《数学物理方程》全册配套课件

电磁场数学方法任课教师：陈其科联系方式：E_mail：qkchen@

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80课时教材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版）成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60%第一篇复变函数论第一篇复变函数论

复变函数论是数学中一个基本的分支学科研究对象：变量为复数的函数

主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。应用领域：求解物理学上复杂场分布问题复数：实数和虚数的总称。课程意义第一篇复变函数论

复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数论发展历程第一篇复变函数论

复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。

A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数论发展历程第一篇复变函数论

复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处，但又有不同之处。在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。学习方法1.2复变函数1.3复变函数的导数1.4解析函数§1.1复数与复数运算§1.5单值函数与多值函数第一章复变函数第一篇复变函数论对于任意两个实数x、y，称为复数。其中：x称为复数的实部，

Y称为复数的虚部，

,称为虚单位。（一）复数的概念§1.1复数与复数运算1、复数定义

全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。在复数域中，复数没有大小的概念。注：第一章复变函数2、复数的模与幅角复数的模:复数的辐角:复数几何表示复数几何意义：实部与虚部可与平面坐标点建立一一对应关系。复数的三角表示：§1.1复数与复数运算（一）复数的概念1）当z=0时，幅角无意义；其中，满足注：关于幅角的几点说明：2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角或的幅角称为主幅角，记做：§1.1复数与复数运算（一）复数的概念3、复数的指数表示欧拉公式：则：指数表示3）2）4）§1.1复数与复数运算注：1）（一）复数的概念共轭复数：4、复数的共轭§1.1复数与复数运算注：（一）复数的概念（二）复数的运算1、复数的加减法1）2）§1.1复数与复数运算注：2、复数的乘法利用复数指数形式进行乘法运算比较简单指数式：§1.1复数与复数运算（二）复数的运算注：3、复数的除法指数式：注：利用复数指数形式进行除法运算比较简单§1.1复数与复数运算（二）复数的运算1）2）3）§1.1复数与复数运算（二）复数的运算注：4)复数的运算满足交换律、结合律、分配律。例：若，求w。§1.1复数与复数运算解：故的主幅角有n个，即对应有n个值：它们在以坐标原点为中心，半径为的圆周上均匀分布。例：讨论式子在复平面上的意义解：为圆上各点令§1.1复数与复数运算例：求方程sinz=2解：设§1.1复数与复数运算或或（续上）§1.1复数与复数运算（一）区域的概念由确定的平面点集，称为定点z0的—邻域邻域：内点：若z0及其邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点外点：若z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点1、几个定义§1.2复变函数边界点:若z0及其邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的边界点。内点边界点外点（一）区域的概念§1.2复变函数2、区域A）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。

复变函数的宗量z在复平面上的满足下述条件的定义域（点集），称为区域：闭区域：

区域B连同它的边界称为闭区域，表示为表示以原点为圆心半径为1的闭区域（一）区域的概念§1.2复变函数如：3、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD（一）区域的概念§1.2复变函数

若复数平面中存在的点集E，对于E的每一个点（复数），均按照某种规律，有一个或多个复数值与之对应，则称为的复变函数。§1.2复变函数（二）复变函数的定义z称为w的宗量，E称为函数定义域其中：记做：二元实函数（三）复变函数例几个常见初等函数定义式：§1.2复变函数周期特性：可大于1。（三）复变函数例§1.2复变函数（一）复变函数的极限与连续性

设w=f(z)在z0点的某邻域有定义，对于任意>0，若存在>0，使得时，有则称w0为z→z0时极限，计为1)z在全平面，z→z0的方式是任意的（与一元实变函数相比较要求更高）1、复变函数的极限2)w0是复数.

3)

若f(z)在处有极限,其极限是唯一的注：§1.3复变函数的导数若在处连续，则有（一）复变函数的极限与连续性若时，有

，称f(z)在z0点连续2、复变函数的连续性若f(z)在区域D内处处连续，则称f(z)在区域D内连续§1.3复变函数的导数（二）导数定义与求导设w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数，如果极限存在，并且与Δz→0的方式无关，则称函数w=f(z)在点z处可导，该极限值称为函数f(z)在点z处的导数，即1、定义§1.3复变函数的导数（二）导数定义与求导§1.3复变函数的导数实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。2、求导法则（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数实变函数求导：Δx沿实数轴趋近0复变函数求导：Δz沿实平面任一曲线趋近0复变函数可导远比实变函数可导要求严格。（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数1、柯西-黎曼条件——必要条件

若函数f(z)在点z可导，则Δz沿实轴(x轴)和虚轴(y轴)趋近于0应相等，即：==沿x轴：沿y轴：柯西-黎曼条件（C-R条件）（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数

