理论力学06点的合成运动

第六章点的合成运动1§6–1点的合成运动的概念

§6–2.1点的速度合成定理

§6–2.2牵连运动为平动时点的加速度合成定理

§6–3牵连运动为转动时点的加速度合成定理习题课第六章点的合成运动2§6-1点合成运动的基本概念

一．动点、坐标系：

1、动点：所研究的点（运动着的点）。

2.静参考系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。

3.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。

为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。运动学3二．三种运动及三种速度与三种加速度。

１．绝对运动：动点对静系的运动。

２．相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。

３．牵连运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。

绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。点的运动刚体的运动运动学4下面举例说明以上各概念：

三．动点的选择原则：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。

四．动系的选择原则：动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。运动学动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上5运动学相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线6运动学绝对速度：相对速度：牵连速度：7绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：运动学8动点：A（在圆盘上)动系：O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动运动学动点：A1（在O'A1

摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动9

若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上)

A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动[注]要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。运动学10§6－２点的速度、加速度合成定理绝对、相对和牵连速度之间的关系就是速度合成定理，它表明：三个速度矢量的任何一个可以由其余两个叠加得到，表达式为：运动学(6.1)即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。11牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理是怎样表达？下面我们来分析一特例。运动学设一圆盘以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr

沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？12相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出运动学选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点13运动学

分析上式： 还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？2vr又是怎样出现的呢？牵连运动为转动时点的加速度合成定理的证明留待以后。14运动学绝对、相对和牵连加速度之间的关系就是加速度合成定理，表达式为：(6.3)(6.2)或写成其中称为科氏加速度（Coriolisacceleration）；

ω

为动系的角速度矢量形式很简单、物理意义很明确，推导比较复杂；因此，我们到本章的最后再推导

当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。15解：取杆上的A点为动点，

动系与凸轮固连。运动学[例1]

已知：凸轮半径求：j=60o时,顶杆AB的加速度。请看动画16绝对速度va=?,方向AB

；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr

=?,方向CA;

相对加速度art=?方向CA ,方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→运动学由速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。17运动学因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同n18点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。运动学19运动学20解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。 绝对速度va

=r

方向

OA

相对速度vr

=?方向//O1B

牵连速度ve

=?方向O1B（）运动学[例2]

曲柄摆杆机构已知：OA=r,,OO1=l图示瞬时OAOO1

求：摆杆O1B角速度1由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四边形如图示。21由速度合成定理va=vr+

ve

，作出速度平行四边形如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，

静系固结于基座。绝对速度va

=?待求，方向//AB

相对速度

vr

=?未知，方向CA

牵连速度ve=OA=2e,方向

OA（翻页请看动画）

运动学[例3]

圆盘凸轮机构已知：OC＝e,

,（匀角速度）图示瞬时,OCCA

且

O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。22运动学23由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：

选取动点，动系和静系。

三种运动的分析。三种速度的分析。根据速度合成定理作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。运动学24动点、动系和静系的选择原则

动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动

动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。运动学25

分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。运动学[例４]

已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。26解:取凸轮上C点为动点,

动系固结于OA杆上,

静系固结于基座。绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:如图示。根据速度合成定理做出速度平行四边形（）运动学这类问题称为直杆与圆轮相切接触问题，请记住取轮心为动点27解:动点:顶杆上A点；动系:凸轮;静系:地面。绝对运动:直线;

绝对速度:va=?待求,方向//AB;

相对运动:曲线;相对速度:vr=?方向n;

牵连运动:定轴转动;

牵连速度:ve=r，方向OA，。运动学[例2]

已知：凸轮机构以匀

绕O轴转动，图示瞬时OA=r

，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。28运动学根据速度合成定理做出速度平行四边形29运动学由牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示向n轴投影：30解：根据做出速度平行四边形方向：与相同。运动学[例4]

曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,,,1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。31运动学第六章点的合成运动习题课一．概念及公式

