自控原理第四

自控原理第四2023/7/27《自动控制原理》第四章1第1页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章2例单位负反馈系统的开环传递函数为解：-1+2j01250-0.13-0.29-1-1+j-1-2j-1-j-1-1.707-1.866-2当由零变化到无穷大时，闭环特征根所走的轨迹。第2页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章3-1-212Kg=0Kg=1Kg=0Kg=2Kg=5-2-1Kg=2Kg=5KgKg第3页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章4二.根轨迹方程

G(s)H(s)－+R(s)C(s)闭环系统特征方程或根轨迹方程第4页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章5三.幅值条件方程和相角条件方程

幅值条件:相角条件:或:充要条件第5页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章6四.幅值条件和相角条件的应用

例：开环传递函数为试判断是否在根轨迹上，若在求出相应的值。解：易验证故不在根轨迹上，在根轨迹上，且根轨迹增益为第6页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章7

第二节绘制根轨迹的基本法则一.根轨迹的连续性连续变化的曲线或直线二.根轨迹的对称性 关于实轴对称三.根轨迹的分支数 分支数=系统的阶数四.根轨迹的起点和终点第7页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章8证明：第8页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章9五.实轴上的根轨迹

在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。第9页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章10六.根轨迹的渐近线第10页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章11证明：对于较远处渐近线上的点有第11页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章12例：解：第12页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章13七.根轨迹的分离点和会合点分离点：根轨迹在实轴上相遇后又分开的点会合点：根轨迹进入实轴相遇的点

分离点或会合点对应于闭环特征方程的二重根多出现于实轴上若实轴上相邻开环极点间有根轨迹，则必有分离点若实轴上相邻开环零点间有根轨迹，则必有会合点若实轴上相邻开环零极点间有根轨迹，则可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点第13页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章14

重根法：根轨迹上的分离点、会合点即为特征方程的重根点。若记则根轨迹方程为第14页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章15

极值法：

就实轴部分而言：（1）Kg=0增大时，当Kg取最大值时，进入复平面，此时为分离点。（2）Kg增大时，从复平面进入实轴时Kg取最小值，以后Kg不断增加。第15页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章16例：解：第16页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章17八.根轨迹的出射角和入射角

出射角:起始于开环复数极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角第17页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章18

入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角第18页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章19例：解：第19页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章20九.根轨迹与虚轴的交点令代入根轨迹方程令实部和虚部分别为零解之得到与虚轴的交点，并且可得临界根轨迹增益第20页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章21例：解：第21页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章22十.闭环极点的和与积当为系统的闭环极点随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些必向左移动第22页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章23十条法则：1.连续性2.对称性3.分支数4.起点、终点5.实轴上的根轨迹6.渐近线7.分离点、会合点8.出射角、入射角9.虚轴交点10.闭环极点的和与积计算第23页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章24

第三节控制系统根轨迹的绘制一.单回路系统的根轨迹例：解：第24页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章25第25页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章26例：解：第26页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章27第27页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章28例：系统的开环传递函数为解：开环极点为渐近线与实轴的交点为倾角为与虚轴的交点为第28页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章29根轨迹的分离点、会合点：根轨迹的出射角：第29页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章30第30页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章31圆弧根轨迹：仅有两个极点和一个零点，根轨迹离开实轴必是圆弧第31页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章32例：解：第32页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章33二.参量根轨迹(广义根轨迹)除开环增益以外的其它参数变化时对系统的影响首先求出等效单回路开环传递函数

例：解：－+R(s)C(s)+－第33页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章34第34页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章35例已知系统的开环传递函数为试绘制

时系统的根轨迹。等效的开环传递函数为解：第35页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章36第36页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章37三.多回路根轨迹特点：多参量方法：内环参数取特定值，然后画出系统的根轨迹（1）绘制局部闭环子系统的根轨迹；（2）固定局部参量值，得到多回路的开环零、极点分布情况，画出根轨迹；（3）取不同的局部参量值，重复（1）-（2）。多回路根轨迹是一族曲线，根轨迹族第37页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章38四.正反馈回路的根轨迹(零度根轨迹)根轨迹方程为：G(s)H(s)++R(s)C(s)幅值条件：相角条件：第38页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章39需要修改的法则(1)法则5：实轴上根轨迹区间的右侧实轴上，开环零点和极点之和应为偶数；(3)法则8：根轨迹的出射角和入射角为：(2)法则6：根轨迹渐近线与正实轴的夹角为：(4)法则9：根轨迹与虚轴的交点：第39页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章40例：已知某正反馈系统的开环传递函数为试绘制根轨迹。解：1．由于n=4,m=0,故根轨迹有四条分支；2．系统有四个开环极点无零点，四条分支均趋于无穷远处；3．实轴上的根轨迹区间为4．根轨迹的分离点得分离点为-2.225；第40页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章415．渐近线与实轴的交点和夹角为6．根轨迹与虚轴的交点，系统的闭环特征方程为令解之得：(不符合题意)根轨迹与虚轴无交点第41页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章42大致根轨迹图像为第42页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章43五.延迟系统的根轨迹延迟系统的开环传递函数一般形式为：幅值条件：相角条件：特点：根轨迹无穷多条第43页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章44第四节求取闭环系统零、极点的方法一.求取闭环系统极点的方法例：解：第44页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章45第45页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章46第46页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章47系统为I型系统，其静态误差系数为：第47页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章48二.求取闭环系统零点的方法闭环系统零点一般为前馈传递函数的零点和反馈传递函数的极点。假设前馈传递函数为：反馈传递函数为：系统闭环传递函数为：第48页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章49三.闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系第49页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章50

第五节增加开环零、极点对根轨迹的影响一.增加开环零点对根轨迹的影响（1）改变实轴上的根轨迹；（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）开环零点与附近的开环极点构成开环偶极子；（4）根轨迹曲线向左偏移，改善了系统的动态性能， 所加零点越靠近虚轴，影响越大。二.增加开环极点对根轨迹的影响（1）改变实轴上的根轨迹；第50页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章51（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）改变根轨迹的分支数；（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能，所增加的极点越靠近虚轴，影响越大。第51页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章52三.增加开环偶极子对根轨迹的影响开环偶极子：一对距离很近的开环零点、极点，他们的距离比他们的模值小一个数量级。作用：（1）对离它们较远的根轨迹形状以及根轨迹增益没有影响；（2）若位于s平面的原点附近，则会显著提高稳态误差系数，提高系统的静态性能。第52页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章53若增加的开环偶极子为，则加入开环偶极子后若极点比零点更靠近原点，则开环放大系数增大倍。第53页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章54第六节控制系统的根轨迹法分析举例例1：解：第54页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章55第55页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章56例2随动系统如图所示，试分析参变量对系统性能的影响。计算时系统的性能指标对系统性能的影响。计算系统的性能指标和。第56页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章57解：已知系统的开环传递函数为则，系统的闭环传递函数为绘制系统的根轨迹可得：第57页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章58当系统的参变量为时，（3）若k>1,则系统瞬态响应是振荡的,例如若k>5,则系统的阻尼比，系统将出现严重超调。根轨迹图分析：（1）在任意k值下，系统是稳定的；（2）若k<1，则系统瞬态响应是非振荡的；第58页，课件共65页，创作于2023年2月2023/7/27《自动控制原理》第四章59此时，极点为，闭环传递函