线性系统的根轨迹法

线性系统的根轨迹法第1页，课件共40页，创作于2023年2月4-1根轨迹法的基本概念第2页，课件共40页，创作于2023年2月一、根轨迹的概念根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。第3页，课件共40页，创作于2023年2月举例：-令K*（由0到∞）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。第4页，课件共40页，创作于2023年2月第5页，课件共40页，创作于2023年2月因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性能。（1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。（2）稳态性能：（3）动态性能：0<K*<1，两个不等负实根，过阻尼系统；K*＝1，两个相等负实根，临界阻尼系统；K*>1，一对共轭复根，欠阻尼系统；特征方程的根运动模态系统动态响应（稳定性、系统性能）第6页，课件共40页，创作于2023年2月二、根轨迹方程相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足称为180º根轨迹。相角条件：模值条件：第7页，课件共40页，创作于2023年2月4-2绘制根轨迹的基本法则

第8页，课件共40页，创作于2023年2月一、基本法则1、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。

起点：终点：第9页，课件共40页，创作于2023年2月2、根轨迹的分支数及对称性和连续性（1）根轨迹分支数＝特征根个数。（2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对称于实轴。（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。第10页，课件共40页，创作于2023年2月3、根轨迹的渐近线：n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交点和夹角为：

第11页，课件共40页，创作于2023年2月4、实轴上的根轨迹实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为奇数，该区域为根轨迹。第12页，课件共40页，创作于2023年2月5、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会合点。分离点坐标d的求解：证明：第13页，课件共40页，创作于2023年2月第14页，课件共40页，创作于2023年2月若无开环零点，则：第15页，课件共40页，创作于2023年2月注意：

一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。第16页，课件共40页，创作于2023年2月例题：单位反馈系统的开环传递函数为：试绘制闭环系统的根轨迹

2、实轴上根轨迹为[-3,-2]，[-1，0]

3、求渐近线：渐近线与实轴交点为：

渐近线与实轴夹角为：解：1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3，根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。第17页，课件共40页，创作于2023年2月4、求分离点：第18页，课件共40页，创作于2023年2月6、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角：在离开p1附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：当时，即为离开根轨迹上的起始角，，则：第19页，课件共40页，创作于2023年2月根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处切线与正实轴的夹角：第20页，课件共40页，创作于2023年2月例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值范围。2、渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2]。解：1、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。3、初始角：

第21页，课件共40页，创作于2023年2月4、求分离点：说明：由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为2。第22页，课件共40页，创作于2023年2月分离点处，

系统有超调响应时的K*取值范围。

第23页，课件共40页，创作于2023年2月7、根轨迹和虚轴的交点：（1）利用劳思判据（2）将s=jω代入D(S)=0第24页，课件共40页，创作于2023年2月例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制闭环系统的根轨迹。

解：（1）实轴上根轨迹为(-∞,-3]，[-2，0]（2）渐近线与实轴夹角为：渐近线与实轴交点为：（3）根轨迹与虚轴交点用劳思判据，闭环特征方程为：第25页，课件共40页，创作于2023年2月S3160S25

S1

S0

第26页，课件共40页，创作于2023年2月（4）求分离点：

第27页，课件共40页，创作于2023年2月8、根之和当时，第28页，课件共40页，创作于2023年2月4-3广义根轨迹法第29页，课件共40页，创作于2023年2月一、参数根轨迹以非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹。闭环特征方程：等效开环传递函数：等效开环传递函数求取后，绘制方法与前面相同。引入等效开环传递函数的概念注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。第30页，课件共40页，创作于2023年2月例题：求Tm从0→∞时的根轨迹R(s)(-)C(s)j0P1P2-K原系统的闭环特征方程为

Tms2+s+K=0整理可得等效开环传函或由

s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程为

s2+(s+K)/Tm=0则新的等效开环传函为第31页，课件共40页，创作于2023年2月在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，相角条件满足2kπ，称为零度根轨迹。二、零度根轨迹第32页，课件共40页，创作于2023年2月幅值条件相角条件与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。第33页，课件共40页，创作于2023年2月法则3：渐近线与实轴交点不变，夹角为：法则4：实轴上根轨迹。实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为偶数，该区域为根轨迹。法则5：根轨迹的起始角：终止角：零度根轨迹与180根轨迹的区别体现在：1.实轴上的根轨迹；2.渐近线与实轴的夹角；3.起始角与终止角。第34页，课件共40页，创作于2023年2月解：（1）系统的开环零极点分布为z1=-2，p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。例题：

设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角第35页，课件共40页，创作于2023年2月（3）确定出射角（4）确定分离点第36页，课件共40页，创作于2023年2月（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为第37页，课件共40页，创作于2023年2月1、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为

z1是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当z1→∞时，表明不存在有限零点。三、附加开环零点的作用第