新湘教版高中数学选择性必修·第二册1.2.2函数的和差积商求导法则 课件（共22张PPT）

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1．2.2函数的和差积商求导法则

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

要点导数的和差积商运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则

(1)(cf(x))′＝____________；

(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；

(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(4)()′＝____________；

(5)()′＝.

cf′(x)

－

批注可推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．

批注可推广到任意有限个可导函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)．

批注切记[]′≠.

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()

(2)已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．()

(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.()

×

√

×

2．函数f(x)＝x2＋sinx的导数f′(x)＝()

A．2x＋cosxB．2x＋sinx

C．x＋cosxD．x－cosx

答案：A

解析：由f(x)＝x2＋sinx，可得f′(x)＝2x＋cosx.

3．函数y＝sinx·cosx的导数是()

A．y′＝cos2x＋sin2x

B．y′＝cos2x－sin2x

C．y′＝2cosx·sinx

D．y′＝cosx·sinx

答案：B

解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.

4．函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数是________．

答案：0

解析：因为f′(x)＝(x＋)′＝x′＋′＝1－，所以f′(1)＝1－1＝0.

题型探究·课堂解透

题型1利用导数的加法与减法法则求导

例1求下列函数的导数．

(1)y＝2x3＋x2－x＋1；

(2)y＝x4＋cosx；

(3)y＝ex＋lnx．

解析：

(1)y′＝(2x3)′＋(x2)′－(x)′＋(1)′＝6x2＋2x－1.

(2)y′＝(x4)′＋(cosx)′＝4x3－sinx.

(3)y′＝(ex)′＋(lnx)′＝ex＋.

方法归纳

熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．

判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．

巩固训练1求下列函数的导数．

(1)y＝x5＋x3；

(2)y＝5x－lnx；

(3)y＝log5x＋sinx．

解析：

(1)y′＝′＋′＝x4＋2x2.

(2)y′＝(5x)′－(lnx)′＝5xln5－.

(3)y′＝(log5x)′＋(sinx)′＝＋cosx．

题型2利用导数的乘法与除法法则求导

例2求下列函数的导数：

(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；

(2)y＝；

(3)y＝excosx．

解析：

(1)y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′

＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3.

(2)y′＝

＝＝.

(3)y′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝ex(cosx－sinx)．

方法归纳

求函数导数的策略

对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．

巩固训练2求下列函数的导数：

(1)f(x)＝(x2＋1)(x－)；

(2)f(x)＝.

解析：

(1)f′(x)＝2x(x－)＋(x2＋1)(1＋)＝3x2＋.

(2)f′(x)＝＝.

题型3利用导数运算法则解决与切线有关的问题

例3已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．

(1)求f(1)＋f′(1)；

解析：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，

由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋，

所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

解析：(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．

令f′(x)＝0，即2ax＋＝0有正实数解，

即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，

所以实数a的取值范围是(－∞，0)．

方法归纳

解与切线有关问题的策略

巩固训练3

已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.

(1)求a，b的值；

解析：(1)

因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，

所以f′(x)＝2ax＋b.

又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.

(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．

解析：(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3