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文档简介
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数
第4节二次函数性质的再研究与幕函数
1
考试要求L了解嘉函数的概念;结合函数V=X,»=/,歹=》3,夕=1的图
X
像,了解它们的变化情况;2.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、
不等式之间的关系解决简单问题.
□知识诊断•基础夯实
I]知识梳理
1晶函数
(1)基函数的定义
如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量a,即歹=y,这样的函数称为嘉函
数.
(2)常见的五种幕函数的图像
(3)基函数的性质
①基函数在(0,+8)上都有定义;
②当a>0时,毒函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;
③当a<0时,基函数的图像都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:=加+fex+c(aW0).
顶点式:J(x)=a(x—m)2+n(a^0),顶点坐标为(相,
零点式:f[x)=G(X—XI)(X—X2)(tZ0),X\,X2为7(x)的零点.
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(2)二次函数的图像和性质
y=ax2+hx+cy=ax2+bx+c
函数
(心0)(。<0)
1
图像K
(抛物线)工/o|i\X
定义域R
4ac—b2.]f4ac—b2
值域,4°°
L4aJI4aJ
b
对称轴x=一~
~2a
顶点
\^2a-4aJ
坐标
奇偶性当b=0时是偶函数,当bWO时是非奇非偶函数
在卜8T在1一8'一/上是增函数;
上是减函数;
单调性
在卜卷+8]上是增函数在卜*+8]上是减函数
|常用结论
L二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若・/0=加+加+。(。/0),则当匕<0’时,恒有7(x)>0;当时,恒有人x)<0.
3.(1)嘉函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;
(2)塞函数的图像过定点(1,1),如果霖函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是
原点.
M诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)
1
(1)函数少=2/是塞函数.()
(2)当Gt>0时,易函数歹=工。在(0,十8)上是增函数.()
(3)二次函数夕=改2+bx+c(aW0)的两个零点可以确定函数的解析式.()
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(4)二次函数歹=ax2+bx+c(xe[a,a)的最值一定是幽~—.()
4a
2.(2021•全国甲卷)下列函数中是增函数的为()
A/x)=-xB;/(x)=(iJ
C./(x)=x2D财={
3.(易错题)若函数y=/wx2+x+2在[3,+8)上是减函数,则加的取值范围是
4.(易错题)已知幕函数/(X)=x[,若/(a+1)</(10—2a),则a的取值范围是.
5.(2018・上海卷)已知awl''2,2'‘'J.若基函数/(x)=K为奇函
数,且在(0,+8)上递减,则a=.
6.已知函数,/(》)=-2/+加(:+3(0应相或4,OWxWl)的最大值为4,则帆的值为
考点突破•题型剖析
考点一募函数的图像和性质
1.若幕函数yfx)的图像过点(4,2),则基函数y=/(x)的大致图像是()
2.若嘉函数/(x)=(2b—l)W-ioa+23(a,bez)为偶函数,且/(X)在(0,+8)上是减函
数,则a,b的值分别为()
A.2,1B.4,1
C.5,1D.6,1
3.如图是①y=x";®y=xb;③在第一象限的图像,则a,h,c的大小关系为
()
A.c<b<a
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B.a<b<c
C.h<c<a
D.a<c<h
4.(2021•郑州质检)基函数Hx)=(一一3〃?+3)的的图像关于y轴对称,则实数m=
11
5.若3+1厂尸(3-24厂7则实数a的取值范围是.
考点二二次函数的解析式
例1已知二次函数/(x)满足/(2)=-1,/(-1)=一1,且/(x)的最大值是8,试确定
该二次函数的解析式.
训练1(1)已知二次函数_/(x)=ax2+bx+l(a,bGR),xGR,若函数外)的最小值
为/(—1)=0,则/(x)=.
(2)已知二次函数人x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任
意xdR,都有人2—x)=/(2+x),则y(x)=.
考点三二次函数的图像和性质
角度1二次函数的图像
例2⑴二次函数尸af+bx+c的图像如图所示则下列结论正确的是(填序
号)•
①加>4ac;②c>0;③ac>0;@b<0;⑤a—b+c<0.
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(2)设函数八x)=x2+x+a(a>0),若人根)<0,则()
M
A:/(/n+l)^OB:/(/+1)^0
C:/(/M+1)>0D:/(/M+1)<0
角度2二次函数的单调性与最值
例3(1)函数义X)="2+(Q—3)X+1在区间[-1,+8)上单调递减,则实数。的取
值范围是()
A.[-3,0)B.(—8,-3]
C.[-2,0]D.[-3,0]
(2)(2021•西安模拟)已知危)="一2x(0WxW1),求危)的最小值.
角度3二次函数中的恒成立问题
例4(1)已知a是实数,函数/(x)=2ax2+2x—3在1]上恒小于零,则实
数a的取值范围是.
(2)函数/)=0+3谈一2(A1),若在区间[-1,1]上兀。W8恒成立,则实数“的
最大值为.
训练2(1)(2021・长春五校联考)已知二次函数/(x)满足/(3+x)=/(3—x),若/(x)在区
间[3,+8)上单调递减,且/(⑼》/(0)恒成立,则实数机的取值范围是()
A.(—8,0]
B.[0,6]
C.[6,+°o)
D.(—8,0]U[6,+°o)
(2)(2022•泰安调研)当xe(0,十8)时,ar2—3x+a》o恒成立,则实数a的取值范
围是.
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(3)设函数八x)=x2—2x+2,%e[r,z+1],reR,求函数y(x)的最小值.
I分层训练•巩固提升
A级基础巩固
1.若/(X)是哥函数,且满足人*=3,则.后J=()
/(2)
A.3B.-3C.!D.J
3
2.若函数_/(x)=(小一加一1)丁是幕函数,且其图像与坐标轴无交点,则加)()
A.是偶函数
B.是定义域内的减函数
C.是定义域内的增函数
D.在定义域内没有最小值
3.(2021•河南名校联考)函数y=l一|%一/|的图像大致是()
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4.(2021・西安检测)已知函数/(x)=-3,若4=/(0.6。-6),fe=/(0.6O'4),c=/(0.40-6),则
a,b,c的大小关系是()
A.a<c<b^.b<a<c
C.b<c<aD.c<a<b
5.若二次函数歹=履2—以+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数左的取值范
围是()
A.[2,+°°)B.(2,+00)
C.(—8,0)D.(-8,2)
6.塞函数歹=非,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲
线(如图),设点4(1,0),5(0,1),连接线段N5恰好被其中的两个基函数y
=格的图像三等分,即有3A/=MV=M4,那么4一;=()
A.OB.lC.~D.2
2
7.已知函数/3)=/+加工一1,若对于任意xW[加,m+1],都有/(x)<0成立,则实
数m的取值范围是.
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8.(2021•青岛联考)已知函数兀0=/—2*+63>1)的定义域和值域都为[1,a],则
h=.
9.设函数式》)="2—2》+2,对于满足1VXV4的一切x的值都有则实数
a的取值范围为.
10.已知函数0)=ax2+/>x+l(a,b为实数,a#0,xER).
(1)若函数兀v)的图像过点(一2,1),且方程人x)=0有且只有一个根,求兀V)的表达
式;
(2)在(1)的条件下,当xG[3,5]时,g(x)=/(x)—日是单调函数,求实数左的取值
范围.
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11.已知二次函数危)满足y(x+i)—Ax)=2x,且人0)=1.
⑴求/(X)的解析式;
(2)当1,1]时,函数y=/(x)的图像恒在函数y
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