢量三角形如图甲所示，由正弦定理有杆对的弹力等大反向，可得A错误；B．由正弦定理有由于有可得B正确；C．移动过程对b受力分析，杆对b的弹力与圆筒对b的弹力间的夹角保持不变，画出力的矢量图如图乙所示，可以看出移动过程先增大后减小，当方向与竖直方向成45°角时到达最大，杆对b的弹力始终增加，小球b到达与圆心O等高处时，到达最大，C错误；D．小球b到达与圆心O等高处时，小球a恰好位于圆筒最低点，对小球b受力分析，此时杆对b的弹力对小球a受力分析，沿圆筒切线方向，有D错误。应选B。7．扩张机的原理如下图，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力，滑块D就能在比大得多的压力下向上顶起物体，滑块D与左壁接触面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，假设要扩张机能够顶起质量为的物体，并使其上升，必需满意的条件为〔〕A． B．C． D．【答案】A【详解】将力分解成沿杆的两个力、，那么杆AB顶滑块D使滑块与墙面之间产生一个垂直墙面的压力同时给滑块一个沿墙壁向上的力当满意条件那么滑块D就能在比大得多的压力下向上顶起质量为的物体可得，应选A。8．2021年12月哈尔滨连降大雪，路面结冰严峻，行驶汽车难以准时停车，常常消失事故。因此某些路段通过在道路上洒一些炉灰来增加轮胎与地面的摩擦。如下图，一辆运送炉灰的自卸卡车装满炉灰，灰粒之间的动摩擦因数为，炉灰与车厢底板的动摩擦因数为，卸灰时车厢的倾角用表示〔〕〔假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕以下说法正确的选项是〔〕A．要顺当地卸洁净全部炉灰，应满意B．要顺当地卸洁净全部炉灰，应满意C．只卸去局部炉灰，车上还留有一局部炉灰，应满意D．只卸去局部炉灰，车上还留有一局部炉灰，应满意【答案】C【详解】AB．要使炉灰全部却下，对全部沙子整体分析，有所以AB错误；CD．要使炉灰留下一局部，只卸去局部沙子，对留下的局部沙子分析得出对上局部沙子分析得出即D错误C正确。应选C。9．如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A〔A、B接触面竖直〕，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。，A与地面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。那么A与B间的动摩擦因数是〔〕【答案】B【详解】对A、B整体，设A与地面间的动摩擦因数为μ1，有μ1=0.2，由受力平衡可知对B物体，由受力平衡可知解得应选B。10．如下图，轻绳两端分别与A、C两物体相连接，mA=1kg，mB=2kg，mC=3kg，物体A与B、B与C间的动摩擦因数均为μ=0.1，地面光滑，轻绳与滑轮间的摩擦可忽视不计，假设要用力将B物体拉动，使之向左运动，那么作用在B物体上水平向左的拉力最小为〔取g=10m/s2，物体间最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕〔〕A．1N B．2N C．4N D．6N【答案】B【详解】AB间的最大静摩擦力为BC间的最大静摩擦力为由此可知，故AB间先发生相对滑动，BC将一起向左运动，对A物体可得对BC整体可得解得应选B。11．如下图，物体A放在水平桌面上，通过定滑轮悬挂一个重为20N的物体B，且物体A与桌面间的最大静摩擦力为要使A静止，需加一水平向左的力，那么力的取值可以为〔〕A．10N B．8N C．15N D．30N【答案】C【详解】假设摩擦力方向向右到达最大静摩擦力，拉力最大，那么有假设摩擦力方向向左到达最大静摩擦力，拉力最小，那么有力的取值范围为应选C。12．如下图，A、B两物体叠放在水平地面上，A物体质量m=20kg，B物体质量M=30kg。处于水平位置的轻弹簧一端固定于墙壁，另一端与A物体相连，轻弹簧处于自然状态，其劲度系数为250N/m，A与B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.5。现有一水平推力F作用于物体B上使B缓慢地向墙壁移动，当移动0.2m时，水平推力F的大小为〔A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2〕〔  〕A．350N B．300N C．250N D．200N【答案】B【详解】设A、B间没有相对滑动，那么轻弹簧的压缩量为，此时轻弹簧的弹力大小为而A与B间的最大静摩擦力为所以A、B之间没有相对滑动，它们之间的摩擦力为静摩擦力，其大小为B与地面间的摩擦力为滑动摩擦力，其大小为所以应选B。多项选择题13．如下图，质量为的滑块A置于水平地面上，质量为的滑块B在一水平推力作用下紧靠滑块A〔A、B接触面竖直〕，此时B刚好不下滑。A与B间的动摩擦因数为〔〕，A与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。