湖北省黄冈市2023年中考数学试卷

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湖北省黄冈市2023年中考数学试卷

一、单选题

1．（2023七上·武汉月考）的相反数是（）

A．B．C．D．

2．（2023·黄冈）2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

3．（2023·黄冈）下列几何体中，三视图都是圆的是（）

A．长方体B．图柱C．圆锥D．球

4．（2023·黄冈）不等式的解集为（）

A．B．C．D．无解

5．（2023·黄冈）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（）

A．B．C．D．

6．（2023·黄冈）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（）

A．B．C．D．

7．（2023·黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（）

A．B．C．D．4

8．（2023·黄冈）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①④

二、填空题

9．（2023·黄冈）计算；．

10．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数；．

11．（2023·黄冈）若正n边形的一个外角为，则．

12．（2023·黄冈）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数．

13．（2023·黄冈）眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是．

视力4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.950

人数12633412575

14．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为米．（结果保留根号）

15．（2023·黄冈）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则．

16．（2023·黄冈）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则．

三、解答题

17．（2023·黄冈）化简：．

18．（2023·黄冈）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．

（1）求两种型号垃圾桶的单价；

（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？

19．（2023·黄冈）打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；

（1）条形图中的，，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；

（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

20．（2023·黄冈）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

21．（2023·黄冈）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；

（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．

22．（2023·黄冈）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

（1）当时，元/；

（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？

23．（2023·黄冈）【问题呈现】

和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：；

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

（3）【拓展应用】

当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．

24．（2023·黄冈）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

（1）直接写出结果；，，点A的坐标为，；

（2）如图1，当时，求点P的坐标；

（3）如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．

①求m的值；

②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：－2的相反数是2．故答案为：B．

【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0），得到正确选项.

2．【答案】A

【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数

【解析】【解答】解：11580000=1.158×107.

故答案为：A.

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.

3．【答案】D

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：长方体的主视图、左视图、俯视图均为长方形，故不符合题意；

B、圆柱的主视图、左视图均为矩形，俯视图为圆，故不符合题意；

C、圆锥的主视图、左视图均为三角形，俯视图为圆，故不符合题意；

D、球的主视图、左视图、俯视图均为圆，故符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据三视图的概念，分别确定出长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，然后进行判断.

4．【答案】C

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：解不等式x-10，得x>-1，

∴不等式组的解集为-13，故④正确.

故答案为：B.

【分析】将点（-1，0）代入即可判断①；由a0，得x>-1，

∴不等式组的解集为-13，故④正确.

故答案为：B.

【分析】将点（-1，0）代入即可判断①；由a<0可得开口向下，然后根据距离对称轴越近的点对应的函数值越大即可判断②；由对称轴为直线x=1可得b=-2a，结合a-b+c=0可得c=b-a=-3a，由开口向下以及对称轴为直线x=1可得抛物线的最大值为a+b+c=-4a，进而判断③；由对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与直线y=-1的交点的横坐标分别为x1、x2可判断④.

二、填空题

9．（2023·黄冈）计算；．

【答案】2

【知识点】实数的运算

【解析】【解答】解：原式=1+1=2.

故答案为：2.

【分析】根据有理数的乘方法则、0指数幂的运算性质可得原式=1+1，然后根据有理数的加法法则进行计算.

10．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数；．

【答案】8

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：∵是整数，

∴正整数m的值可能为8.

故答案为：8.

【分析】根据二次根式的性质进行解答.

11．（2023·黄冈）若正n边形的一个外角为，则．

【答案】5

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，

∴n=360°÷72°=5.

故答案为：5.

【分析】利用外角和360°除以外角的度数就可求出多边形的边数.

12．（2023·黄冈）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数．

【答案】

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1、x2，

∴x1+x2=3，x1x2=k.

∵x1x2+2x1+2x2=1，

∴k+6=1，

∴k=-5.

故答案为：-5.

【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=k.，然后代入x1x2+2x1+2x2=1中进行计算就可求出k的值.

13．（2023·黄冈）眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是．

视力4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.950

人数12633412575

【答案】4.6

【知识点】中位数

【解析】【解答】解：根据表格可得第20个数据为4.6，故中位数为4.6.

故答案为：4.6.

【分析】表格第20个数据即为中位数.

14．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为米．（结果保留根号）

【答案】

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，

由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，

∴EM=CM-BC=15.

∵∠ECM=45°，

∴BM=EM=15.

∵A为CD的中点，

∴BN=AD=AC=BM=15.

∵tan∠FBN=，

∴，

∴FN=，

∴DF=30-.

故答案为：30-.

【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.

15．（2023·黄冈）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则．

【答案】

【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；三角形全等及其性质

【解析】【解答】解：∵AF=a，DF=b，

∴ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a.

∵△ADE与△BEH的面积相等，

∴DE·AF=EH·BH，

∴a2=(b-a)b，

∴a2=b2-ab，

∴1=()2-，

∴=，

∴=3.

故答案为：3.

【分析】由题意可得ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a，根据三角形的面积公式可得a2=(b-a)b，化简可得的值，然后根据进行计算.

16．（2023·黄冈）如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则．

【答案】

【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，

∵C（7，h），

∴OF=7，CH=h.

∵∠CEF=180°-∠AEC=60°，CF=h，

∴EF=h，CE==h，∠BAC=120°，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=120°，

∴∠CAE=∠ABD.

∵AB=CA，

∴△CAE≌△ABD（AAS），

∴AD=CE=h，AE=BD.

∵A（3，0），

∴OD=OA-AD=3-h.

∵∠BDO=180°-∠ADB=60°，

∴BD==6-h，

∴AE=BD=6-h.

∵OA+AE+EF=OF，

∴3+6-h+h=7，

解得h=.

