线性振动的近似计算方法

线性振动的近似计算方法第1页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法第2页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法邓克利法由邓克利(Dunkerley)在实验确定多圆盘横向振动固有频率时提出的便于作为系统基频的计算公式第3页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法自由振动作用力方程：左乘柔度矩阵位移方程：定义D=FM为系统的动力矩阵作用力方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：第4页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法作用力方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：D=FM特征值：关系：位移方程的最大特征根：位移方程的特征方程：展开：其中：对应着系统的第一阶固有频率(基频)第5页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法位移方程的特征方程：其中：D=FM当M为对角阵时：特征方程又可写为：有：柔度系数

的物理意义：沿第i个坐标施加单位力时所产生的第i个坐标的位移第6页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法如果只保留第i个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：例如：两自由度系统柔度矩阵：（1）只保留m1时（2）只保留m2

时第7页，课件共110页，创作于2023年2月如果只保留第i个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：线性振动的近似计算方法/邓克利法将代入：对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：得到的基频是精确值的下限邓克利法第8页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法第9页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/邓克利法例：三自由度系统第10页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利法基于能量原理的一种近似方法

可用于计算系统的基频算出的近似值为实际基频的上限

配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围第11页，课件共110页，创作于2023年2月n自由度保守系统：机械能守恒主振动：动能与势能：最大值：瑞利商线性振动的近似计算方法/瑞利法第12页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法对于第i阶模态：瑞利商当为一般向量时（不是实际模态），总能展开为n个正则模态的线性组合：代入瑞利商：可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值即：第13页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法分析：若将瑞利商右端分子内的所有换成由于是最低阶固有频率，因此：由瑞利商公式知，当确为第一阶模态时，有因此，瑞利商的极小值为同理可证明，瑞利商的极大值为第14页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法如果接近第k阶真实模态比起，其它系数很小代入，得：第15页，课件共110页，创作于2023年2月因此，若与的差异为一阶小量，则瑞利商与的差别为二阶小量对于基频的特殊情况，令k＝1，则由于瑞利商在基频处取极小值利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限，愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确线性振动的近似计算方法/瑞利法第16页，课件共110页，创作于2023年2月用动力矩阵表示的瑞利法由又则且用动力矩阵表示的瑞利商线性振动的近似计算方法/瑞利法第17页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法当为一般向量时（不是实际模态），总能展开为n个正则模态的线性组合：代入瑞利商：即：可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值第18页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法如果接近第k阶真实模态比起，其它系数很小代入，得：第19页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/瑞利法例：三自由度系统第20页，课件共110页，创作于2023年2月里兹法里兹法是瑞利法的改进用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降线性振动的近似计算方法/里兹法第21页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/里兹法里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合：代入瑞利商：假设模态由于在系统中的真实主振型处取驻值，所以A的各个元素应当从下式确定：第22页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/里兹法代入：瑞利商：其中是r阶单位矩阵的第j列上面r个方程可合成为：表示将函数分别对A的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量同理，有：则有第23页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/里兹法由于，的阶数r一般远小于系统自由度数n，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法就是自由度缩减为r的新系统的刚度矩阵和质量矩阵可求出r个特征根及相应的特征向量原来系统的前r阶固有频率可近似取为：相应的前r阶主振型近似取为：第24页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/里兹法正交性分析：时：成立同理，有故，近似主振型式关于矩阵和相互正交：第25页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/里兹法例：三自由度系统第26页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法矩阵迭代法也是从动力矩阵表示的本征值问题出发的近似计算方法适合于计算系统的最低几阶模态和固有频率第27页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法系统的任意阶固有频率及相应的模态必须满足假设模态（不是真实模态），总能表示为真实模态的线性组合左乘得：再左乘得：如此迭代k次后，得由于每迭代一次，方括号内的第一项的优势就增强一次第28页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法将作为一阶模态的k次近似，记作，矩阵迭代法的公式为：当迭代次数k足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态成分小于容许误差，即可将其略去，得到则k次迭代后的模态近似等于第一阶真实模态，对再做一次迭代第29页，课件共110页，创作于2023年2月线性振动的近似计算方法/矩阵迭代法高阶模态与固有频率左乘减去第一阶模态成分并代入D改为D1第30页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第31页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第32页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第33页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第34页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第35页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第36页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第37页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/集中质量法第38页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第39页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第40页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第41页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第42页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第43页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/假设模态法第44页，课件共110页，创作于2023年2月第45页，课件共110页，创作于2023年2月第46页，课件共110页，创作于2023年2月第47页，课件共110页，创作于2023年2月第48页，课件共110页，创作于2023年2月第49页，课件共110页，创作于2023年2月第50页，课件共110页，创作于2023年2月第51页，课件共110页，创作于2023年2月第52页，课件共110页，创作于2023年2月第53页，课件共110页，创作于2023年2月第54页，课件共110页，创作于2023年2月第55页，课件共110页，创作于2023年2月第56页，课件共110页，创作于2023年2月第57页，课件共110页，创作于2023年2月第58页，课件共110页，创作于2023年2月第59页，课件共110页，创作于2023年2月第60页，课件共110页，创作于2023年2月第61页，课件共110页，创作于2023年2月第62页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型（多个圆盘的扭振，连续梁，汽轮机和发电机的转轴系统）特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量（1）轴盘扭转振动系统（2）梁的横向弯曲振动系统第63页，课件共110页，创作于2023年2月（1）轴盘扭转振动系统n-1个圆盘轴不计质量，只计刚度第i-1个和第i个圆盘以及连接两盘的轴段构成第i个单元将圆盘和轴自左至右编号Ji-1、Ji：第i-1个圆盘和第i个圆盘的转动惯量li：第i个单元轴段的长度ki：第i个单元轴段的扭转刚度连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第64页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第65页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第66页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第67页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第68页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第69页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第70页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第71页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的近似计算方法/传递矩阵法第72页，课件共110页，创作于2023年2月第73页，课件共110页，创作于2023年2月第74页，课件共110页，创作于2023年2月第75页，课件共110页，创作于2023年2月第76页，课件共110页，创作于2023年2月第77页，课件共110页，创作于2023年2月第78页，课件共110页，创作于2023年2月第79页，课件共110页，创作于2023年2月第80页，课件共110页，创作于2023年2月第81页，课件共110页，创作于2023年2月第82页，课件共110页，创作于2023年2月第83页，课件共110页，创作于2023年2月第84页，课件共110页，创作于2023年2月第85页，课件共110页，创作于2023年2月第86页，课件共110页，创作于2023年2月第87页，课件共110页，创作于2023年2月第88页，课件共110页，创作于2023年2月第89页，课件共110页，创作于2023年2月第90页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/有限元法•有限元法20世纪五六十年代发展起来的方法•吸取了集中质量法与假设模态法的优点将复杂结构分割成有限个单元，单元端点称为节点，将节点的位移作为广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同•有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法以杆的纵向振动和梁的弯曲振动为例进行介绍第91页，课件共110页，创作于2023年2月连续系统的振动/有限元法杆的纵向振动连续系统的振动/有限元法单元质量矩阵和刚度矩阵的求解将杆划分为多个单元取出其中一个单元进行分析，单元长l，两端节点位移u1(t)、u2(t)x位置截面的位移：单元假设模态（形函数）取为一个节