牛吃草问题(例题和解答)1

牛吃草问题(例题和解答)1

150份，草也被吃完。根据单位时间内草的增长量相等的原理，可得出每天新长出的草量为（200-150）÷（20-10）=5份。这个量是不变的，因为草每天匀速生长。接下来，我们可以根据每天新长出的草量来计算原有的草量。10头牛吃20天，即一共吃掉200份草，其中每天新长出的草是5份，那么原有的草量就是200-5×20=100份。同理，15头牛吃10天，即一共吃掉150份草，原有的草量就是150-5×10=100份。现在我们已经求出了原有的草量和每天新长出的草量，接下来就可以按照牛吃草问题的解题步骤，求出可供25头牛吃的天数。设25头牛吃x天，则消耗的草量为25x份。其中，新长出的草被5头牛吃掉，即消耗了5x份草；原有的草被20头牛吃掉，即消耗了100份草。因此，消耗的总草量为5x+100份。由于每天新长出的草量为5份，所以在x天内新长出的草量为5x份。因此，牧场上原有的草量为100+5x份。由于牧场上的草被吃完了，所以消耗的总草量等于牧场上的总草量，即25x份。因此，我们可以列出下面的等式：25x=100+5x+20×5x解得：x=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。一片牧场上有两批草，第一批草的总量为200份，第二批草的总量为150份。第一批草是原来就有的草加上20天新长出的草，第二批草是原来就有的草加上10天新长出的草。因此，第一批草和第二批草之间的差距为50份，而新长出的草之间的差距为10天。可以得出，牧场在10天内长出了50份草，也就是每天长出5份草。如果有5头牛专吃新长出的草，那么它们刚好可以吃完所有的新草，而其他的牛将吃原来就有的草。根据这个推理，可以得出牧场上原来就有100份草，可以通过两种方式计算得到：(10-5)×20=100份或(15-5)×10=100份。现在假设牧场上有25头牛，其中5头专吃新长出的草，剩下的20头吃原有的草。因为每天只有5份新草，所以20头牛需要吃完100份原有的草需要5天的时间。因此，这片草地可以供25头牛吃5天。在解决这个问题时，需要注意以下三点：首先，每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况下吃掉的总草量的差和吃的天数的差来计算的。其次，在已知的两种情况中，可以任选一种，假设其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。最后，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。例2中，一个水池有一个进水管和三个同样的出水管。首先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开两个出水管，那么8分钟后水池就会被排空；如果同时打开三个出水管，那么5分钟后水池就会被排空。因为总的水量在均匀变化，所以这也是一个牛吃草的问题，解法与例1相似。出水管排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。如果假设出水管每分钟排出水池的水为1份，则两个出水管8分钟所排的水是2×8=16份，三个出水管5分钟所排的水是3×5=15份。这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3分钟内所放进的水量，所以每分钟的进水量为(16-15)/3=1/3份。假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水，两相抵消，其余的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量为：(2-1/3)×8=40/3份或(3-1/3)×5=40/3份。因此，出水管比进水管晚开了40/3分钟。分析与解：这道题目可以看成是水管问题的变形，只不过这里的水管变成了人流，进出水管变成了检票口，进出水量变成了每分钟来的旅客人数，进水管提前开了变成了开始排队的时间。设每分钟来的旅客人数为1份。开4个检票口需要30分钟，即4口每分钟共检票4/30（份）。开5个检票口需要20分钟，即5口每分钟共检票5/20（份）。根据“进出水管的流量相等”这个原理，我们可以列出方程：4/30=5/20+x，其中x为7个检票口每分钟共检票的人数。解得x=1/12（份/分钟），即7个检票口每分钟共检票1/12份旅客。开始排队的时间不确定，但是排队的时间是一定的，假设为t分钟。那么在t分钟内，共有t份旅客排队等待检票。根据“进出水管的流量相等”这个原理，我们可以列出方程：t=(1+1/12)×x，其中1份为开始排队时的旅客人数，1/12份为每分钟多来的旅客人数。解得t=11/12分钟，即开始排队后11秒钟所有旅客都检票完毕。答：同时打开7个检票口需要11/12分钟。在牛顿的著作《普遍的算术》中，他提出了著名的“牛顿问题”，即“12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉20由格尔的牧草？”。牛顿的解法是，根据比例关系，可以得出在牧草不生产的条件下，63头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草。由于牧草在生长，所以21头公牛在9星期内只吃掉了10由格尔的牧草，新长的牧草足够5头公牛吃9星期或足够5/2头公牛吃18个星期。因此，14个星期内新长的牧草可以供7头公牛吃18个星期。考虑牧草生长，可得10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期。按比例可算出24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。