5-计算机控制系统的理论基础课件

？计算机控制的本质是什么？与模拟控制相比，计算机控制的优点何在？问题回顾5.1计算机控制系统信号流程5.2连续系统离散化采样及采样定理信号恢复和保持5.3计算机控制系统数学描述

z变换脉冲（z）传递函数第五章计算机控制系统理论基础图5-1计算机控制系统的信号流程图5-1计算机控制系统的信号流程模拟信号？5.1计算机控制系统信号流程5.2连续系统离散化采样及采样定理信号恢复和保持5.3计算机控制系统数学描述

z变换脉冲（z）传递函数第五章计算机控制系统理论基础图5-2

采样过程图5-3理想采样开关采样后所得的采样脉冲序列T称为采样周期。如果在采样过程中，采样周期T保持不变，则称为周期采样。若整个计算机控制系统有多个采样开关，这些开关的采样周期都为相等的常数，并且所有的开关都同时开闭，则称同步周期采样；若各采样开关以各自不同的采样周期采样，则称为多速率采样；若各采样周期是随机变化的，则称为随机采样。通过理想采样开关采样后的信号就成为一系列有高度无宽度的脉冲序列如图5.3所示。采用函数来描述采样过程。函数是一广义函数又称为脉冲函数，若为连续函数，对函数有：单位脉冲序列：理想脉冲采样函数：1采样过程及采样函数的数学表示单位脉冲序列展开成傅里叶级数：2采样函数的频谱分析频谱特性？采样函数又可表示为：Ck=？物理意义？一般t<0时，f(t)=0，故上式可改写为：（位移定理）

采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系

图5-4F(jw)和F*(jw)的频谱a:ωs>2ωmaxb:ωs<2ωmax图5-5采样信号频谱的两种情况理想低通滤波器周期为ωs3采样定理及采样周期T的讨论

若是一个带宽为的有限带宽信号，则由采样信号能够无失真地恢复到原信号的条件为：。采样周期T的选择非常重要，选择不合适会影响系统的动态品质，甚至会导致系统不稳定。采样定理给出的只是理论指导原则，但实际系统的最高角频率不好确定。对于惯性大、反应慢的生产过程，采样周期可选的长一些。虽然T越小，复原原系统的精度越高，但计算机的负担加重，也会使执行结构不能及时反应，反而使系统品质变坏。经验的结果如下表5-1所示。被控对象流量压力液位温度成分采样周期/s1-53-85-1010-2015-20表5-1过程参数采样周期经验值对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统，要求响应快、抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时，选择采样角频率为：其中，ωc为系统开环频率特性的截止频率在快速系统中，也可根据系统上升时间来确定采样周期，即保证上升时间内2到4次采样。设Tr为上升时间，Nr为上升时间内采样次数，则经验公式为2~4对于一个闭环系统，如果被控过程的主导极点的时间常数为Td，那么采样周期T应取:如果被控过程具有纯延迟环节τ，且占有一定的重要地位，采样周期应比小，通常取为:T<(1/41/10)τ5.1计算机控制系统信号流程5.2连续系统离散化采样及采样定理信号恢复和保持5.3计算机控制系统数学描述

z变换脉冲（z）传递函数第五章计算机控制系统理论基础理想滤波器是不存在的，必须找出与理想滤波器特性相近的物理上可实现的实验滤波器，这种滤波器称为保持器。a：F*(jw)频谱;b:理想滤波器特性图5-6理想滤波器特性F*4采样信号的恢复和保持器信号恢复过程？a：零阶保持器单元方框图b:保持器输入c:保持器输出图5-7零阶保持器输入输出特性多项式外推法（泰勒级数）kT<t<(k+1)T保持器/外推器零阶保持器的数学模型:其中，单位阶跃信号:图5-8零阶保持器的时域特性g0(t)g0(t)图5-9零阶保持器的频谱特性零阶保持器的传递函数:零阶保持器的频率特性:5.1计算机控制系统信号流程5.2连续系统离散化采样及采样定理信号恢复和保持5.3计算机控制系统数学描述

z变换脉冲（z）传递函数第五章计算机控制系统理论基础如何理解拉氏变换和Z变换？描述系统动态模型的数学表达式称为动态数学模型。数学模型的表达形式可以是微分方程、差分方程、传递函数和状态方程等，也可以用信号流图或模拟图符号表示。分析和研究控制系统的动态特性，就是分析和研究系统数学模型的特性。对微分方程，可得到系统输出随时间变化的规律。当微分方程的阶次较高时，微分方程的求解就变得十分困难,因此,常采用拉氏变换的方法,将微分方程转换成代数方程,求解代数方程后,再通过反拉氏变换得到微分方程的解。数学基础简介（拉氏变换）图5-10拉氏变换和拉氏反变换微分方程代数方程数学基础简介（拉氏变换）