柯西-黎曼条件不是复变函数可导的充分条件。例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导。证：满足C.R.条件而令，则随而变，故在z=0处不可导（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数2、复变函数可导的充要条件

函数f(z)在点

z可导的充要条件是：

1）存在且连续；

2）满足柯西-黎曼条件。证明：（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数2、复变函数可导的充要条件(续）由C.R.条件

1）可导函数的实部与虚部有密切的联系。当函数可导时，仅由其实部或虚部即可求得导数。（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数2、复变函数可导的充要条件(续）2）利用该条件可以判断函数是否可导。注：3）复变函数导数求解步骤：I)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性II)验证C-R条件III)由实部或虚部求导数：（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数3、极坐标系中的柯西-黎曼条件

复数的极坐标表示应用广泛，极坐标系中的柯西-黎曼条件也有应用价值。（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数3、极坐标系中的柯西-黎曼条件（续）（一）解析函数及其性质§1.4解析函数1、解析函数的定义若w=f(z)在z0点及其邻域上处处可导，称f(z)在点z0解析若w=f(z)是在区域

B上任意点可导，称f(z)在区域B

解析1）在某个区域上，函数可导与解析是等价的。注：2）函数f(z)在区域B内解析的充要条件是：

a）在区域B内可导且连续；

b）满足柯西-黎曼条件。3）某区域内解析函数在该区域必有任意阶导数例：证明：f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f’(z)=f(z)。证：在复平面上均一阶偏导连续且满足C.R.条件——解析（一）解析函数及其性质§1.4解析函数定义1：在某区域上有连续二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程的函数，称为调和函数。（一）解析函数及其性质§1.4解析函数2、解析函数的性质由C.R.条件前一式对x

求导，后式对y

求导，相加同理共轭调和函数定义2：若两调和函数分别为同一复变函数的实部和虚部，则称为共轭调和函数。（一）解析函数及其性质§1.4解析函数性质一：若函数在区域B上解析，则为区域B上的共轭调和函数。2、解析函数的性质（续）性质二：若函数在区域B上解析，则是相互正交的两组曲线.（二）解析函数的确定§1.4解析函数

若给定一个二元调和函数u(x,y)或v(x,y)，可利用C.R.条件，求出其共轭调和函数v(x,y)或u(x,y)，进而确定解析函数具体方法：设已知u(x,y)，求v(x,y)全微分式（二）解析函数的确定§1.4解析函数求解方法：方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：故u为调和函数（二）解析函数的确定§1.4解析函数方法一、曲线积分法例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函数的确定§1.4解析函数方法二、凑全微分显式法例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函数的确定§1.4解析函数方法三、不定积分法对第二式对y积分，视x为参数，则有：例：已知解析函数f(z)实部,求v(x,y)解：化为极坐标求解（二）解析函数的确定§1.4解析函数§1.5单值函数与多值函数单值函数：复数平面上点集E中的每一个点,均按照某种映射关系，与一个复数值对应，单值复变函数。多值函数：复数平面上点集E中的每一个点,均按照某种映射关系，与多个复数值对应，单值复变函数。§1.5单值函数与多值函数（一）初等单值函数1、幂函数

当n是正整数或0在复平面上解析。2、多项式函数在复平面上解析.3、有理函数在复平面上除使Q(z)=0的点外解析§1.5单值函数与多值函数（一）初等单值函数4、指数函数(ⅰ)ez≠0,因为|ez|=|ex·eiy|=ex>0.(ⅱ)对于实数z=x(y=0)来说,我们定义与通常实指数函数的定义是一致的.(ⅲ)ez1·ez2=ez1+z2.(ⅳ)w=ez在复平面上解析,且(ⅴ)由欧拉公式:由此可得正弦函数、余弦函数:（一）初等单值函数§1.5单值函数与多值函数5、正、余弦函数有:（一）初等单值函数§1.5单值函数与多值函数性质1:在复平面上解析,且性质2：sinz是奇函数,cosz是偶函数,它们遵从三角公式性质3：sinz及cosz以为周期.正弦函数、余弦函数性质：性质4：sinz=0必须且只须cosz=0必须且只须（一）初等单值函数§1.5单值函数与多值函数正弦函数、余弦函数性质（续）：性质5：在复数范围内不再能断定

通过sinz,cosz我们可以依照通常的关系定义正切、余切、正割、余割.（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数根式函数、对数函数等均为多值函数。1、根式函数即：多值函数造成根式函数多值的原因：（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数考察z的连续变化：(1)z从给定点z0

出发，对应的值w从w0出发；z环绕原点(z=0)转一圈回到原处，辐角变为φ0+2π，而w由w0变为w1，即w从一个单值分支变到另一个单值分支；继续沿逆时针方向绕z=0转一圈，z再次回到原处，辐角变为φ0+4π，而w由w1变为w0。如路径未包围原点(z=0),则w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支z的辐角的多值性，即2、单值分支

