线性最优状态调节器

线性最优状态调节器第1页，课件共90页，创作于2023年2月7.1线性二次型问题设线性时变系统的动态方程为（7-1）式中为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量；为维数适当的时变矩阵，其各元分段连续且有界，在特殊情况下可以是常阵。假定，且不受约束。第2页，课件共90页，创作于2023年2月若令表示维希望输出向量，则（7-2）称为误差向量。要求确定最优控制，是下列二次型性能指标极小：（7-3）式中为维对称非负定常阵，为维对称非负定时变矩阵，为维对称正定时变矩阵，初始时刻和末端时刻固定。第3页，课件共90页，创作于2023年2月

在二次型性能指标（7-3）中，其各项都有明确的物理含义。（1）末值项（7-4）

不失一般性，取，表示对末态误差要求的各元等加权，则有

此时，末值项表示时刻的跟踪误差，即末态误差向量与希望的零向量之间的距离平方和。第4页，课件共90页，创作于2023年2月当时，表示对末态跟踪误差的各元有不同的要求。若取则式（7-4）可以表示为

此时，末值项表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距离加权平方和。

如果对末态跟踪误差不必限制，则可取。此时性能指标变为积分型。第5页，课件共90页，创作于2023年2月（2）第一过程项（7-5）若取则有于是，式（7-5）可以表示为

上式表明，第一过程项表示在系统控制过程中，对动态跟踪误差加权平均和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量。第6页，课件共90页，创作于2023年2月（3）第二过程项（7-6）若取于是，式（7-6）可以表示为则有

上式表明，第二过程项表示在系统控制过程中，对加权后的控制能量消耗的总度量。第7页，课件共90页，创作于2023年2月

因此，二次型性能指标（7-3）的物理意义是：是系统在控制过程中的动态误差与能力消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。二次型性能指标有如下几种重要的特殊情形。（1）状态调节器的问题在系统方程（7-1）和误差向量（7-2）中，如果则有从而，性能指标（7-3）演变为（7-7）第8页，课件共90页，创作于2023年2月（7-7）

这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向量，使性能指标（7-7）极小，即使得系统状态始终保持在零平衡状态附近。（7-8）（2）输出调节器的问题

在误差向量（7-2）中，如果则有从而，性能指标（7-3）演变为第9页，课件共90页，创作于2023年2月（7-8）

这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡状态时，要求系统产生一控制向量，使性能指标（7-8）极小，即使得系统输出始终保持在零平衡状态附近。（3）跟踪系统问题

如果，式（7-2）成立，性能指标保持式（7-3）的形式不变，则线性二次型问题归结为：当希望输出量作用于系统时，要求系统产生一控制向量，使性能指标（7-3）极小，即使得系统的实际输出始终跟随的变化。第10页，课件共90页，创作于2023年2月7.2状态调节器

所谓状态调节器问题，就是要求系统的状态保持在平衡状态附近。7.2.1有限时间状态调节器问题7.1设线性时变系统状态方程为（7-9）

式中无约束；矩阵与维数适当，其各元连续且有界。要求确定最优控制，使下列性能指标极小：（7-10）

式中权矩阵其各元均连续有界；末端时刻固定且为有限值。第11页，课件共90页，创作于2023年2月（1）最优解的充分必要条件

定理7-1对于最优调节器问题7-1，最优控制的充分必要条件（7-11）最优性能指标为（7-12）

式中维对称非负矩阵满足黎卡提矩阵微分方程（7-13）其边界条件为而最优轨线，则是下列线性向量微分方程的解：（7-14）（7-15）第12页，课件共90页，创作于2023年2月证明：必要性：证(5-14)表示的u*确为最优，取H函数为：根据最优控制的控制方程：可得：因为：故u*为使哈密顿函数取极小控制。因末态自由，横截条件为：（见P50定理3-1）由正则方程，得：（7-19）第13页，课件共90页，创作于2023年2月设协态方程的解为则状态方程为（7-23）解此方程，可得最优轨线：此外：将（7-23）代入：与（7-19）式比较可得：第14页，课件共90页，创作于2023年2月该方程称为黎卡提（Riccati)矩阵微分方程由和可知黎卡提微分方程的边界条件为：因此，得最优控制的必要条件为：必要性得证。充分性：若上式u*中P(t)为黎卡提方程满足边界条件的解，我们能证明它满足哈密顿-雅可比方程，则根据连续系统动态规划，充分性成立。第15页，课件共90页，创作于2023年2月令哈密顿-雅可比方程为由于u(t)无约束，令第16页，课件共90页，创作于2023年2月解得：将该式与对照，可使从而可得代入哈密顿-雅可比方程，得注意到可以得到第17页，课件共90页，创作于2023年2月若P(t)满足黎卡提方程则用描述的控制u*(t)对于任何x(t)均满足哈密顿-雅可比方程而如此表述的故当上述黎卡提方程的边界条件为：对照性能指标的终端项则有充分性得证。由取可得第18页，课件共90页，创作于2023年2月（2）黎卡提方程解的若干性质

