2022年辽宁省沈阳市文泽高级中学高三数学理期末试题含解析

2022年辽宁省沈阳市文泽高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是（

）A． B．

C．

D．参考答案：B2.已知集合A={},B={},则A∩B=(

)A.{}

B.{}

C.{}

D.参考答案：答案：B3.设p:在内单调递增,q:,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B4.已知则

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B所以即,故选B.5.已知全集为，集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A依题意，，，故，故选A.6.在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，，为锐角，则公比等于（

）

A．

B．

C．

D．或参考答案：C略7.已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x︱x2-x-2=0﹜，则A∩B=(A)

（B）

（C）

(D)参考答案：B解析1：代入检验法把A=﹛-2,0,2﹜中的数,代入等式，经检验x=2满足，所以选B.解析2：先化简，后计算B=﹛x︱x2-x-2=0﹜=﹛x︱(x+1)(x-2)=0﹜=﹛-1,2﹜所以A∩B=﹛-2,0,2﹜∩﹛-1,2﹜=﹛2﹜8.已知向量=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（）A． B． C．1 D．2参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意可得+λ=（1+λ，0），由垂直可得数量积为0，可得λ的方程，解方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．∴+λ=（1+λ，2）∵（+λ）⊥，∴4（1+λ）﹣3×2=0，解得λ=故选：B9.已知实数a,b,c,d成等比数列，且对函数，当x=b时取到极大值c，则ad等于（

） A．

B．0

C．1

D．2参考答案：A略10.下列命题错误的是A.命题“若p则q”与命题“若，则”互为逆否命题B.命题“R,”的否定是“,”C.且，都有D.“若，则”的逆命题为真参考答案：D【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果．【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确．对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R,”的否定是“,”，所以B正确．对于选项C，当且时，由基本不等式可得．所以C正确．对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确．故选D．【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

．参考答案：

12.已知满足，则的取值范围是

．参考答案：13.已知函数，则的极大值为

.参考答案：14.在等差数列{}中，，则

▲

．参考答案：

略15.已知函数，若，则实数a的取值范围是

。参考答案：16.设实数x，y满足，则的最大值为

。参考答案：217.已知函数，给出如命题：①是偶函数；②在上单调递减，在上单调递增；③函数在上有3个零点；④当时，恒成立；其中正确的命题序号是__________.参考答案：①④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．证明:(1)IO=AE；

(2)2R<IO+IA+IC<(1+)R．参考答案：证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D．由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO∴AE=IO．由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R．设∠OHI=α，则0<α<30°．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2Rsin(α+45°)又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2R(+)/4=R(1+)19.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．参考答案：（1）将代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即，因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（，0），又因为F在直线l上，所以．把直线l的参数方程代入x2＋3y2＝48，化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，所以．（2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为（，4sinθ）（），所以内接矩形的面积，当时，面积S取得最大值．20.（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，侧面ABB1A1⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA1=120o，B1D⊥AB．（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，推导出B1O⊥AB，B1D⊥AB，从而AB⊥面B1OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB1A1．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B1O，△B1BO中，AB=2，B1B=2，∠B1BA=60°，故△AB1B是等边三角形，∴B1O⊥AB，又B1D⊥AB，而B1O与B1D相交于B1，∴AB⊥面B1OD，故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，又∵侧面ABB1A1⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，∴AC⊥面ABB1A1．…（6分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，C（﹣1，2，0），A（﹣1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B1（0，0，），∴，，，，设面ADC1的法向量为，依题意有：，令x=1，则y=﹣1，，∴，…（9分）又面ADC的法向量为，…（10分）∴，∴二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.在四棱锥，平面，，，，.（1）

求证：平面平面；（2）

当点到平面的距离为时，求二面角的余弦值；（3）

当为何值时，点在平面内的射影恰好是的重心.

参考答案：（1）连接交于，易知，而面，，又面，又面，平面平面（4分）（2）由面得，又，面又面面面（5分）过作于面，是点到平面的距离（6分）故（8分）所以作于，连接，，为所求在，（3）连接，则重心在上，且，连接（9分）已知面，所以（10分），由可得，解得略22.在北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车给市民们提供了一种新型的出行方式.2020年，怀化也将出现共享汽车，用户每次租车时按行驶里程（1元/公里）加用车时间（0.1元/分钟）收费，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[15,65]分钟.（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望；（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一