多值函数的每个值称为单值分支。如w1,w2为的两个单值分支。2)所有分支值域合起来覆盖整个w平面。（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数1)单值分支间值域互不交迭。注：（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数3、支点支点特性:

当z绕任一包围它的路径一周并回到原处时,函数值不复原，多值函数值由一个分支变到另一个分支，具有这种性质的点称为多值函数的支点。显然：z=0，z=∞均为的支点。

若z绕支点n周后，函数值w复原，则称该支点为n-1阶支点。注：例：的割缝：其支点为z=0，z=∞

（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数4、支割线

在两个支点之间作割缝，并规定：z在连续变化的过程中不能跨越割缝，该割缝所在位置称为割线。

从z=0出发，沿x轴正方向作一割缝至z=∞。此时，z无论在平面上怎样变化都不可能绕z=0或z=∞转一圈，则辐角的变化范围在2π之内，由此可知，w的值必在一个单值分支之内。（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数5、黎曼面

中，z的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平面上运行，即将z平面分为两叶平面。为了将各个分支作为整体来研究：

(1)第一页的下岸与第二页的上岸φ=2π粘合在一起;(2)第二页的下岸与第一页的上岸φ=0粘合在一起。形成的面称为黎曼面。2.2柯西定理2.3不定积分§2.1复变函数的积分第二章复变函数的积分第一篇复变函数论2.4柯西公式

设：(1)连续函数（一）积分定义§2.1复变函数的积分(2)C为区域D内一条A→B的有向光滑路径。(3)将C划分成n个小段，端点为z0，z1，……,zn。(4)在每一小段[zk-1，zk]上，任取ζk，做乘积。(5)做和式。

若：无论如何分割C，极限存在，且与ζk选取无关，则称此极限为沿C从A到B的路积分（二）积分的表示§2.1复变函数的积分

复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分。因此实变函数线积分的很多性质可以应用到复变函数中。

函数积分表示为：

由于，则例：计算积分分别沿路径(1)和(2),如图解：路径(1)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关路径(2)(1)(2)§2.1复变函数的积分§2.2柯西定理

柯西定理揭示了复变函数的积分值与积分路径的关系。（一）单通区域柯西定理

若函数在闭单连通区域上解析，为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为边界曲线），则有

格林公式：

由柯西-黎曼条件：单通区域柯西定理§2.2柯西定理（一）单通区域柯西定理

若函数在单连通区域上解析，在闭单通区域上连续，为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为边界曲线），则有单通区域柯西定理推论推论一：推论二：

单连通区域中解析函数f(z)的积分值与路径无关。ABl2l1证明：

若是闭复通区域上的单值函数，则§2.2柯西定理（二）复通区域柯西定理

将单连通区域中的奇点排除后，即形成复通区域。复通区域柯西定理式中：l为区域外境界线，li为区域内境界线。境界线正方向的规定：观察者正方向前进时，区域总在观察者左边。外境界线正向：逆时针，内境界线正向：顺时针ll1l2§2.2柯西定理（二）复通区域柯西定理（续）l2l1lABA’B’C’D’CD证明：

将复通区域做割线连接内外境界线，则复通区域变单通区域。由单通区域柯西定理，得：

:逆时针方向积分关于柯西定理的说明：1、闭单通区域上解析函数沿境界线积分为0；

2、闭复通区域上解析函数沿所有内外境界线正方向积分之和为0；

3、闭复通区域解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。

4、在闭单通或闭复通区域上的解析函数，只要起点和终点固定，积分结果与积分路径无关。§2.2柯西定理

由柯西定理：单连通区域中，解析函数f(z)的路径积分值与路经无关，只与起点、终点有关。故：固定起点z0，则不定积分可以证明：§2.3不定积分定义了一单值函数，且F(z)

是f(z)

的原函数，即：（一）不定积分定义（重要例题）：计算积分lCR（n为整数）解：n<0时,z=为（z-)n的奇点。绕作小圆C,在C上

§2.3不定积分n0时，被积函数解析。由柯西定理，知由柯西定理

（续上例）§2.3不定积分重要结论：§2.4柯西公式

若：f(z)

在闭单通区域上解析，l是闭区域的边界线，是闭区域内的任一点，则有柯西积分公式证明：由2.3节例题结论，有将上式代入柯西公式，则只需证明：（一）柯西积分公式

由于是被积函数奇点。以为圆心，ε→0为半径做小圆Cg，则由柯西定理§2.4柯西公式（一）柯西积分公式(续)对上式右端估值，很明显，ε→0时，f(z)→f()