牛顿还给出了代数解法，最终得出36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。另一个问题是，有一片牧场，27头饲牛6天把草吃尽，23头饲牛9天吃尽。求21头饲牛需要几天吃尽？假设每头牛每天吃的草为1，则每天新长的草为（23×9-27×6）÷（9-6）=15，牧场原有的牧草为27×6-15×6=72。因此，21头饲牛需要的天数为72÷（21-15）=12。需要注意的是，在计算这类问题时，必须考虑到牧草不是固定不变的，而是在不断地生长。1.原有草量为150份，可供5头牛吃10天。2.一块草地可供16头牛吃20天或80只羊吃12天。10头牛和60只羊一起吃能吃多少天？每天长草的速度为10份。原有草量为120份。25头牛可以吃8天。3.要在2小时内淘完船里的水，需要安排17人淘水。4.5台抽水机连续20天可抽干100份水，6台抽水机连续15天可抽干90份水。每天进水2份。原有60份水。要在6天内抽干，需要12台抽水机。5.第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地面积为120-5-6-8=101公顷，可供19头牛吃多少天？使用比例关系，可得出第三块草地可供19头牛吃7.9天。第一块草地可以供11头牛吃10天。因此，每天每头牛需要消耗的草量为120/5=24份。那么，120公顷的草地可以供11×24=264头牛吃10天。同样地，第二块草地可以供12头牛吃14天，即120公顷草地可供12×20=240头牛吃14天。现在的问题是，120公顷草地可以供19×15=285头牛吃多少天。假设每头牛每天需要一份草，那么每天120公顷草地可以新生长的草量为：（240×14-264×10）÷（14-10）=180份。120公顷草地原有草量为：264×10-180×10=840份。因此，可供285头牛吃的时间为840÷（285-180）=8天，即第三块草地可供19头牛吃8天。7.经过计算，地球上的资源足以供100亿人生活100年，或者供80亿人生活300年。假设地球每年的新生资源速度不变，那么最多能养活多少亿人呢？假设1亿人每年消耗1份资源，那么100亿人生活100年需要消耗100×100=10000份资源，80亿人生活300年需要消耗80×300=24000份资源。因此，每年新生资源量为（24000-10000）÷（300-100）=70份。为了满足人类不断发展的需求，每年消耗的资源总量不能超过每年新生资源的总量。因此，地球最多能养活70÷1=70亿人。8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。如果同时开7个检票口，那么需要多少分钟？假设1个检票口每分钟可以检票1组，那么4个检票口需要30分钟检票4×30=120组，5个检票口需要20分钟检票5×20=100组。因此，每分钟来的旅客人数为（120-100）÷（30-20）=2组。开始检票前已经有60组旅客排队等候。如果同时开7个检票口，那么需要60÷（7-2）=12分钟。9.画展9点开门，但是早就有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，那么到了9点9分就没有人排队了；如果开5个入场口，那么到了9点5分也没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点多少分？假设1个入口每分钟可以进入1组观众，那么3个入口需要9分钟进入27组观众，5个入口需要5分钟进入25组观众。因此，每分钟来的观众人数为（27-25）÷（9-5）=0.5组。开门前已经有22.5组观众在排队等候。1.第一个观众要在9点前到达，假设电影开始时间是9点，而第一个观众需要走22.5分钟才能到达，因此他需要在8点15分到达。2.假设牧场上有x头牛，那么在卖掉4头牛之前，牛群能吃的总草量是17*30+19*24=1026份。在卖掉4头牛之后，剩下的牛群能吃的总草量是(x-4)*(6+2)*1=8(x-4)份。因为草是匀速生长的，所以每天新生草的数量是(1026-8(x-4))/(30+2)=9份。因此，牧场上原有的草量是510-9*30=240份。加上需要备两天的草，总共需要8份草。因此，原来的牛群数量是(240+9*(6+2)+8)/(6+2)=40头。3.假设扶梯共有x级台阶，则男孩走了100级，女孩走了90级。女孩比男孩少走了10级，但多用了1分钟，因此扶梯每分钟会走10级。男孩用了5分钟到达楼上，因此扶梯共有20*5+10*5=150级台阶。4.牧场上的草可以供10头牛吃20天，也可以供15头牛吃10天。因此，每头牛每天需要吃的草量是1/20或1/10。假设有x头牛可以吃y天，那么x*y=10*20=15*10。因此，x*y=200。又因为这片草每天生长的速度是匀速的，所以每头牛每天需要吃的草量也是匀速的。因此，x*(1/y-1/20)=x*(1/y-1/10)。解这个方程可以得到y=12.5天，因此这片草可以供25头牛吃12.5天。5.假设井深为x米，则第一只蜗牛爬行的时间为5天，第二只蜗牛爬行的时间为6天。因此，第一只蜗牛爬行的距离为20*5=100米，第二只蜗牛爬行的距离为15*6=90米。因为两只蜗牛在井底相遇，所以它们爬行的距离之和等于井深。因此，100+90=x，解得x=190米。6.假设这片牧草可以供x头牛吃y天，则根据题意可以得到两个方程：27xy=6，23xy=9。解这个方程可以得到x=69/46，y=20/3。因此，这片牧草可以供21头牛吃(69/46)/(21/10)=15天。7.假设船漏水的速度为x，每个人舀水的速度为y。根据题意可以得到两个方程：10*3xy=1，5*8xy=1，2*(x+y)xy=1。解这个方程可以得到x=1/60，y=1/30。因此，要在2小时内舀完水，需要2*(1/60+1/30)*z=1，解得z=6人。8.假设用x个人割草，每个人每天割草的量为y，