吉林省长春市德惠市第八中学2022年高三数学理联考试卷含解析

吉林省长春市德惠市第八中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U=R，集合，，则=（

）A． B．C． D．参考答案：C2.设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是

(A)p为真(B)为假(C)为假(D)为真参考答案：C3.以下茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（A），（B），

（C），（D），参考答案：A4.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（

）A．60°B．45°C．0°D．120°参考答案：A5.如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄

在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频A.0.04B.0.06C.0.2D.0.3参考答案：C6.函数f(x)在R上单调递减,且为奇函数.若f(1)=－1,则满足的x的取值范围是A．[-2,2]

B．[-1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]参考答案：D7.实数x，y满足，则z=3x+y的最大值为（

）A.－6

B.－2

C.8

D.10参考答案：C依题意的可行域如图所示，由得，在图中作直线，并平行移动得到一系列平行直线，可知当直线经过点时，所求的最小，最小值为.故选：C点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8.已知，，在圆上，且，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.已知函数是奇函数，当时，=，则的值等于

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为___________.参考答案：12.已知，，且不共线，则向量与的夹角的取值范围为

▲

．参考答案：略13.设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝

.

参考答案：x；14.若等边的边长为，平面内一点满足，则

.参考答案：15.是圆的直径，切圆于，于，，，则的长为

．参考答案：16.已知椭圆的右焦点为F(c,0),过F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于点P，过点P的椭圆的切线与x轴相交于点A,则点A的坐标为

___。参考答案：略17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2﹣c2=2b且tanA=3tanC，则b=

．参考答案：4考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：解三角形．分析：已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到关系式，把第一个等式代入求出b的值即可．解答： 解：∵tanA=3tanC，∴=，即=，∴=，整理得：b2=2（a2﹣c2），∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b，解得：b=4或b=0（舍去），则b=4．故答案为：4点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）

选修4-1

几何证明选讲

如图，已知D为以AB为斜边的的外接圆上一点，交，的交点分别为，且为中点。（1）求证：；（2）过点C作圆的切线交延长线于点H，若，求的长。参考答案：（1）见解析；（2）2．（1）由题意知为圆的直径，则．又∵为中点，∴，．…………2分由，知，，∴，则，∴，∴，即．……4分（2）∵四点共圆，所以，又∵为的切线，∴，…………6分∴，∴，且．…………7分由（1）知，且，，∴，．…………8分由切割线定理，得，，解得．……10分19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

参考答案：解答： 解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）

略20.（本小题14分）已知函数.（1）若，求证：时，；（2）若在区间上单调递增，求实数的范围；（3）利用（1）的结论，证明：.参考答案：（1），则在上递增在区间上单调递增…………….４分（2），由已知，恒成立，即记，易知，在上递减，在上递增，故…………….９分（3）由（1），时，则，从而有又

于是，故…………….１４分或：由（1），则，从而有而，时，不等式显然成立；时，依次取值累加可得，故21.某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n份，统计结果如图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率1[20，30）28b2[30，40）270.93[40，50）50.54[50，60]a0.4（1）分别求出a，b，c，n的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X为第3组被授予“环保之星”的人数，求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求出c，求出第3组人数，然后求解b，a．（2）求出X的取值为0，1，2，以及相应的概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得（0.010+0.025+c+0.035）×10=1，解得c=0.03．…第3组人数为5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100．…第1组人数为100×0.35=35，所以b=28÷35=0.8．…第4组人数为100×0.35=25，所以a=25×0.4=10．…（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5：10=1：2，所以第3，4组应依次抽取2人，4人．…依题意X的取值为0，1，2．…P（X=0）=，…P（X=1）=…P（X=2）=，…所以X的分布列为：X012P所以EX=0×=．…【点评】本题考查频率分布直方图，离散型分布列以及期望，考查计算能力．22.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i???1，2，3，4）．

（1）求证：数列不是等差数列；

（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

（3）数列能否为等比数列？并说明理由．参考答案：（1）假设数列是等差数列，

则，即．

因为是等差数列，所以．从而．

……2分

又因为是等比数列，所以．

所以，这与矛盾，从而假设不成立．

所以数列不是等差数列．

……4分

（2）因为，，所以．

因为，所以，即，……6分

由，得，所以且．

又，所以，定义域为．……8分

（3）方法一：

设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，

则

……10分

将①+③－2×②得，

将②+④－2×③得，

……12分

因为，，由⑤得，．

由⑤⑥得，从而．

……14分

代入①得．

再代入②，得，与矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．

……16分

方法二：

假设数列是等比数列，则．

……10分

所以，即．

两边同时减1得，．