，故有（得证）z§2.4柯西公式柯西公式的意义：柯西公式可表示为：（一）柯西积分公式(续)

一个解析函数f(z)在区域B内的值由它在该区域边界上的值f()确定,即函数在边界上的值一经确定，其内部任一点值也就确定。§2.4柯西公式

解析函数f(z)

在区域内存在奇点时，则将奇点挖去后形成复通区域，在该复通区域内，柯西积分公式仍然成立。注：zll1l2（一）柯西积分公式(续)——复通区域内柯西积分公式注意：内境界线和外境界线上积分路径方向均为正方向。§2.4柯西公式（二）柯西积分公式重要推论推论一：解析函数可求任意次导数，其导数为推论二：刘维尔定理：有界整函数必为常数。即：若f(z)在全平面上解析，且，则§2.4柯西公式（二）柯西积分公式重要推论推论三：平均值定理：设f(z)在整个平面上解析，则在空间某点z的值等于f(z)在以其为圆心的圆周上所有点的值得平均值。证明：由柯西公式

取l为以z为中心，半径为r的圆周路径，则在圆周上圆周上的平均值§2.4柯西公式（二）柯西积分公式重要推论推论四：模数定理：设f(z)在某个闭区域上解析，则其模只能在境界线上才能达到最大值。§2.4柯西公式

例：(1)求(2)

解：(1)(2)（三）柯西积分公式的应用例：计算：l为圆ixy解：奇点为z=0,z=i,z=-i,在l内只有

z=i（三）柯西积分公式的应用§2.4柯西公式例：，C为圆周解：处处解析，求：（三）柯西积分公式的应用§2.4柯西公式函数有精确表示和近似表示。精确表示（解析表示）：表示为初等函数通过四则运算近似表示：通过逼近，近似表示为初等函数通过四则运算级数表示：近似表示的一种，表示为一个函数级数第三章幂级数展开第三章幂级数展开3.2幂级数3.3泰勒级数展开3.5洛朗级数展开§3.1复数项级数§3.6孤立奇点的分类复数项无穷级数前n项之和若：则称级数收敛于F，此时实部和虚部对应的两个级数也是收敛的。§3.1复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据实数项级数性质可移用于复数项级数1、复数项级数的收敛的定义§3.1复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据2、柯西收敛判据复数项级数收敛的充要条件是：对于任一小的正数，必存在N

使得n>N

时有式中p

为任意正整数。§3.1复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据3、绝对收敛若复数项级数各项的模组成的级数收敛，则称级数绝对收敛。1）绝对收敛的复数项级数必然收敛。注：2）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。复变函数项级数：§3.1复数项级数（二）复变函数项级数复变项级数在区域B中收敛的充要条件：

对于任一小的正数，必存在N(z)

使得n>N(z)

时有式中p

为任意正整数。若N与z无关，则称该复变函数项级数在B内一致收敛。注：§3.1复数项级数（二）复变函数项级数复变函数项级数相关性质：1、若复变函数项级数在区域B（或路径l)上一致收敛，且每一项都在区域B(或路径l）上连续，则级数和也是区域B(路径l）内连续函数。2、在区域B内，若复变函数项级数的各项的模

而常数项级数收敛，则称在区域B上绝对且一致收敛。§3.2幂级数（一）幂级数定义

幂级数是指各项都是幂函数的复变函数项级数。称为以z0为中心的幂级数。其中，各系数项均为复常数。§3.2幂级数（二）幂级数的收敛性判别——达朗贝尔判别法1、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）由正项级数的比值判定法可知，若模级数考察幂级数各项的模组成的级数则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数绝对收敛。§3.2幂级数2、收敛圆由前可知，幂级数绝对收敛条件为：引入，则幂级数绝对收敛条件变为：收敛圆：以z0圆心，半径为R的圆。R称为收敛半径。幂级数在收敛圆内绝对收敛，而在圆上和圆外可能发散。圆外仍可能有区域是收敛的。（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据若

，则幂级数发散；若

，则模级数收敛，幂级数绝对收敛；§3.2幂级数3、根值判别法：（三）幂级数的收敛性判别——根值判别法由此可得收敛半径的另外一种定义：例：求幂级数的收敛圆（t为复变量）。解：则收敛半径:故，收敛圆为以t=0为圆心，半径为1的圆。§3.2幂级数例：求幂级数的收敛圆。解：则收敛半径:故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为1的圆。§3.2幂级数例：求幂级数的收敛圆。解：则收敛半径:故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为2的圆。§3.2幂级数§3.2幂级数（四）幂级数的积分表示将上式沿收敛圆内路径积分，并利用柯西公式，可得：在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积分——解析函数。§3.3泰勒级数任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。问题：解析函数任意阶导数都存在，是否可将其展开为复变函数项的泰勒级数呢？可以！§3.3泰勒级数展开定理：