故答案为：.

【分析】在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，根据点C的坐标可得OF=7，CH=h，由三角函数的概念可得EF、CE，利用AAS证明△CAE≌△ABD，得到AD=CE=h，AE=BD，则OD=OA-AD=3-h，由三角函数的概念可得BD，即为AE，然后根据OA+AE+EF=OF就可求出h的值.

三、解答题

17．（2023·黄冈）化简：．

【答案】解：

【知识点】分式的加减法

【解析】【分析】利用同分母分式减法法则可得原式=，然后利用完全平方公式对分子进行分解，再约分即可.

18．（2023·黄冈）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．

（1）求两种型号垃圾桶的单价；

（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？

【答案】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，

由题意：，

解得：，

∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；

（2）解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，

由题意：，

解得：，

∴至少需购买A型垃圾桶125个．

【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）设A，B两种型号的单价分别为x元和y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元可得3x+4y=580；根据购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元可得6x+5y=860，联立求解即可；

（2）设购买A型垃圾桶a个，则购买B型垃圾桶(200-a)个，根据A的单价×个数+B的单价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.

19．（2023·黄冈）打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；

（1）条形图中的，，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；

（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

【答案】（1）18；6；

（2）解：（人），

因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；

（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，

因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法

【解析】【解答】解：（1）样本容量为4÷8%=50，则m=50×36%=18，n=50-18-10-12-4=6，文学类书籍对应扇形圆心角等于10÷50×360°=72°.

故答案为：18，6，72°.

【分析】（1）利用E的人数除以所占的比例可得总人数，然后乘以A所占的比例可得m的值，进而可求出n的值，利用B的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到所占扇形圆心角的度数；

（2）利用C的人数除以总人数，然后乘以2000即可；

（3）画出树状图，找出总情况数以及甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况数，然后利用概率公式进行计算.

20．（2023·黄冈）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明：如图所示，连接，

∵以为直径的交于点，是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

∴；

（2）解：连接，如图，

则，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

又∵是直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】（1）连接AD，由切线的性质可得OD⊥DE，由已知条件可知DE⊥AC，则OD∥AC，根据平行线的性质可得∠C=∠ODB，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，则∠B=∠C，据此证明；

（2）连接BF、AD，由同角的余角相等可得∠ADE=∠C，结合三角函数的概念可得EC=2DE=12，易得DE∥BF，根据平行线分线段成比例的性质可得EF=EC=12，求出tanC的值，进而得到BF，然后根据AF=EF-AE进行计算.

21．（2023·黄冈）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；

（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．

【答案】（1）解：将代入，可得，

解得，

反比例函数解析式为；

在图象上，

，

，

将，代入，得：

，

解得，

一次函数解析式为；

（2）解：，理由如下：

由（1）可知，

当时，，

此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，

即满足时，x的取值范围为；

（3）解：设点P的横坐标为，

将代入，可得，

．

将代入，可得，

．

，

，

整理得，

解得，，

当时，，

当时，，

点P的坐标为或．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积

【解析】【分析】（1）将A（4，1）代入y2=中求出m的值，然后将B（，a）代入求出a的值，得到点B的坐标，将A、B的坐标代入y1=kx+b中求出k、b的值，据此可得反比例函数、一次函数的解析式；

（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可；

（3）设点P的横坐标为p，则P（p，-2p+9），Q（p，），表示出PQ，根据三角形的面积公式可得p的值，进而可得点P的坐标.

22．（2023·黄冈）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

（1）当时，元/；

（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？

【答案】（1）

（2）解：当时，，

∵，

∴抛物线开口向上，

∴当时，有最小值，最小值为，

当时，，

∵，

∴随着x的增大而减小，

∴当时，有最小值，最小值为，

综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；

（3）由题意可得，

解得（不合题意，舍去），

∴当a为时，2025年的总种植成本为元．

【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入可得

解得，

∴y=x+10.

令y=35，得35=x+10，

解得x=500.

故答案为：500.

【分析】（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入求出k、b的值，得到对应的函数关系式，然后令y=35，求出x的值即可；

（2）当200≤x≤600时，根据甲种蔬菜种植成本×种植面积+乙的种植成本×面积=总种植成本可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；当600<x≤700时，同理可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；

（3）根据甲的种植面积×(成本+10)×(1-10%)2+乙的种植面积×成本×(1-a%)2=总种植成本可得关于a的方程，求解即可.

23．（2023·黄冈）【问题呈现】

和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：；

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

（3）【拓展应用】

当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．

【答案】（1）

（2）解：成立；理由如下：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

∴；

（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，

根据解析（2）可知，，

∴，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

根据勾股定理得：，

即，

解得：或（舍去），

∴此时；

当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，

根据解析（2）可知，，

∴，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

根据勾股定理得：，

即，

解得：或（舍去），

∴此时；

综上分析可知，或．

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，

当m=1时，DC=CE，CB=CA，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠DAC=∠CBE.

∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AD⊥BE.

【分析】（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，当m=1时，DC=CE，CB=CA，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得到∠DAC=∠CBE，结合∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°可得∠ANB=90°，据此解答；

（2）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，由已知条件可得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△DCA∽△ECB，得到∠DAC=∠CBE，进而推出∠GAB+∠ABG=90°，则∠AGB=90°，据此解答；

（3）当点E在线段AD上时，连接BE，设AE=x，则AD=x+4，根据相似三角形的性质可得BE=AD=x+，根据解析（2）可知∠AEB=90°，利用勾股定理就可求出x的值，进而可得BE；当点D在线段AE上时，连接BE，同理进行求解.

24．（2023·黄冈）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

（1）直接写出结果；，，点A的坐标为，；

（2）如图1，当时，求点P的坐标；

（3）如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点