河南省信阳市陈元光中学高三数学理月考试题含解析

河南省信阳市陈元光中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：1、同角三角函数关系式；2、两角差的正弦公式.2.函数的图像为，如下结论中错误的是（

）A．图像关于直线对称 B．图像关于点对称 C．函数在区间内是增函数

D.由得图像向右平移个单位长度得到图像参考答案：C略3.已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中表示数列的前项和．则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点依次为O、F、A、H，则的最大值为

（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：答案：C5.记不等式组表示的平面区域为D.命题；命题.下面给出了四个命题① ② ③ ④这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③ B．①② C．②③ D．③④参考答案：A如图，平面区域D为阴影部分，由得即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．

6.设全集U={a,b,c,d,}，集合M={a,c,d}，N={b,d}，则（CUM）∩N=（

）A．{b}

B．{d}

C．{a,c}

D．{b,d}参考答案：A略7.四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100π C．200π D．300π参考答案：C【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．8.设非空集合满足：当时，有。给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。其中正确命题的个数是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3（二）参考答案：D9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A．B．C．D．参考答案：B略10.二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.[2,4]参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数，则函数的值域是

.参考答案：

12.已知集合，，则_____________．参考答案：，，所以。13.如图，，于，是的中点，交于于，。若，则__________；若，则__________.参考答案：答案：2cm(2分)；4cm(3分)14.已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：

∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．15.已知点P（0，1）是圆内一点，AB为过点P的弦，且弦长为，则直线AB的方程为_________________．参考答案：或16.已知向量，若，则=

.参考答案：（-2，-1）17.在?ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=

（用a，b表示）．参考答案：﹣+【考点】平面向量的坐标运算．【分析】本题是一个用一组基底表示向量的问题，根据两个向量之间的关系，表示出和两个向量，要求的向量是这两个向量之和，用向量的减法运算得到结果．【解答】解：由=3（+），即=（+），又∵=+，∴=（+）﹣（+）=﹣+．故答案为：﹣+三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

在数列

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若参考答案：证明：（1）①当结论成立；

（1分）②假设成立

由

（4分）由①、②知，对于

（5分）

（2）由得（3）若

（10分）将上述n个式子相乘得

（11分）下面反证法证明：假设与已知矛盾。所以假设不成立，原结论成立，即当

（14分）略19.（本小题满分12分）

已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明或；

(3)设，当时，h(x)≥1，求实数a的取值范围．参考答案：20.从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间，，，进行分组，得到频率分布直方图,如图4.(1)根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值.(2)用分层抽样的方法从重量在和的柚子中共抽取5个，其中重量在的有几个？(3)在（2）中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在的柚子最多有1个的概率．参考答案：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于（克）（2分）（2）从图中可知，重量在的柚子数（个）重量在的柚子数（个）（4分）从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在的个数为（个）

(6分)（3）由（2）知，重量在的柚子个数为3个，设为，重量在的柚子个数为2个，设为，则所有基本事件有：，共10种

(9分)其中重量在的柚子最多有1个的事件有：，共7种

(11分)所以，重量在的柚子最多有1个的概率.

(12分)略21.已知函数f(x)＝x2－2xsin2和函数g(x)＝lnx，记F(x)＝f(x)＋g(x)．（1）当时，若f(x)在[1,2]上的最大值是f(2)，求实数的取值范围；（2）当＝1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证