由定理7-1可知，问题7-1的最优控制是状态的线性反馈形式(7-16)式中(7-17)为反馈增益矩阵。由于式（7-17）中矩阵和是已知的，因此闭环系统的性质取决于黎卡提方程的解。①

是唯一的。②

是对称的。第19页，课件共90页，创作于2023年2月命题7-1若矩阵是黎卡提方程（7-13）及其边界条件（7-14）的唯一解，则必为对称矩阵，即(7-18)证明：由黎卡提方程及边界条件：考虑到F、R、Q均为对称阵，将上式转置：可见上述两个矩阵微分方程和其边界条件完全相同。由P(t)

解的惟一性，可知第20页，课件共90页，创作于2023年2月③

是非负的。命题7-2对于性能指标（7-10）如果对有所的，有则对于任意的和相应的，总有命题7-3若矩阵是黎卡提方程（7-13）及其边界条件（7-14）的唯一解，则其在区间上必为非负矩阵。第21页，课件共90页，创作于2023年2月（3）最优控制解的存在性与唯一性

定理7-2对于最优调节器问题7-1，若有限，则式（7-11）给出的最优控制存在且唯一。P170－P172的两个例题给出了如何应用黎卡提方程来解最优控制的例子。第22页，课件共90页，创作于2023年2月7.2.2无限时间状态调节器

对既有最优性要求，又有稳定性要求的问题只能用无限时间调节器理论去解决。（1）无限时间时变状态调节器问题7-2设线性时变系统状态方程为(7-19)性能指标(7-20)式中向量及矩阵的假定同问题7-1，控制不受约束。要求确定最优控制，使性能指标（5-20）极小。第23页，课件共90页，创作于2023年2月定理7-3对于无限时间时变状态调节器问题7-2,若阵对完全可控，则存在唯一的最优控制(7-21)最优性能指标为(7-22)式中(7-23)是对称、非负的，而是如下黎卡提方程：(7-24)及其边界条件的唯一解。(7-25)第24页，课件共90页，创作于2023年2月

关于定理7-3,有如下几点标记.1）对系统提出的完全可控性要求，是为了保证最优解的存在。例：设系统状态方程及初始条件为性能指标试求最优控制及最优性能指标。第25页，课件共90页，创作于2023年2月解①状态不可控。本例为线性定常系统，其可控性判据故系统不可控。②不可控状态不稳定。系统矩阵状态转移矩阵故系统的零输入响应为显然第26页，课件共90页，创作于2023年2月③

不稳定且不可控状态包含于性能指标之中。无论取何值时，性能指标因而本例不存在使的最优控制

实际上，本例为线性定常系统，性能指标中的权矩阵亦为常阵。因此，即使对于无限时间定常状态调节器问题，为了保证最优解存在，也必须要求系统完全可控。第27页，课件共90页，创作于2023年2月3）对于无限时间时变状态调节器，由于黎卡提方程（7-24）在边界调节（7-25）下的稳态解仍为时变矩阵，因而最优控制律是时变的，不便于工程应用。2）对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终点指标，取权阵。其原因有二：一是希望，即要求稳态误差为零，因而性能指标中不必加入体现终点指标的末值项；二是工程上仅考虑在有限时间内系统的响应，因而时的终点指标将失去工程意义。第28页，课件共90页，创作于2023年2月（2）无限时间定常状态调节器问题7-3设线性定常系统状态方程为(7-26)性能指标(7-27)

式中无约束；矩阵和是维数适当的常数矩阵。并且，和分别为非负定和正定对称矩阵。要求确定最优控制，使性能指标（7-27）极小。第29页，课件共90页，创作于2023年2月

定理7-4对于系统（7-26）和性能指标（7-27），若对于任意矩阵，有，且是如下黎卡提矩阵代数方程：7-28的解，则阵对完全可观的充分必要条件是为对称正定矩阵第30页，课件共90页，创作于2023年2月

定理7-5对于无限时间定常状态调节器问题7-3,若阵对完全可控，阵对完全可观，其中，且任意，则存在唯一的最优控制(7-29)最优性能指标为(7-30)

