高等数学A-第1章-8-6(无穷小与无穷大)课件

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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第1章函数与极限高等数学A1.6无穷小与无穷大1.6.1无穷小1.6.2无穷大1.6.3无穷小与无穷大的运算1.6.4无穷小的比较1.6无穷小与无穷大

1.6.3无穷小与无穷大的运算1.6.1无穷小无穷小与无穷大有限个无穷小的代数运算

有界函数与无穷小的乘积有限个无穷小的乘积无穷大的简单运算无穷小的定义无穷小与函数极限的关系无穷大的定义无穷大与无穷小的关系习例1-121.6.2无穷大

1.6.4无穷小的比较无穷小阶的定义等价无穷小及性质定义1注意:(1)无穷小并不是一个很小的数.(2)数“0”是无穷小量.(3)无穷小是一类特殊函数,是在某一变化过程中极限为0的函数,并且在一个过程中为无穷小的量在另一过程中可能不是无穷小量.1.无穷小的定义一、无穷小

定理1证明:

充分性:2.无穷小与函数极限的关系仅证明的情况.必要性:定义2注意:(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆.(3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.如：1.无穷大的定义二、无穷大

2.无穷大与无穷小的关系

定理2证明:

在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小.反之，如果为无穷小，且，则为无穷大.所以，即为当时的无穷小.反之，如果为无穷小，且.对于，，当时，有即所以,即为当时的无穷大.定理2也可以叙述为：定理3(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.证明:三、无穷小与无穷大的运算

注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证明:推论1.在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3.有限个无穷小的乘积也是无穷小.证明:

定理5

对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质:注意：两个无穷大的和与差不一定是无穷大；无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大

.（1）有限个无穷大的乘积是无穷大;（2）无穷大与有界量之和是无穷大.例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限四、无穷小的比较

1.无穷小阶的定义

定义3定理6证明：2.等价无穷小的性质定理7等价无穷小替换定理证明:

证明:

注意:(1)任何无穷小与其本身是等价无穷小.(2)等价无穷小代换只适用于乘积中;

对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换.(3)熟记一些常用的等价无穷小因为所以有：五、无

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