四川省宜宾市江安中学校2022年高三数学理期末试题含解析

四川省宜宾市江安中学校2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，其中，则导数的取值范围是（

）A．[-2,2] B． C． D．参考答案：D2.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为A．4650元

B．4700元

C．4900元

D．5000元参考答案：C略4.下列各组命题中，满足“‘’为真、‘’为假、‘’为真”的是(

)A.在定义域内是减函数：偶函数；B.，均有是成立的充分不必要条件；C.的最小值是6；：直线被圆截得的弦长为3；D.p:抛物线的焦点坐标是(2,0)；q:过椭圆的左焦点的最短的弦长是参考答案：B分析：分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．详解：A．在和上分别是减函数，

则命题是假命题，是真命题，则是假命题，不满足条件．

B．判别式，则，均有成立，

即是真命题，是成立的必要不充分条件，

即是假命题，则“‘’为真、‘’为假、‘’为真”，故B正确，

C．当时，的最小值不是6，则是假命题，

圆心道直线的距离d则弦长l，则是假命题，则q为假命题，不满足条件．

D．抛物线的焦点坐标是，则是真命题，

椭圆的左焦点为，当时，，则，则最短的弦长为，即是真命题，

则￢q是假命题，不满足条件．

故选：B．点睛：本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．综合性较强涉及的知识点较多．5.同时具有性质①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：三角函数的周期，单调性，对称性．6.若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆C的方程是（）A． B． C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设圆心坐标为（a，0）（a＜0），利用半径为的圆被直线x+2y=0截得的弦长为4，可得弦心距为1，求出a，即可求出圆C的方程．【解答】解：设圆心坐标为（a，0）（a＜0），则∵半径为的圆被直线x+2y=0截得的弦长为4，∴弦心距为1，∴=1，∴a=﹣，∴圆C的方程是，故选：B．7.圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(

) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5参考答案：B考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解答： 解：圆的圆心为（1，0）到直线x﹣y=0的距离为=∴弦长为2×=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=∴较短弧长与较长弧长之比为1：3故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．8.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略9.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A.

B.或2

C.2

D.参考答案：A

本题主要考查了圆锥曲线的第一定义，同时考查了学生的应变能力。属中等题

因为

当为椭圆时=(4+2):3=2：1即2a:2c=2：1

所以e=

当为双曲线时(4-2):3=2:3即2a:2c=2:3所以e==10.已知集合，，则＝(

)A．?

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的左、右焦点分别为，直线过，且交双曲线C的右支于A，B（A点在B点上方）两点，若，则直线的斜率k=______.参考答案：略12.若函数在定义域的某个子区间上不具有单调性，则实数的取值范围为

.参考答案：或考点：对数函数的图象和性质及运用．13.已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=．参考答案：﹣2略14.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n=．参考答案：90【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：由题意得，解得n=90，故答案为：90【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．15.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若a1+a3+a5+a7=﹣4，S8=﹣16，则公差d=；数列{an}的前项和最大．参考答案：-2，3.考点： 等差数列的前n项和．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由题意可得a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，可得S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解之可得d=﹣2，进而可得a1=5，可得an=7﹣2n，解不等式可得等差数列{an}的前3项为正数，从第4项起为负数，故数列{an}的前3项和最大．解答： 解：∵a1+a3+a5+a7=﹣4，∴a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，∴S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解得d=﹣2，∴a1+a3+a5+a7=4a1+12d=﹣4，解得a1=5，∴等差数列{an}的通项公式an=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n，令an=7﹣2n≤0可得n≥，∴等差数列{an}的前3项为正数，从第4项起为负数，∴数列{an}的前3项和最大故答案为：﹣2；3点评： 本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题．16.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为

．参考答案：

17.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.参考答案：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，，所以，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），C2：（m为参数）．（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C1与C2的交点分别为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积的最小值．参考答案：（1）sinθx-cosθy﹣2sinθ=0，y2＝4x，（2）4．【分析】（1）C1：将两边同时乘以将两边同时乘以，消去参数t即可，C2消去m即可；（2）联立得y2sinθ﹣4ycosθ﹣8sinθ＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y2＝﹣8，代入S△OAB＝|y1﹣y2|计算即可.【详解】（1）由C1：（t为参数）消去t得C1：cosθy＝sinθ（x﹣2），得sinθx-cosθy-2sinθ=0,由C2：（m为参数）消去m得C2：y2＝4x，（2）联立消去x得y2sinθ﹣4ycosθ﹣8sinθ＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y2＝﹣8，又C1与x轴的交点（2，0）∴S△OAB＝|y1﹣y2|＝，所以sinθ＝1时，SOAB取得最小值4．【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，三角形的面积，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求；参考答案：20.已知函数.（1）当时，求f(x)的极值；（2）当时，讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.试题解析：（1）当时，由,解得.∴f(x)在上是减函数，在上是增函数.∴f(x)的极小值为，无极大值.（2）.①当时，f(x)在和上是减函数，在上是增函数；②当时，f(x)在上是减函数；③当时，f(x)在和上是减函数，在上是增函数.（3）当时，由（2）可知f(x)在上是减函数，∴.由对任意的恒成立，∴即对任意恒成立，即对任意恒成立，由于当时，，∴.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.21.（12分）在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D﹣ABCE，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．参考答案：【考点】：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH⊥平面ABCE，进一步证明AC⊥平面DHF，从而可得线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量，面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，可得二面角A﹣BD﹣C的正弦值．（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE所以DH⊥平面ABCE，因为AC?平面ABCE所以AC⊥DH…（2分）因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE所以AC⊥HF…（4分）因为HF?平面DHF，DH?平面DHF，且HF∩DH=H所以AC⊥平面DHF，又DF?平面DHF所以DF⊥AC…（6分）（Ⅱ）解：连接BH，EB由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则所以，设面DCB的法向量为，则不妨设…（8分）设面DAB的法向量，又则，取…（10分）所以所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为…（12分）【点评】：本题看下线面垂直，考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．22.已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】函数的图象．【分析】（Ⅰ）运用绝对