新湘教版高中数学选择性必修·第二册1.2.3简单复合函数的求导 课件（共18张PPT）

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1．2.3简单复合函数的求导

新知初探·课前预习

题型探究·课堂解透

新知初探·课前预习

要点一复合函数的概念

一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．

批注判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，内层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层地分析．

要点二复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝____________，即y对x的导数等于________________________________________．

批注关键在于：

(1)准确将复合函数分解成基本函数；

(2)正确运用复合函数的求导法则．

y′u·u′x

y对u的导数与u对x的导数的乘积

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝cos3x由函数y＝cosu，u＝3x复合而成．()

(2)函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos2x.()

(3)函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.()

√

×

√

2．函数y＝cosnx可由()

A．y＝un和u＝cosxn复合而成

B．y＝u和u＝cosnx复合而成

C．y＝un和u＝cosx复合而成

D．y＝cosu和u＝xn复合而成

答案：C

解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx.

3．函数y＝cos(－x)的导数是()

A．cosxB．－cosx

C．－sinxD．sinx

答案：C

解析：y′＝－sin(－x)(－x)′＝－sinx.

4．已知函数f(x)＝e－x，则f′(－1)＝________．

答案：－e

解析：因为f′(x)＝－e－x，所以f′(－1)＝－e.

题型探究·课堂解透

题型1求复合函数的导数

例1

(1)y＝；

(2)y＝cos(x2)；

解析：令u＝1－3x，则y＝＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.

所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.

解析：令u＝x2，则y＝cosu，所以y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2)．

(3)y＝log2(2x＋1)；

(4)y＝e3x＋2.

解析：设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′uu′x＝＝.

解析：设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.

方法归纳

复合函数求导的步骤

巩固训练1求下列函数的导数．

(1)y＝(4－3x)2；

(2)y＝cos(2x－)；

(3)y＝ln(4x－1)；

(4)y＝.

解析：y′＝[(4－3x)2]′＝2(4－3x)·(4－3x)′＝2(4－3x)·(－3)＝18x－24.

解析：y′＝[cos(2x－)]′＝－sin(2x－)·(2x－)′＝－2sin(2x－)．

解析：y′＝[ln(4x－1)]′＝·(4x－1)′＝.

解析：y′＝)′＝·(x2)′＝.

题型2复合函数导数的应用

例2设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值．

解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.

由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋a，

则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．

由题意，得＋a＝，故a＝0.

方法归纳

解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法

正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．

巩固训练2

求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4e－x＋1－2在点M(1，－3)处的切线l平行的直线方程．

解析：∵y′＝(3x2－4e