群论群的等价表示

群论群的等价表示1第1页，课件共13页，创作于2023年2月●两种观点（互为逆变换）主动观点：坐标系不动，系统转动（√）被动观点：系统不动，坐标系转动如：要描述N个粒子的系统，需要3N个坐标来描写为了书写方便，用一个字母x描写N粒子系统的全部坐标用标量函数ψ(x)和ψ'(x)描写变换前后标量场的分布变换记为R则：经过R变换后，在x点的场变到了x'点因标量场在变换前后保持不变变换后的标量场在x'点的值应等于变换前的场在x点的值2第2页，课件共13页，创作于2023年2月3.标量函数的变换算符PR

定义PR是一个算符，把变换前的标量函数ψ变成新的标量函数ψ'则（定义）（x=R-1x'）（标量场）因为自变量要取遍定义域上所有的值，符号上用x'或x都一样则有说明1）变换算符PR对任意函数ψ(x)的作用规则所有的标量函数都满足上式，即

先把原来的函数ψ(x)的自变量换成R-1x

再把它看成x的函数，就得到新的函数形式PRψ=ψ'3第3页，课件共13页，创作于2023年2月2）PR显然是线性算符3）ψ与PRψ=ψ'是两种不同的函数形式上式给出了这两个函数值上的联系

PR作用在ψ上变成新的函数ψ'

再做S变换时，PS作用在ψ'上，即而不是4）PR构成群PG，称为群G的线性实现——对称变换群算符PR与变换R间一一对应它们的乘积仍按同一规则一一对应即变换R集合构成的群G与算符PR构成的群PG同构4第4页，课件共13页，创作于2023年2月练习由函数基ψ1(x,y)=x2,ψ2(x,y)=xy,ψ3(x,y)=y2,架设的三维函数空间对下列二维空间转动变换R保持不变，试计算变换R对应的标量函数算符PR在此函数基中的矩阵形式D(R):5第5页，课件共13页，创作于2023年2月二、等价表示1.表示空间表示所作用的线性空间正则表示空间：即是群代数基：表示空间中基的选择不唯一如：在给定的不变函数空间中，线性变换群PG作用在ψμ(x)上，得到一个线性表示，这个线性函数空间就是表示空间而对m维方矩阵构成的矩阵群，群元素描写m维空间的线性变换，则这m维空间就是矩阵群自身表示的表示空间当一组基做线性组合时PR的矩阵形式做相似变换6第6页，课件共13页，创作于2023年2月7第7页，课件共13页，创作于2023年2月2.等价表示定义两个等价表示维数相同；相似变换矩阵X也是同维非奇异矩阵等价于同一表示的两个表示互相等价（传递性）等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同）若群G所有元素R在两个表示D(G)和D(G)中表示矩阵存在同一相似变换关系，即则这样的两个表示称为等价表示，记作说明寻找群G所有表示的问题寻找群G所有不等价表示问题8第8页，课件共13页，创作于2023年2月3.判断两个表示是否等价的充要条件对有限群，每个元素在两个表示中的特征标对应相等，即注：特征标是类的函数，同类中的元素表示矩阵的特征标相等，这样，只需从每类元素中选出一个元素，检验它们在两个表示中的特征标是否相等即可。三、表示的幺正性定理一：有限群的线性表示等价于幺正表示，而且两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系推论：有限群的实表示等价于实正交表示，而且两个等价的实正交表示一定可以通过实正交的相似变换相联系9第9页，课件共13页，创作于2023年2月四、不可约表示1.准备知识两个子空间直和：n维线性空间中，m个矢量及其所有线性组合构成m维线性空间，称为n维线性空间的子空间子空间：零空间（m=0），全空间（m=n）两个平庸子空间：子空间的矢量关于线性算符不变

PRR=S∈V子不变（真）子空间：设W和W'是线性空间V的子空间，若对任意x∈V，可找到y∈W，z∈W'，并唯一的将x表示为x=y+z，或V=W+W'，W∩W'={Ο}则称V是W和W'的直和，W和W'为互补子空间记为V=W+W'10第10页，课件共13页，创作于2023年2月2.不可约表示定义若群G的表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过一个相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵则此表示称为可约表示，否则称为不可约表示。说明上式中两个子矩阵D(1)(R)和D(2)(R)的集合分别构成群G的线性表示元素在可约表示中的特征标等于子表示中的特征标之和

可约表示的表示空间存在非平庸不变子空间在表示空间中存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示否则是不可约表示11第11页，课件共13页，创作于2023年2月3.完全可约表示若D(G)的表示空间存在两个互补的不变子空间，可在两个子空间分别取一组基，构成整个空间的一组完备基，在这组基下，D(R)都取同一形式的方块矩阵该表示称为完全可约表示，表示的这种形式成为已约表示（可约且完全可约）有时表示空间虽存在非平庸不变子空间，但无论如何选择，其相补子空间都不是不变的，这样的表示仍然可约，但称为不能完全约化的可约表示（可约却不完全可约）有限群的可约表示一定是完全可约的12第12页，课件共13页，创作于2023年2月寻找群G所有表示的问题寻找群G所有不等价表示问题

寻找所有不等价不可约表示群论的基本