式中为对称正定常阵，是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解(7-31)第31页，课件共90页，创作于2023年2月7.2.3最优调节系统的渐进稳定性

按定常调节器问题进行综合，可得最优调节系统，其闭环系统方程为(7-32)研究该最优调节系统渐进稳定的必要条件。定理7-6设线性定常系统(7-33)性能指标(7-34)第32页，课件共90页，创作于2023年2月7-35为渐进稳定的最优调节系统，为一个李雅普诺夫函数。其中，为对称正定常阵，是黎卡提矩阵代数方程7-31的唯一解。

式中无约束；矩阵和是维数适当的常数矩阵。并且，和分别为非负定和正定对称矩阵。若阵对完全可控，阵对完全可观，其中，而任意，则闭环系统第33页，课件共90页，创作于2023年2月命题7-4对于系统（7-33）和性能指标（7-34）,已知阵对可控，且系统（7-33）的可控标准形为式中为可控对。假定不可观，其中。如果的特征值均具有负实部，则最优闭环系统是渐进稳定的。第34页，课件共90页，创作于2023年2月7.3具有给定稳定度的状态调节器问题7-4设线性定常系统状态方程(7-36)性能指标(7-37)

式中无约束；矩阵和是维数适当的常数矩阵。并且，和分别为非负定和正定对称矩阵。，为已知值。要求确定最优控制，使性能指标7-37极小，并使最优闭环系统渐进稳定，其特征值实部小于第35页，课件共90页，创作于2023年2月7.3.1修正调节器问题的最优解设在问题7-4完全可控，完全可观，其中为任一使的矩阵。可控及可观的要求，对确保无限时间问题有解以及确定对闭环系统的稳定度约束使必需的。通过变换方法，可将问题7-4化为无限问题定常调节器问题，定义(7-38)(7-39)考查(7-40)第36页，课件共90页，创作于2023年2月(7-41)

将式（7-38）和式（7-39）代入上式，得修正调节器性能指标(7-42)式中与仍然分别为非负和正定对称矩阵。对于系统（7-41）和性能指标（7-42），如果没有可控性和稳定性的附加约束，则这一最小化问题可能无解。第37页，课件共90页，创作于2023年2月根据线性系统理论，如下四种提法完全等价①是完全可控的。④是完全可控的。②对于定常向量和所有的意味着。③对于定常向量和所有的意味着。

由于已设完全可控，因此完全可控，根据对偶性原理，完全可观等价于完全可观。第38页，课件共90页，创作于2023年2月根据定理7-5，修正调节器问题存在唯一的最优控制(7-43)最优性能指标(7-46)式中为正定对称常阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程(7-45)根据定理7-5,最优闭环系统是渐进稳定的。(7-44)第39页，课件共90页，创作于2023年2月7.3.2具有给定稳定度的调节器问题的最优解将式（7-38）和式（7-39）分别代入式（7-43）、式（7-44）、式（7-46），可得最优控制（7-47）最优性能指标（7-48）最优闭环系统渐进稳定。其中满足式（7-45）。（7-49）第40页，课件共90页，创作于2023年2月为了证明关于稳定度的规定，由渐进稳定得式（7-46），有（7-50）将式（7-38）代入式（7-50），可得（7-51）当时，最优闭环系统（7-49）的状态至少以的速度趋于零，完全满足给定稳定度的要求。越大，收于零的速度越快。通常将称为闭环系统的最小稳定度。第41页，课件共90页，创作于2023年2月定理7-7设线性定常系统状态方程(7-52)性能指标(7-53)

式中无约束；矩阵和是维数适当的常阵。并且，和分别为非负定和正定对称矩阵。为给定的正常数。若阵对完全可控，阵对完全可观，其中为任一使的矩阵，则存在唯一最优控制(7-54)第42页，课件共90页，创作于2023年2月最优性能指标7-55

式中为对称正定常阵，是下列黎卡提矩阵代数方程：7-56的唯一解。最优闭环系统7-57是渐进稳定的，且稳定度至少为。第43页，课件共90页，创作于2023年2月7.4逆最优调节器

逆最优调节器问题，是指已知某个具有未知定常扰动的线性定常系统，在规定稳定度要求下，寻求某个二次型性能指标，使得由规定稳定要求确定的线性状态反馈控制律，对所构造的性能指标来说是最优的。逆最优调节器的实质：最优调节器的极值点配置问题。第44页，课件共90页，创作于2023年2月7.4.1逆调节器问题设完全可控系统状态方程(7-58)式中为维状态向量；为维控制向量，且无约束；为维常值未知扰动向量；；和为维数适当的常数矩阵。假设：①矩阵列满秩②值域空间。③规定稳定度要求。0ImRe第45页，课件共90页，创作于2023年2月若令(7-59)(7-60)则逆最优调节器问题为：寻求二次型性能指标(7-61)