1.一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成．

2.速度合成定理

3.加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时32运动学二．解题步骤

1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,

角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。33运动学

二．解题技巧

1.恰当地选择动点.动系和静系,应满足选择原则.，具体地有：

两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。

运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。

机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,

相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。

34运动学

特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化.此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2.速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。35

四．注意问题

1.牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。

2.牵连转动时作加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。

3.加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。

4.圆周运动时，非圆周运动时，(为曲率半径)运动学r36已知:OA＝l,=45o

时，w,e;

求：小车的速度与加速度．解：动点：OA杆上A点;动系：固结在滑杆上;静系：固结在机架上。

绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；[例1]曲柄滑杆机构请看动画运动学37小车的速度：

根据速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示投至x轴：，方向如图示小车的加速度：根据牵连平动的加速度合成定理做出加速度矢量图如图示。运动学38[例2]摇杆滑道机构解：动点:销子D(BC上);动系:固结于OA；静系:固结于机架。

绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，，沿OA线 牵连运动：定轴转动，（）已知

求:OA杆的

,。根据速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。请看动画运动学39投至轴：（）根据牵连转动的加速度合成定理运动学40请看动画[例3]曲柄滑块机构解：动点:O1A上A点;动系:固结于BCD上,静系固结于机架上。

绝对运动：圆周运动;

相对运动：直线运动;

牵连运动：平动;

，水平方向运动学已知：

h;

图示瞬时;

求:该瞬时杆的w2。41

根据 做出速度平行四边形再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，静系固结于机架上绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，根据 做出速度平行四边形）（运动学42解:取凸轮上C点为动点，动系固结于OA杆上，静系固结于地面上．

绝对运动:直线运动，相对运动:直线运动，牵连运动:定轴转动，已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上;已知;求:该瞬时OA杆的角速度和角加速度。分析:由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。[例4]凸轮机构方向请看动画运动学43）(做出速度平行四边形,知根据根据做出加速度矢量图投至轴：转向由上式符号决定，>0则，<0则运动学44（请看动画）[例5]刨床机构已知:主动轮O转速n=30r/minOA=150mm,图示瞬时,OAOO1求:O1D杆的

1、1

和滑块B的。运动学45运动学其中）(解：动点：轮O上A点动系：O1D,静系：机架根据做出速度平行四边形。46根据做出加速度矢量图投至方向：）(运动学再选动点:滑块B;动系:O1D;静系:机架。47根据做出速度矢量图。

投至

x轴：根据做出加速度矢量图运动学其中48[例6]套筒滑道机构图示瞬时,h已知,求:套筒O的，。解：方法1：

A点作直线运动代入图示瞬时的已知量，得（）（）请看动画运动学49对比两种方法（）投至方向：（）

方法2：动点:CD上A点，

动系:套筒O，静系:机架

运动学其中50运动学例6.6如图所示，小环P同时套在AB杆和圆环E上，AB杆和圆环E均以匀角速度ω作定轴转动，图示瞬时，AB杆与圆环半径DE垂直，AB=DE=R。求该瞬时小环P的速度和加速度的大小解：动点：小环P；动系1：AB杆，动系2：圆环E。速度分析如图所示，其中下标中带‘1’的量对应于动系1、下标中带‘2’的量对应于动系2。由速度合成定理，有51运动学由速度合成定理，有：联立，有：向Vr1方向投影注意Vr1与Ve1正交向Vr2方向投影52运动学加速度分析如图联立，有：向ar1方向投影引入由加速度合成定理，有：53运动学本题属于一个动点、多个动系的类型54运动学例6.7如图机构中，转臂OA以匀角速度绕O转动，转臂中有垂直于OA的滑道，DE杆可在滑道中相对滑动。图示瞬时DE垂直于地面，求此时D点的速度、加速度。解：动系：转臂OA；动点1：DE杆上D，动点2：DE杆上E。速度分析和加速度分析如图所示，DE杆的相对运动为直线平动，因此D、E两点的相对速度、相对加速度和科氏加速度相等。55运动学对E点应用速度合成定理向vr所在方向投影对D点应用速度合成定理注意到有I,j分量表示的速度56运动学如图可知得57运动学对E点应用加速度合成定理向ar所在方向投影对D点应用加速度合成定理有58运动学得由本题属于一个动系、多个动点的类型59§6-3动系任意运动时速度、加速度合成定理的推导运动学6.3.1绝对导数、相对导数的概念在不同的坐标系中的观察者对同一个运动矢量所看到的变化情况是不一样的，与参考系运动有关。一个标量只有大小、没有方向，比如物体的长度、质量密度、温度等标量，其大小的变化与参考系运动无关同一矢量在不同的坐标系中对时间的导数不同同一标量S在不同的坐标系中对时间的导数值相等60运动学定义：绝对导数——即静系里的观察者将矢 量A对时间t求导，记为；相对导数——即动系里的观察者将矢量 A对时间t求导，记为。设静系、动系均为直角坐标系，静系的矢量基:i,j,k

