线性代数二次型第五章

线性代数二次型第五章第1页，课件共63页，创作于2023年2月第五章二次型§1二次型及其标准形§2用合同变换化二次型为标准型§3用正交变换化二次型为标准型§4二次型的分类第2页，课件共63页，创作于2023年2月§1二次型及其标准形一、二次型的概念及矩阵表示二、非退化的线性交换三、用配方法化二次型为标准形第3页，课件共63页，创作于2023年2月一、二次型的概念及矩阵表示考虑方程在平面上代表什么曲线？(1)第4页，课件共63页，创作于2023年2月将坐标系（O,x,y)顺时针旋转45°,即令(2)则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程：(3)从而曲线为一椭圆。o第5页，课件共63页，创作于2023年2月定义1将n元二次齐次式称为n元二次型。二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。取aij=aji

;则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi所以f(x1,x2,…,xn)(4)二次型还可以用矩阵表示第6页，课件共63页，创作于2023年2月则：f(x1,x2,…,xn)=x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn)+x2

(a21x1+a22x2+…+a2nxn)+……+xn

(an1x1+an2x2+…+annxn)=(x1,x2,…,xn)a11x1+a12x2+…+a1nxna21x1+a22x2+…+a2nxn……an1x1+an2x2+…+annxn=(x1,x2,…,xn)第7页，课件共63页，创作于2023年2月简记为f=XTAX(5)其中：X=称矩阵A

为二次型f

的矩阵，方阵A

的秩为二次型的秩。显然(1)A是对称矩阵f(x1,x2,…,xn)A(2)第8页，课件共63页，创作于2023年2月例1写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：解:则令第9页，课件共63页，创作于2023年2月例2写出二次型的矩阵和矩阵表示式：解:令则矩阵是对角矩阵第10页，课件共63页，创作于2023年2月定义2只含有平方项的二次型称为n元二次型的标准形。显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。第11页，课件共63页，创作于2023年2月定义3对于线性交换x1=q11y1+q12y2+…+q1nynx2=q21y1+q22y2+…+q2nyn……xn=qn1y1+qn2y2+…+qnnyn(6)当是满秩(可逆)矩阵时,称线性变换(6)为非退化(或满秩)的线性变换。二、非退化的线性交换第12页，课件共63页，创作于2023年2月简记为X=QY其中：x1=q11y1+q12y2+…+q1nynx2=q21y1+q22y2+…+q2nyn……xn=qn1y1+qn2y2+…+qnnyn第13页，课件共63页，创作于2023年2月定理1任一二次型f

，其中:y1,y2,…,yn

是原变量x1,x2,…,xn经满秩的线性变换后得到的新变量。通过非退化的线性变换化成标准型都可化二次型为标准型的方法：1.配方法2.合同变换3.正交变换第14页，课件共63页，创作于2023年2月例3化二次型f=x12+2x22–x32+4x1x2–4x1x3–4x2x3为标准形，并写出所作的线性变换。=x12+4x1(x2–x3)=(x1+2x2–2x3)2–2x22+4x2x3–5x32=(x1+2x2–2x3)2–2(x22–2x2x3+x32)–3x32=(x1+2x2–2x3)2–2(x2–x3)2–3x32解：+2x22–x32–4x2x3x12

+4x1(x2–x3)f=–4(x2–x3)2

+2x22–x32–4x2x3+4(x2–x3)2三、用配方法化二次型为标准形第15页，课件共63页，创作于2023年2月令：y1=x1+2x2–2x3y2=x2–x3y3=x3则：f=y12–2y22–3y32为标准型其中：是非退化的线性变换。f=(x1+2x2–2x3)2–2(x2–x3)2–3x32即：线性变换为：x1=y1–2y2

x2=y2+y3x3=y3即：第16页，课件共63页，创作于2023年2月例4化二次型f=2x1x2+2x1x3–6x2x3为标准形，并写出所作的线性变换。解：由于f中不含平方项，故先通过线性变换来构造平方项。令：x1=y1+y2

x2=y1–y2,x3=y3即：第17页，课件共63页，创作于2023年2月则f=2y12–2y22+2y1y3+2y2y3–6y1y3+6y2y3=2y12–4y1y3–2y22+8y2y3=2(

y12–2y1y3+y32)–2y32–2y22+8y2y3=2(y1–y3

)2–2(y22–4y2y3+4y32

)+6y32

=2(y1–y3

)2–2(y2–2y3)2+6y32

令：z1=y1–y3

z2=y2–2y3,z3=y3即：则二次型化为标准型f=2z12–2z22+6z32第18页，课件共63页，创作于2023年2月其中：因为：所以所作的线性变换是非退化的。第19页，课件共63页，创作于2023年2月定理2任意一个二次型都可以用配方法化成标准形。注1：化二次型为标准形时，所用的非退化的线性变换不同，标准形的系数不一定相同，因此，二次型的标准形不是唯一的。第20页，课件共63页，创作于2023年2月例如：f=2x1x2+2x1x3–6x2x3化为标准形：f=2z12–2z22+6z32再作非退化的线性交换得新标准形：f=u2–v2+w2由非退化的线性变换即：第21页，课件共63页，创作于2023年2月§2用合同变换化二次型为标准型一、矩阵间的合同关系二、用合同变换化二次型为标准型请点击第22页，课件共63页，创作于2023年2月对于二次型f=XTAX令非退化线性变换为X=QY