（续一）时域函数f(t)的拉氏变换定义为：用符号表示为s称为拉氏算子。由于指数函数e-st应有意义，因此s的单位是1/时间，即频率；由于s是复数，因此，s表示复频域变量。时域函数经拉氏变换变换后得到拉氏函数。拉氏反变换定义为：用符号表示为数学定义数学基础简介（Z变换）

连续控制系统采用拉氏变换将微分方程转换成代数方程，并经拉氏反变换得到时域解，同样，离散控制系统采用Z变换将差分方程转换成以Z为变量的代数方程，求解后经Z反变换得到时域解。系统连续系统离散采样拉氏变换Z变换微分方程代数方程传递函数差分方程代数方程Z传递函数Z=esT图5-11拉氏变换和Z变换关系在线性离散系统中，对采样信号做拉氏变换：令：则：z变换的性质：

（1）线性性质：数学基础简介（Z变换）

（续一）（2）延迟（右移）定理：（3）超前（左移）定理：若，所有的初始条件为:则，可得到:（4）初值定理：（5）终值定理：数学基础简介（Z变换）

（续二）数学基础简介（Z变换）

（续三）表5-2Z变换的有关定理数学基础简介（Z变换）

（续四）表5-3常用函数的Z变换数学基础简介（Z变换）

（续五）例5-1

计算函数sinωt和eat的Z变换Z变换的MATLAB计算实例syms%计算函数z变换的MATLAB程序symswan;y1=ztrans(sin(w*n))y2=ztrans(exp(a*n));y2=simple(y2)SymbolicMathToolboxsimpleztrans数学基础简介（Z变换）

（续六）例5-2

计算函数10z/(z-1)(z-2)和(1-e-aT)z/(z-1)(z-e-aT)的Z反变换Z反变换的MATLAB计算实例%计算函数z反变换的MATLAB程序symszn;y1=iztrans(10*z/(z-1)/(z-2));n=0:5;yy1=subs(y1,n)symsnzay2;y2=iztrans((1-exp(-a))*z/(z-1)/(z-exp(-a)));y2=simple(y2)yy2=subs(y2,{a,n},{ones(1,6),0:5})SymbolicMathToolboxsymssubsiztranssimplez反变换：

脉冲序列级数求和法；部分分式法；留数法z变换解线性差分方程：

差分方程——离散时间函数或序列——z变换求解微分方程——连续时间函数——拉氏变换求解简化求解过程，微差分运算——代数运算长除法；部分分式法；留数法Z变换法：Z反变换法：数学基础简介（Z变换）

（续七）利用z变换的平移定理，求解差分方程。例：已知线性差分方程：其中,解：查表得，数学基础简介（Z变换）

（续八）对以上差分方程取z变换，得带入已知条件，得数学基础简介（Z变换）

（续九）解得：z变换解差分方程的步骤：（1）对差分方程作z变换；（2）将已知或求出的初始条件带入z变换式；（3）由z变换求出Y(z)；（4）z反变换求出y(k)。数学基础简介（Z变换）

（续十）5.1计算机控制系统信号流程5.2连续系统离散化采样及采样定理信号恢复和保持5.3计算机控制系统数学描述

z变换脉冲（z）传递函数第五章计算机控制系统理论基础脉冲（z）传递函数定义G(s)R(s)Y(s)线性连续系统：G(z)R(z)Y(z)线性离散系统：在零初始条件下，线性定常系统输出采样信号的Z变换Y(z)与输入采样信号的Z变换R(z)之比。与连续系统一样，脉冲传递函数只取决于系统本身的结构参数，与输入信号无关；G(s)是脉冲响应函数g(t)的拉氏变换；G(z)是脉冲响应函数g(t)的Z变换。【注】2.脉冲（z）传递函数与差分方程脉冲（z）传递函数与差分方程是对离散系统特性的不同数学描述，虽然形式不同，单本质一样，可以相互转换。差分方程－>z传递函数z传递函数－>差分方程3.开环系统的脉冲传递函数（1）串联系统两个离散系统：G1(z)R(z)Y(z)G2(z)两个连续系统：G1(s)R(s)Y(z)G2(s)G1(s)R(s)Y(z)G2(s)两个连续系统：（带采样开关）（2）并联系统两个离散系统：两个连续系统：两个连续系统：（带采样开关）G1(z)R(z)Y(z)G2(z)+G1(s)R(s)Y(z)G2(s)+G1(s)R(s)Y(z)G2(s)+4.闭环系统的脉冲传递函数图5-12采样开关在误差通道的闭环系统误差通道：反馈通道：输出通道：可以得到：图5-13计算机控制系统一般的计算机控制系统各环节的脉冲传递函数包括：（1）控制器（算法）（2）广义对象（3）闭环系统控制输出：误差：系统输出：可得到：图5-14线性离散系统求图