安徽省六安市方坪中学2022年高三数学理联考试题含解析

安徽省六安市方坪中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2}参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由A∩B=B，得B?A，然后利用子集的概念求得m的值．【解答】解：∵A∩B=B，∴B?A．当m=0时，B={1，0}，满足B?A．当m=2时，B={1，2}，满足B?A．∴m=0或m=2．∴实数m的值为0或2．故选：C．2.函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=ex上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=ex的导数，可得切线的斜率，运用φ（A，B），由分离参数法，可得t＜恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到t的范围．【解答】解：y=ex的导数为y′=ex，φ（A，B）===＞0，可得==＞1，t?φ（A，B）＜3恒成立，则t＜恒成立，由＞3，即有t≤3．故选：A．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题．3.已知等比数列满足＞0，＝1,2，…，且，则当≥1时，＝

（

）A．n(2n－1)

B．(n＋1)2

C．n2

D．(n－1)2参考答案：A4.在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，O为坐标原点，动点P满足，则的最小值是(

) A．4﹣2 B．+1 C．﹣1 D．参考答案：C考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆．分析：设点P（x，y），则由动点P满足||=1可得圆C：x2+（y+2）2=1．根据|++|=，表示点P（xy）与点M（﹣，﹣1）之间的距离．显然点M在圆Cx2+（y+2）2=1的外部，求得MC的值，则|MC|﹣1即为所求．解答： 解：设点P（x，y），则由动点P满足||=1可得x2+（y+2）2=1．根据++的坐标为（+x，y+1），可得|++|=，表示点P（xy）与点M（﹣，﹣1）之间的距离．显然点M在圆C：x2+（y+2）2=1的外部，求得|MC|=，|++|的最小值为|MC|﹣1=﹣1，故选C．点评：本题主要考查两点间的距离公式，点与圆的位置关系，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于中档题．5.全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合M＝{2,3,5},N＝{4,5},则?U(M∪N)=

(

)A．{1,3,5}

B．{2,4,6}

C．{1,5}

D．{1,6}参考答案：D略6.己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为（）A．11π B．20π C．23π D．35π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，∴××4×h=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=23π．故选：C．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，是中档题，确定球的半径是正确解题的关键．7.下列命题中，真命题的是A．B．C．的充要条件是D．若，且，则x,y中至少有一个大于1参考答案：D8.已知是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，且射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点的最大值为

A．

B．

C．1

D．

参考答案：9.实数满足，则对于①；②；③中可能成立的有（

）A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：C略10.设则（

）

A．都不大于

B．都不小于

C．至少有一个不大于

D．至少有一个不小于

参考答案：D

解析：，三者不能都小于二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤1+e【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案为：﹣1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．12..某同学欲从数学、物理、化学和生物4个学科中随机选择2个，则数学被选中的概率为

.参考答案：13.函数的图象恒过定点,且点在曲线上，其中，则的最小值为___________________.参考答案：14.若实数x，y满足不等式组，则的最小值为

．参考答案：3可行域如图所示的三角形区域，设，而的几何体意义表示动直线在轴上的截距，由图知，当过可行域内的点时，取得最小值，故答案为.

15.要得到的图象，则需将的图像

至少向左平移

个单位即可得到。参考答案：略16.若命题“存在实数，使”的否定是假命题，则实数的取值范围为

。参考答案：17.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,为坐标原点.若是抛物线的准线与轴的交点,则

．参考答案：45°由抛物线的对称性不妨设，则，得，法一：，在中，，所以.法二：因为，所以，可得，，所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列a1,a2,…,a2015满足性质P：，．(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差数列，求an；(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015？(Ⅱ)求证：．参考答案：(Ⅰ)（ⅰ）设等差数列a1,a2,…,a2015的公差为d，则．由题意得，所以，即．当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，所以与性质P矛盾；当d>0时，由，，得，．所以．当时，由，，得，．所以．综上所述，或．（ⅱ）设a1,a2,…,a2015是公比为的等比数列，则当时，，则，与性质P矛盾.当时.与性质P矛盾.因此不存在满足性质P的等比数列a1,a2,…,a2015．(Ⅱ)由条件知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j)．设为所有ai中大于0的数，为所有ai中小于0的数．由条件得a+a+…+a=，a+a+…+a=-．所以．19.(本小题满分15分)如图，椭圆上的点到左焦点为的最大距离是，已知点在椭圆上，其中为椭圆的离心率。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交椭圆于另一点.证明：对任意的，点恒在以线段为直径的圆内。参考答案：解：（1）由题可知，解得

椭圆的方程是

………………6分（2）令，则直线的方程为，代入整理得

对任意，点恒在以线段为直径的圆内。

………………15分20.（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．参考答案：解：（I），，…（2分）又，

，，…………（4分），

…………（5分）

（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）21.（本小题满分12分）设函数是定义域为R上的奇函数；

（Ⅰ）若，试求不等式的解集；

（Ⅱ）若上的最小值。参考答案：.解：是定义域为R上的奇函数，

………………1分（I），

………………2分在R上为增函数

………………3分原不等式分为：

…………6分

（II）即（舍去）

…………8分令则为增函数（由（I）可知），即

…………10分

…………12分22.已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（II）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．解：（I）因为，当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0+f