使得由和确定的控制律，对性能指标（7-61）是最优的。其中，为非负对称常阵，和为正定对称常阵。第46页，课件共90页，创作于2023年2月由假设②，能够选取一个矩阵，使得将式（7-62）代入状态方程（7-58），并考虑式（7-59）和式（7-60），可得(7-62)(7-63)定义(7-64)(7-65)第47页，课件共90页，创作于2023年2月则系统方程（7-63）和（7-64），以及性能指标（7-61）可以写为(7-66)(7-67)式中和是维数适当的常阵,且和分别为非负和正定对称矩阵第48页，课件共90页，创作于2023年2月经上述矩阵增广后，逆最优调节器问题转化为：对于给定的线性定常系统（7-66）和给定稳定度约束和，寻求状态反馈阵和权阵与，使得满足和约束成为最优控制，并使性能指（7-67）极小。7.4.2状态反馈阵的表达式

一个完全可控的阶连续系统，对其给定稳定度的一种评价规则是所有闭环极点的实部和幅角有要求的上限。若用表示期望极点区域，易见为图7-1中的阴影区。第49页，课件共90页，创作于2023年2月图7-1期望极点区域引理7-1定常齐次动态方程其零解渐进稳定的充要条件是：对给定的任一正定对称阵，都存在唯一的正定对称阵，使得第50页，课件共90页，创作于2023年2月引理7-2对于完全可控的阶连续系统如果必有即式中表示特征值，表示实部。第51页，课件共90页，创作于2023年2月引理7-3对于任意给定的正定对称矩阵，以及任意正数和，矩阵方程(7-68)有正定对称解的充分必要条件是第52页，课件共90页，创作于2023年2月定理7-8设系统（7-66）完全可控，给定正定对称矩阵。若为正定对称矩阵，则必存在满足下式的状态反馈阵：(7-69)使得闭环系统特征值。第53页，课件共90页，创作于2023年2月7.4.3状态反馈阵与性能指标的关系(7-70)的一般解。式中，满足若非奇异，则有(7-71)引理7-4对于完全可控系统（7-66），若列满秩，对称非负，渐进稳定，则存在对称正定矩阵和状态反馈阵，其中为对称非负矩阵，是如下方程第54页，课件共90页，创作于2023年2月定理7-9考虑完全可控（7-66），列满秩，若①②为对称非负矩阵。③对称非负，其中第55页，课件共90页，创作于2023年2月则当正定对称时，必存在非负对称的和，满足(7-72)(7-73)式中第56页，课件共90页，创作于2023年2月推论在定理7-9中，若取为单位阵，则必存在非负对称得和，满足(7-74)(7-75)第57页，课件共90页，创作于2023年2月7.4.4逆最优调节器的设计步骤逆最优调节器的设计，可按如下步骤进行：①②③给定正定对称矩阵，一般可取由式（7-69）求出使为对称正定矩阵的取值范围由定理7-9检验所取阵是否满足条件和，不满足则返回至，重取阵，直至条件满足。②③②第58页，课件共90页，创作于2023年2月④取，按式（7-72）和式（7-73）分别计算和。⑤取为对角块阵，可得使成为最优反馈增益阵的性能指标（7-67）。⑥由和，可得原系统要求构造得性能指标（7-61）。第59页，课件共90页，创作于2023年2月7.5离散状态调节器问题7-5设线性离散系统状态差分方程式中.性能指标要求一最优控制序列,使性能指标最小问题7-5是有限时间离散状态调节器问题。可以证明,其最优控制是一种线性状态反馈规律,而且最优性能指标是初始状态的二次型函数。定理7-10对于有限时间离散状态调节器问题7-5,存在唯一的线性状态反馈最优控制序列第60页，课件共90页，创作于2023年2月最优性能指标式中反馈增益矩阵序列而是下列离散黎卡提方程的对称非负定解边界条件为第61页，课件共90页，创作于2023年2月离散状态调节器的结构图如图7-5所示B(k)由定理7-10可见,反馈增益矩阵取决于系统的系数矩阵A(k),,以及性能指标中的权矩阵,、和,而与初始状态无关。因此实现上图所示闭环最优控制时,可以离线算出,在线只进行的简单运算第62页，课件共90页，创作于2023年2月例7-8已知离散系统试求最优控制序列，使性能指标为最小。其中为正数解本例为离散状态调节器问题。