动系的矢量基:e1e2e3

，如图6.6，61运动学矢量A的相对导数:矢量A在静系和动系中的投影式:矢量A的绝对导数:62运动学可见，只有动系平动时，即:矢量A换在相对坐标中求绝对导数:使得:才有:动系平动时才有矢量的绝对导数与相对导数相等63运动学6.3.2空间任意运动刚体的运动分析对象：在空间作任意运动的刚体任取一点A，称为基点，附加一个随基点平动的 动坐标系AxAyAzA，在动坐标系AxAyAzA中观察：刚体作定点转动 角速度、角加速度矢量分别记为ω，α，注意：动坐标系平动，所以在静坐标系中应看到相同的角速度、角加速 度矢量ω，α。 在另一个基点上建立的平动坐标系中也应看到相同的ω，α

其大小、方向均与基点位置无关，没有明确的起点，是自由矢量刚体的任意运动可以分解成随基点的平动和绕基点的转动的合成64运动学刚体上任一点的速度、加速度由速度定义有：前面有刚体定点转动加速度矢量表达式得任意运动刚体上任一固连矢量r=AM的绝对导数：动系平动由刚体上一点的速度：求导可得空间任意运动刚体任一点M加速度：（6-38）（6-39）（6-40）65运动学对与动系固连的基矢量e1,e2,e3，应用上式得：6.3.3速度、加速度合成定理的推导此式即泊松（Poisson）公式下面推导速度合成定理由相对运动矢径：按相对速度定义有：参见（6-38）式刚体上一点的速度表达：结合牵连速度定义，参见右图有（6-44）66运动学引用泊松公式得绝对速度：得速度合成定理：上式成为：注意前面有牵连速度刚体上一点的速度：67运动学牵连加速度即参考体上的M点（牵连点）在t瞬时的加速度引用刚体上一点的加速度表达式（6-40）加速度合成定理由定义可得相对加速度为：得牵连加速度：按定义绝对加速度68运动学其中相对速度的绝对导数牵连速度的绝对导数（6-49）（6-44）69运动学将所得各式联立70运动学相对速度的存在会使牵连点发生变化而使得牵连速度发生变化牵连运动的存在会使相对速度的方向发生变化而使得相对速度发生变化71

第六章

6.4（套筒问题）；6.15(套环问题)；6.16（动点为非接触点问题、牵连点、科氏加速度）；6。17（动系平面运动）；（此章题目均要求计算速度和加速度，布置作业时，可先只要求计算加速度）习题72运动学第六章结束73§8-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理由于牵连运动为平动，故由速度合成定理对t求导：运动学设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。74(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）运动学—牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。∴一般式可写为：75运动学三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度

t

瞬时在位置Ｉt+Dt瞬时在位置II

可以看出，经过Dt时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。

设有已知杆OA在图示平面内以匀绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。76运动学其中--在D