,其中：|Q|0则:f=(QY)TA(QY)其中：B=QTAQ得:f=YTBY。=YT(QTAQ)YY的二次型新变量X的二次型变量可以是对角阵一、矩阵间的合同关系第23页，课件共63页，创作于2023年2月定义1设有两个方阵A与B，若存在一个可逆阵Q，则称A合同于B，记作B=QTAQ使第24页，课件共63页，创作于2023年2月性质反身性传递性证(ii)若B=QTAQ,则

(QT)–1BQ–1

=A即A=

(Q–1

)T

BQ–1,

对称性(iii)若B=

Q1

TAQ1,C=Q2

TBQ2,则C=Q2

T(Q1

TAQ1

)

Q2即C=(Q1

Q2

)T

A

(Q1Q2),第25页，课件共63页，创作于2023年2月表示对A作一次行初等变换后再作同一类型的列变换。结论：A可经过一系列同一类型的行列初等变换(也称合同变换)化成对角矩阵B。存在可逆阵Q

，由Q

可逆,则

Q=p1p2…pm有若B=QTAQ,使(p1p2…pm)TA(p1p2…pm)()P2TP1T

A

P1P2第26页，课件共63页，创作于2023年2月问题：求Q？Q

=p1p2…pm=E

p1p2…pm即：对E施行与A

同类型的列初等变换，即得Q进行一系列行列同型的初等变换只进行同类型的列初等变换()P2TP1T

A

P1P2BAEBQ第27页，课件共63页，创作于2023年2月例1化二次型f=x12+2x1x2–4x1x3+3x22为标准型。解：f=(x1

x2

x3)r2–r1022c2–c102–1AE第28页，课件共63页，创作于2023年2月得作变换X=QY,化二次型f为标准型f=YTBY=y12+2y22–6y32r3–2r1c3–2c1r3–r2c3–c2BQ=12–6B=QTAQ其中:12–600第29页，课件共63页，创作于2023年2月§3用正交变换化二次型为标准型一、正交矩阵二、正交变化三、实对称方阵的特征值、特征向量四、用正交变换化二次型为标准型请点击第30页，课件共63页，创作于2023年2月二、正交变化1.定义2若P为正交矩阵，则称线性交换X=PY

为正交变换。注1:正交变换是非退化(满秩)的线性变换。注2:若X=PY为正交变换，则|X|=即正交变换保持向量的长度不变。第31页，课件共63页，创作于2023年2月定理对二次型f=XTAX

一定存在正交变换

X=PY化二次型为标准型f=XTAX=YTPTAPY=YTY第32页，课件共63页，创作于2023年2月若存在正交阵P，使PTAP=而PT=P

–1，记P的列向量组为1,

2,…

,

n分析：如何求P？AP=P则有第33页，课件共63页，创作于2023年2月有A(1,

2,…

,

n)=(1,

2,…

,

n)

(A1,A

2,…

,A

n)=(11,2

2,…

,n

n)即A

i=i

i,i=1,2,…,n.

i0i是A的特征值，标准型中的系数1

,2

,…

,n

可由求A的特征值得出。得出，正交矩阵P

,是由求特征向量1,

2,…

,

n而

i是属于i

的特征向量.且1,

2,…

,

n是正交的单位向量组。第34页，课件共63页，创作于2023年2月三、实对称方阵的特征值、特征向量引理1实对称方阵A的特征值都是实数证：设是A的特征值，X是对应的特征向量，即AX=X,X0两边取共轭:AX=X,再两边取转置:XTA=XT由于AX=X，代入(3)式,得即得(3)由X0，即为实数。所以第35页，课件共63页，创作于2023年2月引理2实对称方阵

A对应于不同特征值的特征向量是相互正交的。证：设是A

不同特征值，、

分别是属于和的特征向量，则T=(A)

T=TAT

=T(

A

)=T=T(

)因,

故T=0而(–)T=0,即与正交.第36页，课件共63页，创作于2023年2月引理3若是n阶实对称方阵A的k重根，则A的对应于的线性无关特征向量的最大个数恰为k.第37页，课件共63页，创作于2023年2月四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵)步骤：(1)解特征方程|A–E|=0,得n