由题意（A）另，得（B）另，算得第63页，课件共90页，创作于2023年2月求出（C）另，算得求出（Ｄ）另，算得第64页，课件共90页，创作于2023年2月求出（E）计算最优控制序列第65页，课件共90页，创作于2023年2月第8章线性最优输出调节器与跟踪系统8.1输出调节器8.1.1有限时间输出调节器问题8-1设线性时变系统动态方程要求确定最优控制，使下列性能指标极小：引理8-1在问题8-1中，若矩阵对完全可观测，则下列矩阵：第66页，课件共90页，创作于2023年2月必为对称非负定矩阵。定理8-1对于有限时间输出调节器问题8-1，若矩阵对在时刻完全可观测，则存在唯一的最优控制最优性能指标最优轨线满足下列线性微分方程：式中为对称非负定矩阵，是下列黎卡提方程：在边界条件下的唯一解。第67页，课件共90页，创作于2023年2月8.1.2无限时间输出调节器问题8-2设线性定常系统动态方程要求确定最优控制，使下列性能指标极小定理8-2对于无限时间定常输出调节器问题8-2，若矩阵对完全可控，完全可观，且对于满足的任何，阵对完全可观，则最优控制最优性能指标第68页，课件共90页，创作于2023年2月式中为正定对称常数矩阵，满足下列黎卡提代数方程最优闭环系统是渐进稳定的，其解为最优轨线例8-1设系统动态方程性能指标试构造输出调节器，使性能指标极小第69页，课件共90页，创作于2023年2月解：（A）检测系统的可控性与可观性。由题意有因为所以，可控，可观，可观，可以构造渐进稳定的最优输出调节器。第70页，课件共90页，创作于2023年2月（B）解黎卡提代数方程。将各有关参数代入式（8-16）求得最优输出调节器结构图如图所示（C）求最优控制。（D）检验闭环系统稳定性由式（8-17）得闭环系统方程易验证闭环系统确是渐进稳定的。第71页，课件共90页，创作于2023年2月定义8-1稳定子空间与不稳定子空间。对于齐次微分方程，其中有各异特征值，则所有由负实部特征值的特征向量所张成的线性子空间，称为稳定子空间;否则称为不稳定子空间。定义8-2可控子空间由相应于可控特征值的特征向量所张成的线性子空间，称为可控子空间。定义8-3可观子空间。由相应于可观特征值的特征向量所张成的线性子空间，称为可观子空间。定义8-4可稳定性对于系统，若不稳定子空间包含在可控子空间中，则称为可稳定的第72页，课件共90页，创作于2023年2月定义8-5可稳定性。对于系统，当且仅当在可控性分解式中渐进稳定，则可稳定在式（8-18）中，为可控对，为系统的可控特征值，为不可控特征值定义8-6可检测性。对于系统，若不可观子空间包含在稳定子空间内，则称为可检测定义8-7可检测性。系统为可检测的，必要且仅要可观性分解第73页，课件共90页，创作于2023年2月式中渐进稳定。在式（8-19）中，为可观时，为系统可观特征值，为不可观特征值定理8-3对于无限时间定常输出调节器问题8-2，若给定黎卡提矩阵微分方程边界条件则（A）为常阵的充分必要条件是可稳定（B）若可稳定，可检测，则满足如下黎卡提代数方程（8-16）第74页，课件共90页，创作于2023年2月最优性能指标最优控制为且闭环系统渐进稳定的充分必要条件是可稳定，可检测（D）当时，的充分必要条件是可观8.1.3输出反馈次优调节器问题8-3设完全可控且完全可观的线性定常系统动态方程第75页，课件共90页，创作于2023年2月试确定输出反馈次优控制律使下列性能指标极小式中和均为对称正定常数矩阵。并使如下闭环系统渐进稳定。其中输出反馈系统结构图，如图所示，将（6-48）代入（6-49）得：第76页，课件共90页，创作于2023年2月其中 下面采用李雅普诺夫第二法讨论，确定，要求保证闭环系统渐进稳定，并使性能指标极小。取李雅普诺夫函数第77页，课件共90页，创作于2023年2月将（8-50）代入上式，得令则因此按（8-55）选择和，可以保证闭环系统的渐进稳定由（8-53）和（8-56），可得将（8-57）代入（8-51），得第78页，课件共90页，创作于2023年2月由于闭环系统（8-50）渐进稳定，必有。于是，问题8-3的次优性能指标次优控制其中和满足由（8-60）解出用表示的，即，代入（8-58），得，然后令可以找到使极小的值。从而求得值第79页，课件共90页