2009年全国初中数学联赛

第一试

根,则(a2-1)(b2-1)的最小值 DE∥BCACEDF∥ACBC设a

7-1. 3a3+12a2-6a-12= ) (B)(C) + (D) +ABC最大角A是最小角C的2,且AB=7,AC=8.则BC=(.

a2+b2=1,|1-2a+b|+2a+1=b2-a2b则a+b b设ab是正整数,且满足 15a2(A (B10 (D)7 是整数.则这样的有序数对(a,b)共有2[x]表示不超过x的最大整数.则方程x2-2[x]-3=0的解的个数为( ).(A) (B) (C) (D)设正方形ABCD的中心为O

对AABCDO为顶点所构成的所有三角,它们的面积相等的概率为().

(20)y=x2+bx+c<0)的图像与x轴的交点分别为ABy轴的交点为C.ABC(A)

(B)7

(C)2

(D)7

为

P与y轴的另一个交点为1ABCDAB3BC2,以BC为直径在矩,A作AE.则sinCBE=().

点2)AB恰好为P2bc的值二、25CDRt△ABC,(A)3(C)3

(B)3(D

AC3BC4求I1a+b+c= b+c-a+c+a-b+a+b-c=1 设n是大于1909的正整数.则使 2009 n-1909 证明:以a、b、c为三边长可构成一2009 直角三角形(A) (B) (C) (D)已知t是实数.若ab是关于xx2-2x+t-1=0

B20)A卷第一题 ACB,AMBNPQPM、QN的中点分别为EF.:EF∥AB.三、25)A卷第三题C一、20)A卷第一题二、25)B卷第二题a+b+c= b+c-a+c+a-b+a+b-c=1

x]3,x29x3个解容道,以五个点ABCDO为顶,它们可以分为两类:ABCD这样的三角形有4它们的面积都为1;2 )是否存在以ab、c为三边长的三角形?如果存在求出三角形的最大内角.第一试一1.a=7-1

ABCDO414ABCDO为顶点可4+4=8个三角形.从中任意取出两个28种取法.要使取出的两个三角形的面a2=8-27=6-2a]a2+2a=3a312a2-6a-=3a(a2+2a)+6a2-6a-

12种

328==6a2+12a-12=6×6-12= 2CA至点D使ADAB.则D=ABD= CAB

BCOOE因为ABBC,AEOE,所以,ABOE四点共圆.故 BAE=COE.ABAE,OCOE ,CE

=1]BE=故 图

BE= ]BDCDAB=]

又 BC BE2+CE2=BD ]BD2=AB·CD=7×(8+7)BD

故 CB =BC=10 C=D,则BC=BD x2-32xx

2009-na.n-1 100-a则x2-3≤2x,即x2-2x-3≤0.解得-1 2009-n =a-≤3.因此,[x]只可能取值-1,0,1,2, a当[x]=-1时,x2=1,解得x=- N+).a

=m2x0x2=3无符合条件的解;x1x2=5无符合条件的解;[x]2,x27解得x=7;

验证,只有当m=1,2,3,7时,上式a50,20,10,a因此,使得n-1 a==2009-

+a-

a为有理数41959,1989,1999,2二1.-因为a、b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-10

令a=p2(p N+,且(p,q)=1).aq2bp2q2|15]qΔ=(-2)2-4(t-1)ab=t-1≥0,a+b=2

]

a=ap=1 N)故(2-1)(2-1)= )2-(2+2)+ =(ab)2-(a+b)2+2ab+=(t-1)2-4+2(t-1)+1=t2-

1+

=2-

当t1,a2-1)(b2-1)2m

m≥1,p≥12,k1,2,3,当k1

=p+m △ABC]AD S△ADE

1+

=1](p-2)(m-2)=2

p,m)=4,4)3,6)6,k2,p,m)=2,k3时,p,m)=2,1)1,k4,p,m)=1,a,b)7:240,240),135,540),540,135),(60,60),(60,15),(15,60),(15,mm +n2-m-n2m A3.-a2b21

1)C0,cAx,0Bx,0). -1≤a≤1,-|1-2ab|+2a1=b2-a2|1-2a+b|=b2-a2-2a-=1-a2-a2-2a-1=-2a2-]-2a2--1≤a≤0,1-2a

x1+x2=-b,x1x2=设Py因为ABCD是P的两条相交弦,它们的交点为O,所以,OA·OB|x1x2 |c,1-2ab=-2a2-2a

OD=

|c

=|c

=1+b=-2a2=-2(1-b2)2b2-b-3

c0C在y轴的负半轴上b=-1,b=3(2b=-11+b=-2a2a,ab=- b2+(x+x)-4x21

Dy轴的正半轴上,因为ABCD,如果AB恰好 C0,-1)]c=-1.a AB=|x1-x2|=a 15

( N+). (-b)2-4c则 =1AB·OC= b2+4×1= b(c-a+b)+c(a+b+c)]= ](b-c+ 解得b=±2 [2ab-a-b+c]=二3, ABE,I2AB于点F.Rt△ABC中AC2+AC3AC2+AB=又CDAB, 图

](b-c+a)[c2-(a-b)2]=](b-c+a)(c+a-b)(c-a+b)=0.故b-ca0ca-b0或c-ab0baccab或cb以a、b、c为三边长可以构成一 BAD=AB=5BD=ABAD=16CD5

一A卷第一题AC2-=AC2-I1ERt△ACD

4,因为BNABC的平分IE=1(AD+CD-AC)=3

DI1DI2DI1DI2ADC、BDC的平分线.故

又 I1DI2=90]I1 3

I2DB

图DI

=3

BQH=

sin45°5 = CBN 2 同理,IF=4, 2 DI2+D212因此,DI2+D212

CQ由F是QN的中点,知CFQN.所以,CFB=90°= b+c-ac+a-ba+b-

(a+b+c)=

FBH=FBC,则FC=FCH的中垂线上](b+c)2- (b+c)2-

(c+a)2- (c+a)2-

(a+b)2- =(a+b)2-

ECH的中垂线上因此, -4

-4