2022-2023学年福建省福州市成人中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省福州市成人中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣1，则f（1﹣x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，2） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（0，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】当x＞0时，f（x）=x3﹣1，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=0．利用f（x）为R上的奇函数，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（﹣1）=0，即可得出f（1﹣x）＞0的解集．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x3﹣1，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=0∵f（x）为R上的奇函数，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（﹣1）=0∵f（1﹣x）＞0，∴﹣1＜1﹣x＜0或1﹣x＞1，∴x＜0或1＜x＜2，故选A．2.过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（

）A．(-∞,-1]

B．[1,+∞）C．[-1，1]

D．（-∞，-1]∪[1，+∞）参考答案：C4.如图,正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是

（

）

A．直线AH和BB1所成角为45°

B．AH的延长线经过点C1

C．AH垂直平面CB1D1

D．点H是的垂心参考答案：A5.已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A7.若不等式对于任意正整数n成立，则实数a的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A8.正三角形中，是边上的点，若，则=

A.

B．

C．

D．参考答案：B略9..函数的图像大致为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】将分别代入函数解析式，判断出正负即可得出结果.【详解】当时，；当时，，根据选项,可得C选项符合.故选C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，只需用特殊值法验证即可，属于常考题型.10.复数,是虚数单位，则的虚部是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，点集，，则①点集所表示的区域的面积为________；②点集所表示的区域的面积为

．参考答案：12.设函数.当时，求的值域--_______参考答案：略13.设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），如果f（1）=lg，f（2）=lg15，则f（2017）=

．参考答案：﹣1【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出f（x）是一个周期为6的函数，所以f=f（6×336+0）=f（0），利用已知条件求解即可．【解答】解：（1）f（1）=lg，f（2）=lg15，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=lg15﹣（lg3﹣lg2）=lg5+lg2=1，f（4）=f（3）﹣f（2）=1﹣lg15，f（5）=f（4）﹣f（3）=1﹣lg15﹣1=﹣lg15，f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣lg15﹣（1﹣lg15）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1+lg15=lg，∴f（x）是一个周期为6的函数，∴f（2017）=f（6×336+1）=f（0），f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（0）=f（1）﹣f（2）=lg﹣lg15=lg=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和对数性质的灵活运用．14.如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为．参考答案：8考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8．解答： 解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2，∴可解得：k=5，∴ymax=3+k=3+5=8，故答案为：8．点评： 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．15.设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的条件．参考答案：充分不必要条件16.已知函数的图像如图１所示，则＝

．参考答案：17.点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值．【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x，所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以△OPQ面积的最小值为．故答案为2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元

仅使用A27人3人仅使用B24人1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．参考答案：（Ⅰ）400人；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有，所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知a,b,c为正实数.(I)若ab(a+b)=2，求a+b的最小值；（II)若abc(a+b+c)=1，求(a+b)(b+c)的最小值.参考答案：20.某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立． （Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率； （Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由； （Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？ 参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质． 【分析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率． （Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖． （Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励． 【解答】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种， 摸到红球的结果共有种， 所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．… （Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数， 由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4）， 所以E（X）=np=3×0.4=1.2． 由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元． 由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元， 所以商场经理希望顾客参加抽奖．… （Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y． 由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）． 于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10． 从而，k=1，2，…，10， 当k＜4.4时，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）； 当k＞4.4时，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k）， 则P（Y=4）最大． 所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元． 于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．… 【点评】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．21.某中学高一、高二、高三年级分别有60人、30人、45人选修了学校开设的某门校本课程，学校用分层抽样的方法从上述三个年级选修校本课程的人中抽取了一个样本，了解学生对校本课程的学习情况。已知样本中高三年级有3人。(1)．分别求出样本中高一、高二年级的人数；(2)．用（i=1,2...）表示样本中高一年级学生，（i=1,2...）表示样本中高二年级学生，现从样本中高一、高二年级的所有学生中随机抽取2人。①用以上学生的表示方法，用列举法列举出上述所有可能的情况：②求①中2人在同一年级的概率。参考答案：(1).解:设样本容量为n

∵样本中高三年级有3人

∴

∴n=9

∴样本中高一年级人数为：

样本中高二年级人数为：（人）

（5分）

(2)．①所有可能的情况有：，

，共15种

其中在同一年级的有7种

（10分）

②在同一年级的概率P=

（12分）

略22.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，，求a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求在不同范围时的单调区间，得到的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得的取值范围.【详解】（1）①当时，令，解得，，且当时，；当时，所以，的单调递增区间是，单调递减区间是和；②当时，所以，的单调递增区间是，单调递减区间是；③当时，令，解得，，并且当时，；当时，.所以的单调递增区间是和，单调递减区间是；④当时，，所以的