2022年广东省深圳市市高级中学高三数学理月考试题含解析

2022年广东省深圳市市高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是虚数单位，，为复数的共轭复数，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由共轭复数概念可得,则,故选A.考点：共轭复数复数的模2.如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．2

D．3参考答案：C3.已知则下列函数的图像错误的是……（

）

(A)的图像

(B)的图像

(C)的图像

(D)的图像参考答案：D因为的图象是。所以，所以图象错误的是D.选D.4.在△ABC中，的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略5.（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】把复数乘积展开，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断选项．【详解】∵（1+3i）（1-i）＝1+3+3i-i＝4+2i故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的运算，是基础题．6.一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：D该几何体是个如下图所示的三棱锥D-ABC，外接球的球心为点，F为AC的中点，设,则，解得.所以外接球的半径为，表面积为.7.已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1,+)，记分别以m，n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.如图，圆O：内的正弦曲线与

轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点P，则点P落在区域M内的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.的零点所在区间为

（

） A．(0，1) B．(-1，0) C．(1，2) D．(-2，-l)参考答案：B略10.若函数在其定义域内有且只有一个零点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D试题分析：∵函数在其定义域内有且只有一个零点，∴有且只有一个解，∴在上有且只有一个解，∵，∴或，①当时，作函数与的图象如下，②时，的解为（成立），③当时，可化为，，且，，故有两个不同的正根；故实数的取值集合为，故选：D．考点：函数零点的判定定理.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设椭圆C：，F是右焦点，是过点F的一条直线（不与y轴平行），交椭圆于A、B两点，是AB的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则的值是

参考答案：12.若双曲线－=1的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为

．参考答案：2双曲线的一条渐近线方程为，因为与方程为的圆相切，所以，即，又，所以，故13.已知直线的斜率为2，在轴的截距为1，则▲

．参考答案：1略14.命题：“”的否定是________.参考答案：,且15.若展开式的常数项是60，则常数a的值为

．参考答案：416.已知在极坐标系中，圆C的圆心为(6，)，半径为5，直线＝(≤≤π，∈R)被圆截得的弦长为8，则＝________.参考答案：17.已知=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，.（Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；（Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：（Ⅰ）设,且,

…2分

…3分.

………………4分∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.…………5分（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；

……………6分（2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组

消去并整理，得,.

……………7分设直线AE和BE的斜率分别为，则:＝.

…9分,,，.综合（1）、（2）可知.

…10分解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组:消去并整理，得,.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为，则:＝.

…9分,,，.

……………………10分（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为.,,

.

…………12分,令，得此时，.∴当，即时，（定值）.∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.

19.（本小题满分12分）在数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ)设数列满足，求的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴.…………3分（Ⅱ）∵…………………4分∴.……………

5分∴，公差d=3∴数列是首项，公差的等差数列.…………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）∴.………………8分∴，

①于是

②……………9分两式①-②相减得=.………………………11分

∴.………12分20.二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时取等号．（1）证明二维形式的柯西不等式；（2）利用柯西不等式，求函数y=3+的最大值．参考答案：【分析】（1）用作差比较法证明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立．（2）利用柯西不等式求得y=3+=3+2≤=2，可得函数y=3+的最大值．【解答】（1）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2d2﹣2adbc+b2c2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，当且仅当ad=bc时取得等号．（2）解：y=3+=3+2≤=2，∴函数y=3+的最大值为2．21.（本小题满分13分）若直线是函数的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列。（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）在中，分别是的对边．若是函数图象的一个对称中心，且，求的最大值。参考答案：本小题主要考查三角函数的化简、三角函数图象和性质、三角变换、两角和差公式和正弦定理等，考查运算求解能力，满分13分．

（Ⅰ），……3分

由的图象与直线相切，得．

…………4分

切点横坐标依次成公差为的等差数列，所以周期,所以…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，7分