设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意点，可展开为其中即：泰勒级数§3.3泰勒级数展开证明：

设在收敛圆内解析，则由柯西积分公式而由于ζ为积分路径上点，而z为积分路径内点，故有§3.3泰勒级数展开证明(续)：§3.3泰勒级数展开例：在z0=0的邻域上将展开为泰勒级数。解：（展开时能直接求导就求导）§3.3泰勒级数展开例：在z0=0的邻域上将展开。解：§3.4解析延拓（一）解析延拓概念考察如下两个函数在区域等同

对于某个区域b上的解析函数f(z)，如果能找到另一个函数F(z)，它在含有区域b的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等同于f(z)

，则这个过程就叫解析延拓。解析延拓：bB§3.4解析延拓（二）解析延拓唯一性可以证明：函数f(z)和F(z)在区域B上解析，若在B的某子区域b上有

f(z)≡F(z)，则在整个区域B上必有

f(z)≡F(z)

。§3.5洛朗级数展开（一）双边幂级数

当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开洛朗级数展开。考察双边幂级数：收敛半径为R1令收敛半径记为1/R2，即在圆z-z0=R2外收敛。§3.5洛朗级数展开若R2<R1，则双边幂级数就在环域R2<z-z0<R1内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。环域R2<z-z0<R1称为该双边幂级数的收敛环。（一）双边幂级数（续）§3.5洛朗级数展开（一）洛朗级数洛朗展开定理：

设f(z)在环域R2<|z-z0|<R1的内部单值解析，则对环域内任一点z，f(z)可展为幂级数

其中积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。z0R1CR1R2C'R2CR1CR2C洛朗级数展开证明：为避免圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为CR1、内圆稍微扩大为CR2，利用复通区域上的柯西公式：§3.5洛朗级数展开z0R1CR1R2C'R2CR1CR2C§3.5洛朗级数展开例：在以z=0为中心的0<|z|<+的圆环域内把展开。

§3.5洛朗级数展开解:（直接法）例：在z=1的领域上将函数展开为洛朗级数。

§3.5洛朗级数展开解:先将函数分解为奇点分别为z=1和z=-1，因此在环域内解析，故有例：在z=0的邻域上将函数展开为洛朗级数。

§3.5洛朗级数展开解:先将函数分解为奇点分别为z=1和z=2，因此在z=0的邻域上可在三个环状区域内进行级数展开。§3.5洛朗级数展开§3.6孤立奇点的分类（一）孤立奇点与非孤立奇点孤立奇点：

若函数f(z)在某z0点处不可导，而在的任意小邻域内除z0外处处可导，则称z0为f(z)的孤立奇点。非孤立奇点：

若函数f(z)在某z0点处不可导，而在的任意小邻域内总可找到除z0外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/[sin(1/z)]在z0=0点的情况洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点

洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。a-1具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点z0的留数。§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点例:z0=0为

sinz/z可去奇点1、可去奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<R上的洛朗级数中不含有(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点。

可去奇点的主要特征（1）f(z)在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；（2）即f(z)在z0点的去心邻域内有界。§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点2、极点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<R上的洛朗级数中含有有限个(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的极点。其中a-m0，m为有限数，则称z0为f(z)的m阶极点。特殊地，一阶极点称为单极点。

极点的主要特征：1.f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为有限多项；2.。例:f(z)=(z-2)/[(z2+1)(z-1)3],讨论z=1,z=i§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点3、本性奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<R上的洛朗级数中含有无限多(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。

对于本性奇点z0，当zz0时，f(z)的值并不固定，而是与z趋于z0的方式有关。

本性奇点的特征1.f(z)在本性奇点z0的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为无限多项；2.当zz0时，不存在。例：z0=0是f(z)=exp(1/z)的本性奇点§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点

洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。a-1具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点z0的留数。3、本性奇点§3.6孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点

洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。a-1具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点z0的留数。考察解析函数回路积分问题：第四章留数定理情况1：被积函数在积分回路所围区域内解析由柯西定理可知：情况2：被积函数在积分回路所围区域内存在奇点第四章留数定理4.2应用留数定理计算实变函数定积分§4.1留数定理（一）留数§4.1留数定理问题：若f(z)在l内有奇点，情况1：l内有一个孤立奇点z=z0z0ll0由复通区域柯西定理：l0为包围z0的一个小回路。将f(z)在以z0为中心的环域上展为洛朗级数（一）留数§4.1留数定理留数定义：

设是的孤立奇点，是包围在内的闭曲线，且不包含的另外奇点，则在点的留数(Residue)定义为

函数在奇点的留数等于函数在该奇点处洛朗级数的项的系数（二）留数定理§4.1留数定理问题：若f(z)在l内有奇点，情况2：l内有n个孤立奇点由复通区域柯西定理：（二）留数定理§4.1留数定理留数定理：

