弹性力学第八章课件

第八章空间问题的解答第五节等截面直杆的扭转第四节按应力求解空间问题第六节扭转问题的薄膜比拟第七节椭圆截面杆的扭转第八节矩形截面杆的扭转§8－4按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：按应力求解2.

其他未知函数用应力表示:1.

取σx…

τyz…为基本未知函数。

按应力求解通常只能解全部为应力边界条件的问题3.

在V内导出求应力的方程

:从几何方程消去位移，导出6个相容方程：（2）相容方程（6个）:（1）平衡微分方程（3个）。V内方程利用物理方程，得用应力表示的相容方程。应力边界条件当体力为常量时，即为应力边界条件（1）V内的3个平衡微分方程；其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为,应力分量应满足：按应力求解归纳（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的3个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V内的6个相容方程；（2）形变满足相容方程,对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件,导出形变和位移之间的几何方程,导出相容方程。对于相容方程说明如下：相容方程说明所以相容方程是位移的连续性条件。（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见有关书籍。例如：（4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。式是由方程提高阶数得出的，但式增加的解不是原式的解。几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应力函数应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。

扭转问题也是空间问题的一个特例。§8-5等截面直杆的扭转根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。扭转问题（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上,下端面的面力，合成一对力矩M。扭转问题的提出:只有，采用半逆解法：由材料力学关于圆轴扭转的结论，只有横截面上有切应力，故设解为1、满足平衡微分方程由可知，一定存在一个函数，使得因此得到满足平衡微分方程的解由此得出扭转应力函数应满足的方程：2.满足相容方程，前三式和第六式自然满足，其余两式成为即C为待定常数。相容方程而得3.满足侧面边界条件前两式自然满足，第三式成为边界条件因在S上为常数。又由于中的常数不影响应力，所以得的侧面边界条件为4、满足上端面（z=0）的边界条件。在小边界z=0上，应用圣维南原理，有在z=0负面上，只有。其中

条件自然满足，而其余3个条件为前两式自然满足，而由后一式得出关于的端面边界条件为（1）A内方程（2）侧面S上边界条件（3）端面上边界条件

扭转问题归纳为求一个扭转应力函数，

应满足：归纳注解：（3）扭转问题中的变量为x,y,仍属于二维问题。（2）空间问题按应力求解的全部条件均已考虑并满足。（1）另一端面上的边界条件自然满足。求位移分量：根据上面的应力，代入物理方程，可以求出对应的形变；再代入几何方程，并进行积分，求出对应的位移为其中，为单位杆件长度的扭角。求位移并且还得出对比式（e），得出常数C的物理意义，§8－6扭转问题的薄膜比拟对于物理现象不同，但数学描述相同的问题，可以应用数学比拟方法来求解。薄膜问题—设有一薄膜，张在水平边界上，并受到气体的压力q。薄膜斜率在面分别为薄膜斜率在面分别为薄膜只能承受均匀拉力，不能承受弯矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元abcd,各边上的作用力均为，但薄膜的斜率不同：薄膜问题平衡条件：得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率为薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍体积是薄膜的边界条件：薄膜比拟扭转问题薄膜问题未知函数A内方程从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学方程相同，比较如下：边界条件边界条件切应力/斜率扭转问题薄膜问题于是求扭转应力函数的问题，可以化为求薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2V，则薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,提出扭转应力函数的假设。（2）通过薄膜比拟,直接求解薄壁杆件的扭转问题。（1）通过薄膜比拟试验,求解扭转问题。扭转问题已归结为求扭转应力函数，应满足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7椭圆截面杆的扭转求φ的条件椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。

1.为了满足式(b)，可取在椭圆边界上椭圆截面杆2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e)代入式(c)，求出从而得出求出单位长度杆件的扭角：z向的位移为可见横截面不保持为平面。只有当a=b的圆截面时，w=0，才保持为平面。对于的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,在边界条件中，长边上应严格满足§8－8矩形截面杆的扭转而短边(x=±a/2)是次要的，可忽略。狭矩形截面杆1.

狭矩形截面杆的扭转

（2）在方程中，应主要考虑y向的导数，而可忽略x向的导数，所以由式和，可得可简化为（3）将代入求出所以狭矩形杆的解答为矩形截面杆2.一般矩形截面杆的扭转

以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：应满足条件是由上式可导出F应满足的条件:书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。3.

薄壁杆件的扭转（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同时，直线形和曲线形截面的薄膜是相似的，它们的相同。（1）薄壁杆件截面都是狭矩形

可以直接引用式的解答。薄壁杆件（3）对于若干个狭矩形组成的构件，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，由此解出a.各个截面的扭角相同，（4）闭口薄壁杆件的扭转设闭口薄壁杆的厚度为，中心线长为s，中心线包围的面积为A.应用薄膜比拟，取外边界上，则内边界上的不能再任意选择，应取，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟：扭矩解出切应力yxozxzoyq

hs(b)开口薄壁杆件(a)闭口薄壁杆件由此得出切应力其中，代入得为了求扭角K,可考虑内边界上无重钢板的平衡条件：