2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节：幂函数与二次函数（学生版）

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数

第4节二次函数性质的再研究与幕函数

1

考试要求L了解嘉函数的概念；结合函数V=X,»=/,歹=》3,夕=1的图

X

像，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、

不等式之间的关系解决简单问题.

□知识诊断•基础夯实

I]知识梳理

1晶函数

(1)基函数的定义

如果一个函数，底数是自变量x,指数是常量a,即歹=y，这样的函数称为嘉函

数.

(2)常见的五种幕函数的图像

(3)基函数的性质

①基函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，毒函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，基函数的图像都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：=加+fex+c(aW0).

顶点式：J(x)=a(x—m)2+n(a^0),顶点坐标为(相，

零点式：f[x)=G(X—XI)(X—X2)(tZ0),X\,X2为7(x)的零点.

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(2)二次函数的图像和性质

y=ax2+hx+cy=ax2+bx+c

函数

（心0）（。＜0）

1

图像K

(抛物线)工/o|i\X

定义域R

4ac—b2.]f4ac—b2

值域，4°°

L4aJI4aJ

b

对称轴x=一~

~2a

顶点

\^2a-4aJ

坐标

奇偶性当b=0时是偶函数，当bWO时是非奇非偶函数

在卜8T在1一8'一/上是增函数；

上是减函数；

单调性

在卜卷+8］上是增函数在卜*+8］上是减函数

|常用结论

L二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若・/0=加+加+。(。/0),则当匕<0’时，恒有7(x)>0；当时，恒有人x)<0.

3.(1)嘉函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)塞函数的图像过定点(1,1),如果霖函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是

原点.

M诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“义”)

1

(1)函数少=2/是塞函数.()

(2)当Gt>0时，易函数歹=工。在(0,十8)上是增函数.()

(3)二次函数夕=改2+bx+c(aW0)的两个零点可以确定函数的解析式.()

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(4)二次函数歹=ax2+bx+c(xe[a,a)的最值一定是幽~—.()

4a

2.(2021•全国甲卷)下列函数中是增函数的为()

A/x)=-xB;/(x)=(iJ

C./(x)=x2D财={

3.(易错题)若函数y=/wx2+x+2在[3,+8)上是减函数，则加的取值范围是

4.(易错题)已知幕函数/(X)=x[,若/(a+1)</(10—2a),则a的取值范围是.

5.(2018・上海卷)已知awl''2,2'‘'J.若基函数/(x)=K为奇函

数，且在(0,+8)上递减，则a=.

6.已知函数,/(》)=-2/+加(:+3(0应相或4,OWxWl)的最大值为4,则帆的值为

考点突破•题型剖析

考点一募函数的图像和性质

1.若幕函数yfx)的图像过点(4,2),则基函数y=/(x)的大致图像是()

2.若嘉函数/(x)=(2b—l)W-ioa+23(a,bez)为偶函数，且/(X)在(0,+8)上是减函

数，则a，b的值分别为()

A.2,1B.4,1

C.5,1D.6,1

3.如图是①y=x"；®y=xb；③在第一象限的图像，则a,h,c的大小关系为

()

A.c<b<a

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B.a<b<c

C.h<c<a

D.a<c<h

4.(2021•郑州质检)基函数Hx)=(一一3〃?+3)的的图像关于y轴对称，则实数m=

11

5.若3+1厂尸(3-24厂7则实数a的取值范围是.

考点二二次函数的解析式

例1已知二次函数/(x)满足/(2)=-1,/(-1)=一1,且/(x)的最大值是8,试确定

该二次函数的解析式.

训练1(1)已知二次函数_/(x)=ax2+bx+l(a,bGR),xGR,若函数外)的最小值

为/(—1)=0,则/(x)=.

(2)已知二次函数人x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任

意xdR,都有人2—x)=/(2+x),则y(x)=.

考点三二次函数的图像和性质

角度1二次函数的图像

例2⑴二次函数尸af+bx+c的图像如图所示则下列结论正确的是(填序

号）•

①加>4ac；②c>0；③ac>0；@b<0；⑤a—b+c<0.

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(2)设函数八x)=x2+x+a(a>0),若人根)<0,则()

M

A:/(/n+l)^OB:/(/+1)^0

C:/(/M+1)>0D:/(/M+1)<0

角度2二次函数的单调性与最值

例3(1)函数义X)="2+(Q—3)X+1在区间[-1,+8)上单调递减，则实数。的取

值范围是()

A.[-3,0)B.(—8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

(2)(2021•西安模拟)已知危)="一2x(0WxW1),求危)的最小值.

角度3二次函数中的恒成立问题

例4(1)已知a是实数，函数/(x)=2ax2+2x—3在1]上恒小于零，则实

数a的取值范围是.

(2)函数/)=0+3谈一2(A1),若在区间[-1,1]上兀。W8恒成立,则实数“的

最大值为.

训练2(1)(2021・长春五校联考)已知二次函数/(x)满足/(3+x)=/(3—x),若/(x)在区

间[3,+8)上单调递减，且/(⑼》/(0)恒成立，则实数机的取值范围是()

A.(—8,0]

B.[0,6]

C.[6,+°o)

D.(—8,0]U[6,+°o)

(2)(2022•泰安调研)当xe(0,十8)时，ar2—3x+a》o恒成立，则实数a的取值范

围是.

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(3)设函数八x)=x2—2x+2,%e[r,z+1],reR,求函数y(x)的最小值.

I分层训练•巩固提升

A级基础巩固

1.若/（X）是哥函数，且满足人*=3,则.后J=（）

/（2）

A.3B.-3C.！D.J

3

2.若函数_/（x）=（小一加一1）丁是幕函数，且其图像与坐标轴无交点，则加）（）

A.是偶函数

B.是定义域内的减函数

C.是定义域内的增函数

D.在定义域内没有最小值

3.（2021•河南名校联考）函数y=l一|%一/|的图像大致是（）

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4.(2021・西安检测)已知函数/(x)=-3,若4=/(0.6。-6),fe=/(0.6O'4),c=/(0.40-6),则

a,b,c的大小关系是()

A.a<c<b^.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

5.若二次函数歹=履2—以+2在区间［1,2］上是单调递增函数，则实数左的取值范

围是()

A.［2,+°°)B.(2,+00)

C.(—8,0)D.(-8,2)

6.塞函数歹=非，当a取不同的正数时，在区间［0,1］上它们的图像是一组美丽的曲

线(如图)，设点4(1,0),5(0,1),连接线段N5恰好被其中的两个基函数y

=格的图像三等分，即有3A/=MV=M4,那么4一；=()

A.OB.lC.~D.2

2

7.已知函数/3)=/+加工一1,若对于任意xW［加，m+1］,都有/(x)<0成立，则实

数m的取值范围是.

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8.(2021•青岛联考)已知函数兀0=/—2*+63>1)的定义域和值域都为[1,a],则

h=.

9.设函数式》)="2—2》+2,对于满足1VXV4的一切x的值都有则实数

a的取值范围为.

10.已知函数0)=ax2+/>x+l(a,b为实数，a#0,xER).

(1)若函数兀v)的图像过点(一2,1),且方程人x)=0有且只有一个根，求兀V)的表达

式；

(2)在(1)的条件下，当xG[3,5]时，g(x)=/(x)—日是单调函数，求实数左的取值

范围.

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11.已知二次函数危）满足y（x+i）—Ax）=2x,且人0）=1.

⑴求/（X）的解析式；

（2）当1,1]时，函数y=/（x）的图像恒在函数y