设函数在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，则

留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围各奇点留数之和。（三）留数的计算§4.1留数定理留数计算一般原则：

在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，并取其负一次幂项系数即可。

若奇点为极点，可不作洛朗级数展开直接求解。（三）留数的计算§4.1留数定理1、奇点为单极点(一阶极点)时设z0

是

f(z)的一阶极点，即有特殊地，若一阶极点判断依据（三）留数的计算§4.1留数定理2、奇点为m阶极点时设z0

是

f(z)的m阶极点，即有两边乘,得到：m阶极点判据（三）留数的计算§4.1留数定理2、奇点为m阶极点时为了求a-1,对上式求m-1阶导数：即可得m阶极点留数计算公式：（三）留数的计算§4.1留数定理例1：求在处的留数。另解m=?解：（三）留数的计算§4.1留数定理例2：求在其奇点的留数。

解：z=n为一价极点（三）留数的计算§4.1留数定理例3：求在其奇点的留数。解：故：z=2i为单极点,z=0为三阶极点。（三）留数的计算§4.1留数定理例4：求积分解：（三）留数的计算§4.1留数定理续前：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分实变函数积分复变函数的回路积分

将在区间l1=[a,b]的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来。基本思想:方法：

补充线段

l2,并且延拓函数到整个复平面，构成回路积分：xyoabl1l2b1b3b2bmbkll=l1+

l2易于求解利用留数定理求解§4.2应用留数理论计算实变函数定积分其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx

的有理式；（2）积分区间是[0,2]；（3）在区间[0,2]内，无奇点。（一）类型一：处理方法：则原积分变为：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（一）类型一：例1:计算积分解：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（一）类型一：例2:计算积分解：被积函数有单极点由留数定理：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分其中：(1)积分区间是(-,+);(2)复变函数f(z)

在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析；

(3)当z在上半平面和实轴上时，一致的|zf(z)|0；（二）类型二：特殊地：当f(x)是有理分式时：由条件(1)(2)(3)，要求积分式的分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（二）类型二：处理方法：其积分主值为：补充围路如图,作线积分-R•+RxyCR•bkoR(留数定理)(证明略)§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（二）类型二：例题3求积分单极点，只需考虑上半平面极点+i解：满足类型二条件要求。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（二）类型二：例题4求积分解：被积函数满足类型二条件要求。上半平面奇点为n阶极点+i。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（二）类型二：（续例题4）§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（二）类型二：例题5求积分解：被积函数为偶函数，故

由例4结论，知：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（三）类型三：其中：（1）积分区间；（2）偶函数F(z)

和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析；（3）当z在上半平面和实轴上时，一致地F(z),G(z)0；§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（三）类型三：处理方法：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（三）类型三：类型二故：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（三）类型三：例题6：求积分解：满足类型三条件要求，故在上半平面内，z=ia为一阶极点。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（三）类型三：例题7：求积分解：满足类型三条件要求，故在上半平面内，z=ia为二阶极点。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（四）类型四：实轴上有单极点的积分

其中：

(1)函数f(z)

在实轴上有单极点

a，上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析；

(2)当z在上半平面和实轴上时，一致地|zf(z)|0；或满足第三类型的条件。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（四）类型四：实轴上有单极点的积分

•CRC-RRO处理方法：作如图围路，则：当R时积分为零(约当引理)取极限R,ε,则？？？§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（四）类型四：实轴上有单极点的积分

•CRC-RRO处理方法：洛朗展开注意：如为二阶以上的极点，则当0时第一项发散！如实轴上有多个单极点：§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（四）类型四：实轴上有单极点的积分

处理方法：因此原积分为：

注意：实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或二阶以上极点，更不能是本性奇点。否则，积分（极点情形）或不存在（本性奇点情形）。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（四）类型四：实轴上有单极点的积分

例题8：求狄利克雷积分解：利用函数的奇偶性，原积分可化成

满足类型四条件要求。在上半平面内无极点；在实轴上存在单极点z=0。§4.2应用留数理论计算实变函数定积分（四）类型四：实轴上有单极点的积分

几个积分：§4.3应用留数理论计算定积分补充例题关键点：如何由实变函数构造被积复变函数。一般来说，构造的复变函数f(z)应满足以下条件：1）在实轴上，2）在实轴上，f(z)应满足类型二或类型三条件要求。§4.3应用留数理论计算定积分补充例题例题1：求菲涅尔积分解：xyolRCR/4构造如图回路，在回路内无奇点，则由柯西定理§4.3应用留数理论计算定积分补充例题（续上例）=0（证明略）§4.3应用留数理论计算定积分补充例题例题2：求解：将被积函数实轴研拓到复平面，得

