充分条件与必要条件5题型分类（原卷版）

1.4充分条件与必要条件5题型分类一、充分条件与必要条件充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的充分条件p不是q的必要条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【特别提醒】对充分条件和必要条件的理解：(1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sinA＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的．(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．（4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。二、充要条件充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【特别提醒】（1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．三、从集合的角度理解充分与必要条件若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则（1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充分不必要条件；（4）若，则是的必要不充分条件；（5）若，则是的充要条件；（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.四、充分性必要性高考高频考点结构（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）（一）命题的概念及结构命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.题型1：命题真假的判断1-1．（2023·江苏·高一假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)当a＞b时，有ac2＞bc2；(2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．1-2．（2023秋·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么1-3．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（）①是一元二次方程；②函数的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个（二）充分、必要条件的判断1、充分条件的判断(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．(3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍.2、必要条件的判断(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法:q要予以证明，pq可举反例说明.(2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题.题型2：充分、必要条件的判断2-1．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④2-2．【多选】（2023秋·高一课时练习）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件2-3．（2023秋·河南信阳·高一河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2-4．（2023秋·广东惠州·高一统考期中）“”是“”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2-5．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）设计如图甲所示的电路图，条件A：“开关闭合”；条件B：“灯泡L亮”，A是B的__________条件．2-6．（2023秋·北京朝阳·高一校考阶段练习）在下列四个结论中，正确的有______________（填序号）.①若p是q的充分非必要条件，则也是的充分非必要条件；②“”是“一元二次不等式的解集为R”的充要条件③“”是“”的充分不必要条件；④“”是“”的必要不充分条件.2-7．（2023·全国·高一阶段练习）已知下列四组陈述句：①：集合；：集合．②：集合；：集合．③：；：．④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．其中p是q的必要而不充分条件的有(

)A．①② B．③④ C．②④ D．①③2-8．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件2-9．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（）A．B．p：，q：C．p：，q：D．p：，q：（三）探求命题为真的一个充要条件探求充要条件一般有两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证题型3：探求命题成立的一个充分、必要条件3-1．（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是A． B． C． D．3-2．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．3-3．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．3-4．（2023秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考期中）设，则“”的一个充要条件是（

）A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为03-5．（2023·高一课时练习）若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：（1）A∪B＝R的一个充要条件；（2）A∪B＝R的一个必要不充分条件；（3）A∪B＝R的一个充分不必要条件.（四）根据充分条件或必要条件求参数的范围充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：①化简，两命题.②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系.③利用集合间的关系建立不等关系，④求解参数范围.题型4：利用充分、必要条件求参数4-1．（2023·全国·高一假期作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．4-2．（2023秋·四川成都·高一校考阶段练习）设全集，集合，.(1)若，求，(2)若成立的充分条件，求实数a的取值范围.4-3．（2023秋·江苏扬州·高一校考期中）已知集合，．(1)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围．4-4．（2023秋·高一课时练习）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的值为（

）A．2 B．4 C．2或4 D．-2或-44-5．（2023秋·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是______．4-6．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.(1)当时，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.4-7．（2023·高一课时练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为________．4-8．（2023秋·江苏常州·高一校考阶段练习）设集合，，命题p：，命题q：．(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．4-9．（2023秋·河南濮阳·高一范县第一中学校考阶段练习）已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.4-10．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.4-11．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.4-12．（2023·江苏·高一假期作业）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个补充到下面的横线上并解答.已知集合，，是否存在实数使得“”是“”的___________条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.（五）充要条件的证明充要条件的证明策略（1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.题型5：充要条件的证明5-1．（2023·上海·高一专题练习）已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；(2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．5-2．（2023秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合，．(1)若“，”为假命题，求的取值范围；(2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或．5-3．（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.5-4．（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.5-5．（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.一、单选题1．（福建省福州市闽江口协作体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件2．（福建省南平市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）“”是“方程无实数解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023春·河北沧州·高二统考期末）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（）A．p：，q：B．p：，q：C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：，q：关于x的方程有唯一解6．（2023秋·高一单元测试）设：或；：或，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023秋·山东潍坊·高一校考阶段练习）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“”是真命题的充要条件是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏·高一假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）A．是的充要条件B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．是的充要条件D．是的必要条件10．（2023·全国·高一假期作业）下列各选项中，p是q的充要条件的是（

）A．p：或，q：方程有两个不同的实数根B．p：，q：C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等D．p：，q：11．（2023·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．12．（2023·全国·高一假期作业）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是________.14．（2023秋·高一课时练习）已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是____．15．（2023·全国·高三专题练习）写出“实数x、y满足条件”的一个充分不必要条件：_______（答案不唯一）16．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是