新教材人教A版5.1.2弧度制课件（41张）

5.1.2弧度制第五章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解弧度制,体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,会应用公式解决简单的问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]在日常生活中,一个量可用不同的标准来度量,从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如:长度既可以用米、厘米来度量,也可以用尺、寸来度量;面积可以用平方米来度量,也可以用公顷来度量.常用的温度度量也有两种:一种是摄氏度,它的发明者是瑞典的安德斯·摄尔修斯,它的标准是“在1标准大气压下,纯净的冰水混合物的温度为0摄氏度,水的沸点为100摄氏度,其间平均分为100份,每一等份为1摄氏度,记作1℃”;另一种是华氏温度,是德国人华伦海特以水银为测温介质发明的,它的标准是“把纯水的冰点温度定为32℉,把标准大气压下水的沸点温度定为212℉,中间分为180等份,每一等份代表1华氏度,记作1℉”.类似地,角除了使用角度来度量外,还可以用本节要学习的弧度来度量.[知识点拨]知识点一:度量角的两种单位制

角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角,记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,1弧度记作1rad微思考在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示

不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.知识点二:弧度数的计算与互化1.弧度数的计算(1)正角:正角的弧度数是一个正数.(2)负角:负角的弧度数是一个负数.(3)零角:零角的弧度数是0.(4)在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,那么|α|=.2.角度制与弧度制的换算

3.一些特殊角与弧度数的对应关系

微判断(1)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(

)(2)160°化为弧度数是

π

rad.(

)答案

(1)√

(2)√微练习下列换算结果错误的是(

)答案

C解析

-150°化成弧度是-π,故C项错误.知识点三:扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则微练习已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于

,面积等于

,周长等于

.

答案

5π

75π

60+5π课堂篇探究学习探究一弧度制的概念例1(多选题)下列说法中正确的是(

)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关答案

ABC解析

无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.反思感悟

1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值.2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°=

rad,不必写成45°≈0.785

rad.变式训练1下列说法正确的是(

)弧度是长度等于半径的弧弧度是1°的圆心角所对的弧弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角弧度等于1°答案

C解析

1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由题意可知,只有C正确.探究二角度与弧度的互化与应用例2(1)①将112°30'化为弧度为

.

要点笔记

角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π

rad=180°是关键;(2)方法:度数×=弧度数;弧度数×()°=度数;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.变式训练2(1)将-157°30'化成弧度为

.

探究三用弧度表示角或范围例3用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.反思感悟

用弧度制表示角应注意的问题:(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为

,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.探究四弧长公式与扇形面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.解

(1)设扇形的半径为r

cm,弧长为l

cm,由圆心角为2

rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积延伸探究

本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.解

设扇形的弧长为l

cm,半径为r

cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,故当半径为2

cm,圆心角为2时,扇形面积最大值为4

cm2.反思感悟

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.

素养形成一题多解:与弧度有关的实际应用问题典例

在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向)方法点睛

两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法1是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解;而方法2则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α比时针所转过的弧度数多2π,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.

当堂检测答案

D2.角

终边所在的象限是(

)