由于,则为多值函数。z=0为支点，割线沿正实轴。将函数沿如图所示路径积分，得xyCCRl2l1绕支点一周，幅角增加2π=0=0待求§4.3应用留数理论计算定积分补充例题(续上例）xyCCRl2l1易知：在z=-1处存在单极点,在该点处的留数为§4.3应用留数理论计算定积分补充例题例题2：求解：本例中，被积函数多值函数有两个支点z=0及z→∞及一个极点z=1。将函数沿如图所示路径积分(R→∞,εδ→0）xCgCRK2K1+1半径00§4.3应用留数理论计算定积分补充例题（续上例）可以求得：求解过程见下页电磁场数学方法任课教师：陈其科联系方式：E_mail：qkchen@

电话：61830311总学时:

80课时教材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版）成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60%第二篇数学物理方程要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程

---牛顿第一章典型方程与定解问题第二篇数学物理方程§1.1常见坐标系(补充内容)§1.2典型的数学物理方程§1.3定解条件

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。

三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。§1.1常用坐标系（一）直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx§1.1常用坐标系（二）圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系§1.1常用坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量（三）球面坐标系§1.1常用坐标系（四）坐标单位矢量之间的变换关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oφxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φoθrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθ§1.1常用坐标系三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解。§1.1常用坐标系第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。物理规律是代表某物理现象的物理量在空间的分布规律和时间的变化规律。可用u(r,t)表示。物理规律反应的是同一类物理现象遵从的共同规律，具有普遍性。对于具体问题，由于所处的“环境”或“历史原因”不同，代表同一类物理现象的物理量的具体表达式不同。物理规律的普遍性具体问题的特殊性第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程泛定方程描述物理规律的数学表示，反映物理量随空间位置和时间变化的规律，是一类物理现象的共性，与具体现象无关。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。几个概念第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程定解条件——同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。定解条件即体现物理现象个性的条件，包括边界条件和初始条件。边界条件：周围“环境”影响体现在边界处的物理状况。初始条件：某个“初始”时刻所处的状态。例：一个物体做竖直上抛运动，一个物体斜抛运动。例：如电磁波在无界空间传播和有界空间传播。第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（一）波动方程(双曲型方程)1.弦振动方程条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。不受外力影响。研究对象：线上某点在t时刻沿纵向的位移。问题：第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（一）波动方程(双曲型方程)1.弦振动方程简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。物理规律：牛顿运动定律横向：纵向：第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（一）波动方程(双曲型方程)1.弦振动方程其中：第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（一）波动方程(双曲型方程)1.弦振动方程令：一维波动方程横向作用力非齐次方程忽略重力作用（g=0）一维齐次波动方程简化表示：第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（一）波动方程(双曲型方程)2.薄膜振动方程二维波动方程三维波动方程3.理想传输线方程一维波动方程4.电磁场波动方程三维波动方程第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（二）热传导方程(抛物型方程)

一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。问题：一维热传导推导：

设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)。考察[x,x+dx]段细杆，其热容量为，则由能量守恒定律热流强度：第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（二）热传导方程(抛物型方程)一维热传导方程第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（二）热传导方程(抛物型方程)研究对象：温度场推广：三维热传导方程热场物理规律：能量守恒定律三维热传导方程热源分布函数第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（三）稳定场方程(拉普拉斯方程)物理问题的产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。数学方程形式：

在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（三）稳定场方程(拉普拉斯方程)1、热传导的稳定状态热传导趋于平衡,温度u(x,y,z,t)趋于u(x,y,z)Laplace方程Poisson方程——不随时间变化第二篇数学物理方程§1.2典型的数学物理方程（三）拉普拉斯方程(椭圆型方程)2、静电场的电位方程电势u

确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程(无源场)泊松方程第二篇数学物理方程§1.3定解条件

同一类物理现象中，各具体问题又有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。第二篇数学物理方程§1.3定解条件（一）初始条件——描述系统的初始状态初始时刻的温度分布：2、热传导方程的初始条件3、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件

描述稳恒状态，与初始状态无关，无初始条件1、波动方程的初始条件系统各点的初位移系统各点的初速度第二篇数学物理方程§1.3定解条件（二）边界条件——描述系统在边界上的状况(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用:1、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧支承：第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第二篇数学物理方程§1.3定解条件（二）边界条件——描述系统在边界上的状况2、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值S:给定区域v的边界(2)绝热状态(3)热交换状态

牛顿冷却定律：第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第二篇数学物理方程§1.3定解条件（三）定解问题解的相关概念1、定解问题(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。

