高考数学总复习-第6章-第7讲-数学归纳法课件-理-新人教A版

第7讲数学归纳法第一页，共50页。不同寻常的一本书，不可不读哟！

1.了解数学(shùxué)归纳法的原理．2.能用数学(shùxué)归纳法证明一些简单的数学(shùxué)命题.第二页，共50页。1个重要方法数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法，特别是数列中等式、不等式的证明，在高考中经常出现．2个必会步骤(bùzhòu)1.第一步是递推的基础，验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．2.第二步是递推的依据，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它．第三页，共50页。3点必须(bìxū)注意1.初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．2.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．3.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.第四页，共50页。课前自主导(zhǔdǎo)学第五页，共50页。1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取________时命题成立，这一步是归纳奠基．(2)假设(jiǎshè)n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．第六页，共50页。第七页，共50页。2．数学(shùxué)归纳法的框图表示第八页，共50页。第九页，共50页。第十页，共50页。第十一页，共50页。核心要点(yàodiǎn)研究第十二页，共50页。例1[2013·青岛调研]用数学(shùxué)归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．[审题视点]从n＝k到n＝k＋1的过渡，左边增加了因式(2k＋1)(2k＋2)减少了因式k＋1，右边2k变成2k＋1增加了因式(2k＋1)．第十三页，共50页。[证明](1)当n＝1时，左边＝2＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)＝2k·2(2k＋1)·1·3·5…(2k－1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]∴当n＝k＋1时等式也成立．由(1)、(2)可知(kězhī)，等式对任何n∈N＋都成立．第十四页，共50页。1．用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几．2．由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确(zhèngquè)写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．第十五页，共50页。第十六页，共50页。第十七页，共50页。第十八页，共50页。第十九页，共50页。第二十页，共50页。第二十一页，共50页。1．用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围．2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设n＝k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标(mùbiāo)式的证明可以用放缩法、基本不等式、分析法等．第二十二页，共50页。第二十三页，共50页。第二十四页，共50页。例3[2013·保定质检]是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论(jiélùn)；若不存在，说明理由．[审题视点]考虑到该问题与正整数n有关，故可用数学归纳法证明，观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．第二十五页，共50页。[解]由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立；(2)假设(jiǎshè)n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.第二十六页，共50页。证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段(shǒuduàn)，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．第二十七页，共50页。[变式探究(tànjiū)]用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除∴当n＝k＋1时也成立．由(1)(2)知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除.第二十八页，共50页。例4[2013·陕西模拟]数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．[审题视点](1)利用前n项和的关系式，对于n令值，就可以得到数列的前几项．(2)结合前几项的规律，归纳猜想其通项公式，然后运用(yùnyòng)数学归纳法分为两步骤求解得到结论．第二十九页，共50页。第三十页，共50页。第三十一页，共50页。(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．第三十二页，共50页。[变式探究]已知数列(shùliè){an}的通项公式为an＝(－1)n＋1·n2，其前n项和为Sn，(1)求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的值；(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的结论．第三十三页，共50页。第三十四页，共50页。第三十五页，共50页。课课精彩(jīnɡcǎi)无限第三十六页，共50页。【选题·热考秀】[2012·全国高考]函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下(rúxià)：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn<xn＋1<3；(2)求数列{xn}的通项公式．第三十七页，共50页。第三十八页，共50页。第三十九页，共50页。第四十页，共50页。【备考·角度说】No.1角度关键词：易错分析(1)基础不扎实，应用数学归纳法解题的意识不强．不知用数学归纳法证明．(2)数学归纳法解题步骤掌握不好，易忽视对初始值的验证．(3)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．(4)不等式证明过程中，不能正确(zhèngquè)合理地运用分析法、综合法来证明．第四十一页，共50页。No.2角度关键词：备考建议(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)数学归纳法证明中，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论(jiélùn)”．(3)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.第四十二页，共50页。经典(jīngdiǎn)演练提能第四十三页，共50页。答案(dáàn)：C第四十四页，共50页。答案(dáàn)：B第四十五页，共50页。3．用数学归纳法证明(zhèngmíng)“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2