假设在缓慢增大对B的水平推力的过程中，A始终不滑动，那么〔〕A．A与B间的摩擦力缓慢增大B．A与B间的摩擦力大小为C．A与地面间的摩擦力缓慢增大D．A与地面间的最大静摩擦力为【答案】CD【详解】AB．对物体受力分析，受重力、水平推力、A对B的支持力和向上的静摩擦力，依据平衡条件，在竖直方向上有故间的静摩擦力大小不变，AB错误；C．对整体分析，受重力、地面对整体的支持力、水平推力和地面的静摩擦力，依据平衡条件，在水平方向有故随着水平推力的增加，地面对A物块的静摩擦力不断增加，C正确；D．最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，那么与地面间的最大静摩擦力为D正确。应选CD。14．如下图，倾角的斜面C置于水平地面上，一质量为m的小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与一质量也为m的物体A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行。某一段时间内A匀速下降，C处于静止状态。重力加速度大小为g，，，那么〔〕A．绳子的拉力大小为mg mg D．假设将细绳剪断，B最终将停在斜面上【答案】AB【详解】A．物体A匀速下降，依据受力平衡可知，绳子的拉力大小为故A正确；B．物体B匀速上滑，依据受力平衡可得解得动摩擦因数为故B正确；C．把B、C看成一个整体，依据受力平衡可知，C受到地面的摩擦力大小为故C错误；D．假设将细绳剪断，由于可知物体B不能停在斜面上，故D错误。应选AB。15．如下图，木板C放在水平地面上，木板B放在C的上面，木板A放在B的上面，A的右端通过轻质弹簧与固定的竖直墙壁相连，弹簧水平且处于原长。A、B、C质量相等，且各接触面间动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用外力向左拉动C，当三者稳定后弹簧弹力大小为T，外力大小为F。那么在系统稳定后，以下说法正确的选项是〔〕A．B对A的摩擦力是静摩擦力，大小为T，方向向左B．B对A的摩擦力是滑动摩擦力，大小为T，方向向左C．B对C的摩擦力是静摩擦力，大小为T，方向向右D．C受到地面的摩擦力大小为F，方向向右【答案】BC【详解】由题意可知C、B之间的滑动摩擦力大小是B、A之间滑动摩擦力大小的2倍，所以三者稳定时A、B、C不行能同时发生相对滑动。假设A、B之间相对静止，B、C之间相对滑动，那么应有并且明显假设不成立，那么只可能是A、B之间相对滑动，B、C之间相对静止，即B对A的摩擦力是滑动摩擦力，大小为T，方向向左；B对C的摩擦力是静摩擦力，依据平衡条件可知C对B的摩擦力和A对B的摩擦力大小相等、方向相反，因此B对C的摩擦力大小为T，方向向右。对B、C整体依据平衡条件可知即C受到地面的摩擦力大小为综上所述可知AD错误，BC正确。应选BC。16．网课期间，小五同学在家争论物体受力的方向与大小的关系。如下图，第一次试验：小五用两轻质细线拴住一物体，一根细线系在墙壁上O点，保持系在墙壁上的细线与竖直方向的夹分为，将另一细线由水平缓慢拉至竖直方向的过程中，设系在墙壁的细线上的拉力大小为，另一细线上的拉力大小为；其次次试验：小五同学用一根轻质细线将物体系在墙壁上O点，用外力缓慢拉结点，的方向与夹角为且保持不变，使OO'从竖直拉至水平，设上的拉力大小为。物体所受的重力大小为G。那么以下说中法正确的选项是〔〕A．先减小后增大 B．先减小后增大C．先增大后减小 D．先增大后减小【答案】BD【详解】AB．第一次试验中对物体受力分析如下，由三角形法那么可知始终减小，先减小后增大，故A错误，B正确；CD．其次次试验中对结点受力分析如下，可知先增大后减小，始终增大，故C错误，D正确。应选BD。17．如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，最高点B处固定一小滑轮，质量为m的小球A穿在环上．现用细绳一端拴在A上，另一端跨过滑轮用力F拉动，使A缓慢向上移动．在移动过程中关于铁丝对A的支持力，说法正确的选项是〔〕A．的方向始终背离圆心O B．大小不变C．细绳拉力F大小变大 D．小球所受合力减小【答案】AB【详解】D．小球缓慢向上移动的过程中，小球A处于三力平衡状态，故小球所受合力始终为零，故D错误；ABC．依据平衡条件知mg与的合力与T等大反向共线，作出mg与的合力，如下图由三角形相像得由图可知T与F大小相等，依据图中的几何关系知，A缓慢向上移动时不变，减小，联立解得的方向始终背离圆心，而F大小变小，故AB正确，C错误。应选AB。解答题18．如下图，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上，一个原长为的轻弹簧，一端固定在大圆环顶点A，另一端与小球相连，当小球静止于B点时，弹簧的长度。图中角未知，试求：〔1〕小球在点时，大圆环对它的支持力大小；〔2〕该弹簧的劲度系数k。【答案】〔1〕；〔2〕【详解】〔1〕依据题意，对小球受力分析，如下图由于小球静止于点，那么小球所受合力为0，由平衡条件有由相像三角形