把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。第二篇数学物理方程§1.3定解条件（三）定解问题解的相关概念2、定解问题的适定性定解问题的适定性检验：解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否相应微小变动。适定性的意义：定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。不适定问题举例：一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数条件多了，将会破坏解的存在性；条件少了，将会破坏解的唯一性。第二篇数学物理方程§1.3定解条件（三）定解问题解的相关概念

线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程3、叠加原理

叠加原理应用：1）齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；2）非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；例一根长为的弦，两端固定于和,在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离，如图所示，然后放手任其振动，试写出定解问题。

x

u

o

b

l

h

图7.5

解：弦自由振动满足波动方程边界条件：

初始条件：课程内容三种方程四种求解方法二个特殊函数行波法分离变量法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝赛尔函数勒让德函数知识复习常见微分方程的解：

尤拉方程

第二章波动方程的达朗贝尔解法第二篇数学物理方程达朗贝尔解法——行波法§2.1一维波动方程的达朗贝尔解§2.2三维波动方程的达朗贝尔解§2.1一维波动方程的达朗贝尔解常微分方程的求解步骤：

1、先求方程的通解（含有积分常数——任意）

2、由定解条件确定积分常数。§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导无界弦振动的定解问题作用力初始位移初始速度§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导1、无界弦的自由振动定解问题：先求通解，再求特解。泛定方程可写为§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导1、无界弦的自由振动(续)作线性变换§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导1、无界弦的自由振动(续)此即为原方程的通解。=？利用初值条件确定§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导1、无界弦的自由振动(续)达朗贝尔公式§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（二）达朗贝尔公式的物理意义以为例说明。xEx0π2π3π

：沿x方向传播行波

：沿-x方向传播行波波动方程的达朗贝尔解法也称为行波法。例：求定解问题解：由达朗贝尔公式§2.1一维波动方程的达朗贝尔解§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用2.无界弦的受迫振动（I）（II）（III）+原问题叠加原理达朗贝尔公式齐次化原理外力作用§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用3、端点固定半界弦的自由振动代入初始条件可得Ox由达朗贝尔公式：半无界端点固定§2.1一维波动方程的达朗贝尔解代入边界条件可得（三）达朗贝尔公式的应用3、端点固定半界弦的自由振动(续)（1）xat,即

x-at0（三）达朗贝尔公式的应用3、端点固定半界弦的自由振动(续)§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（2）x≤at,即

x-at≤0（三）达朗贝尔公式的应用3、端点固定半界弦的自由振动(续)§2.1一维波动方程的达朗贝尔解另解：用延拓的方法求解。（三）达朗贝尔公式的应用3、端点固定半界弦的自由振动(续)所谓延拓，是指根据问题奇偶性，将初始条件函数的定义域扩展到[-∞,+∞]区间，以利用达朗贝尔公式直接求解。由达朗贝尔公式及边界条件：为相互独立任意函数奇函数§2.1一维波动方程的达朗贝尔解将做奇延拓，从半无界区域扩展到无界区域，（三）达朗贝尔公式的应用3、端点固定半无界弦的自由振动(续)则半无界弦问题变为无界弦自由振动问题由达朗贝尔公式：§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用4、端点自由半无界弦的自由振动半无界端点自由，无外力用延拓的方法求解。§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用4、端点自由半无界弦的自由振动(续)偶函数将做偶延拓，从半无界区域扩展到无界区域，§2.1一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用4、端点自由半无界弦的自由振动(续)则半无界弦问题变为无界弦自由振动问题由达朗贝尔公式：§2.1一维波动方程的达朗贝尔解例：求定解问题解：考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波沿x正向由边界条件令§2.1一维波动方程的达朗贝尔解当时，（续上例）由于震动由扰动引起，所以当时，§2.1一维波动方程的达朗贝尔解例：求解弦的自由震动，设弦的初始位移为，初始速度为。解：写出其定解问题由达朗贝尔方程§2.1一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的初值问题：行波法——达朗贝尔公式三维波动方程的初值问题：§2.2高维波动方程的初值问题球面平均法——基尔霍夫公式（一）三维波动方程的球对称解三维波动方程的初值问题(1)(2)其中与为已知函数。§2.2高维波动方程的初值问题将波动方程在球坐标系下展开，球对称u只与r有关，与方位角无关，即（一）三维波动方程的球对称解§2.2高维波动方程的初值问题0一维波动方程其通解为：（二）三维波动方程的泊松公式§2.2高维波动方程的初值问题三维波动方程的初值问题(1)(2)

平均值法基本思路：

用平均值法求解。其中与为已知函数。

引入球面上自由振动的平均值函数，从而将三维空间的自由振动转换为球对称情形，进而利用达朗贝尔公式获得解。

引进在以M点为中心，半径为r的球面上的平均值

引进在以M点为中心，半径为r的球面上的平均值

三维波动方程的平均值法求