个特征实根1

,2

,…

,n.(2)对每个i(i=1,2,…,n)，解齐次线性方程组(A–E)X=0求出对应于i的特征向量.若i是k

重根，有

k

个线性无关的特征向量第38页，课件共63页，创作于2023年2月(3)将属于同一特征值的正交化(4)单位化得正交的单位向量组1

,2

,…

,n取P=(1

,2

,…

,n)则正交变换X=PY，化二次型为标准型f=YTY=1

y12+2

y22

+…

+n

yn2第39页，课件共63页，创作于2023年2月(1)解特征根：标准形式为：例1：用正交化方法化二次型为标准型第40页，课件共63页，创作于2023年2月(2)对1=–3，即：得基础解系：X1(A+3E)X=0解线性方程组第41页，课件共63页，创作于2023年2月即系数矩阵的秩为1，基础解系含有三个向量X

2X

3X

4对2=3=4=1,解线性方程组(A–E)X=0第42页，课件共63页，创作于2023年2月(3)将X2,X3,X4正交化取2=X23=X3–4

=X4–第43页，课件共63页，创作于2023年2月(4)单位化1234第44页，课件共63页，创作于2023年2月故取正交矩阵P

=(1

2

3

4

)作正交变换

X=PY,即第45页，课件共63页，创作于2023年2月就将二次型f化成标准型f=–3y12+y22+y32+y42第46页，课件共63页，创作于2023年2月§4二次型的分类一、惯性定理二、实二次型的分类三、正定二次型的判定请点击第47页，课件共63页，创作于2023年2月一、惯性定理对于二次型f=XTAX，经过非退化的线性变换X=QY其中:则r(A)=r(B)=r,且r

为对角线上非零元的个数B=QTAQ00化成标准型f=YTBY第48页，课件共63页，创作于2023年2月定理1(惯性定理)设二次型f=XTAX的秩为r

n

若有两个非退化的线性变换将f

分别化为:f=1

y12+2

y22+…+

r

yr2,(

i

0,i=1,2,…,r)f=l1

z12+l2

z22+…+l

r

zr2,(l

i

0,i=1,2,…,r)则

i

中正数个数与l

i中正数个数相同.(从而负数个数也同)第49页，课件共63页，创作于2023年2月其中：系数

i中正数的个数p,负数的个数g=r–p,p–g,称为符号差.f=1

y12+2

y22+…+

r

yr2,称为二次型

f

的正惯性指数。称为二次型

f

的负惯性指数。第50页，课件共63页，创作于2023年2月例如：二次型f=2x1x2+2x1x3–6x2x3

经非退化的线性变换化成标准型f=2y12–2y22

+6y32还可经非退化的线性变换化为标准型f=z12–z22

+z32第51页，课件共63页，创作于2023年2月推论：任一二次型f=XTAX

都可经非退化的线性变换化成规范型f=z12+z22+…+zp2–z2p+1–…–zr2且规范型是唯一的.第52页，课件共63页，创作于2023年2月二、实二次型的分类定义1对于二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX

如果对于任意一组不全为0的实数c1,c2,…,cn

(1)恒有f(c1,c2,…,cn)>0,矩阵A为正定矩阵;(2)恒有f(c1,c2,…,cn)<0,则称二次型是负定的;(3)恒有f(c1,c2,…,cn)0,则称二次型是半正定的;(4)恒有f(c1,c2,…,cn)0,则称二次型是半负定的;(5)恒有f(c1,c2,…,cn)有时为正，有时为负,则称二次型是不定的.则称二次型是正定的，第53页，课件共63页，创作于2023年2月定理2设秩为r的n

元二次型f=XTAX经非退化的线性变换X=QY化为标准型f=k1y12+k2y22+…+k

ryr2,(ki

0,i=1,2,…,r)且设f的正惯性指数为p

(1pr

),则(1)当p=r=n

时，(2)当p=r<n

时，(3)当p=0,r=n时，(4)当p=0,r<n

时，(5)当0<

p

<

rn

时，f为正定二次型;f为半正定二次型;f为负定二次型;f为半负定二次型;f为不定二次型.第54页，课件共63页，创作于2023年2月三、正定二次型的判定（1）f=XTAX为正定的；（2）A的特征值

都大于零；（4）矩阵A

左上角各阶子式(称为A的顺序主子式)恒大于零.即:a11>0,……,设A为实对称矩阵，则以下4个命题等价：定理3（3）A与单位阵E合同；第55页，课件共63页，创作于2023年2月定理4（1）实二次型f=XTAX为负定的；（3）A的顺序主子式的符号为负正相间.即:a11<0,……,设A为实对称矩阵，则以下3个命题等价：（2）A的特征值

都小于零；第56页，课件共63页，创作于2023年2月例1：判定下列二次型的正定性。(1)f=