2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案（五）

2023年高考数学强基计划模拟题(五)

(满)分100分，测试时间：60分钟

一、填空题(每小题10分)

1.函数f(x)=五务+搔的值域为.

2.设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回S中，则取5次

后出现重复元素的概率是(保留两位有效数字).

2

3.已知复数zi=sin。+2i,z2=l+icos。，则.与团土犁的最小值为

4.若多项式/'(x)=炉-6/+ax+a的三个根Xi，x2>打满足QT-3>+(&-3尸+

(巧-3>=0,则实数a的值是.

5.有两个两位数，它们的差是56,两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数

为.

6.设非负实数x,y,z满足Q+y+(y+1)2+(z+|产=%则x+y+z的最大值

为，最小值为.

7.将集合｛1,2,3,••♦」()｝中的数分成两组，使得第一一组数的乘积pi能被第二组数的乘积「2

整除，则日的最小值为____.

8.设%1，%2>%3是非负实数，满足X1+%2+%3=1，则Q1+3%2+5%3)•Q1+号+的

的最小值为,最大值为.

二、解答题(每小题20分)

9.设Q,bER,函数/(%)=x3-x2-ax-b有三个正根.求证：g(x)=%3-x2+bx+a

必有一个正根及一对共加复根.

答案和解析

1.【答案】(―2,引

【分析】

本题考查函数的值域，考查三角恒等变换及二次函数，属于拔高题.

☆x=tana,代入原式进行换元转化，进而由区间上的二次函数最值求得.

【解答】

解：函数定义域为R,则令x=tana,ae(一今今，

//、x1—x2tan®,1—tan20

则/(©=而+百=7^;+而新，

转化为y=sina4-cos2a—sin2a

=—2sin2a+sina+1=—2(sina-3)+，

当sina=[时，ymax=1.

又y=-2(sina-^)2+|>-2(-1—]+看=—2，

故/(x)的值域为(-2总

2.【答案】0.70.

3.【答案】2y[2

4.【答案】一9

【分析】

本题考查了函数的零点、方程根的分布，属于难题.

通过构造方程g(t)=+3),可知与一3,x2-3,与一3对应t的三个根匕，t2，分，再利

用三次方程根与系数的关系即可求得.

【解答】

解：由题设g(t)=/(t+3)

=(t+3尸—6(t+3)2+a(t+3)+a

=t3+3t2+(a—9)t+4a—27

则9(t)=f(t+3)=。的三个根ti、t2'J满足咛+考+==0.

又由根与系数的关系得

□+12+久=-3,

{tlt2+12t3+13tl=a_9,

tit2t3=-(4a-27).

代入砰+(2+tf—3t]t2t3

f

=(tl+12+3)[(^1+t2+，3)2—3(tit2+12t3+t3^)],

得3(4a-27)=-3[9-3(a-9)].

解得a=-9.

故答案为-9.

5.【答案】22,78

【解析】设两数为方=10a+b，cd=10c4-d1其中a,ce{123,4,5,6,7,8,9},b,de

[0,123,4,5,6,7,8,9},则胡-布=10(a-c)+(b—d)，再进行讨论即可.

6【答案】|.V22-3

【解析】利用三元均值不等式可得当且仅当(x,y,z)=(1鼻,0)时取最大值，(x,y,z)=

(0,0,写2)时取最小值.

7.【答案】7

【解析】注意到P2lPi，则有P2中不含7,则可知7只能在pi中，且7为质数，故段27.再把其

余元素进行分类即得.

8.【答案】1；|

【解析】由柯西不等式，有

Qi+3x2+5冷)(与+y+y)

2(后•如+,Jy+4^X3•息产

=01+%2+%3)2=1・

当%1=1,不=。，％3=0时不等式等号成立，故所求的最小值为1.

因为

%2

(%1+3%2+5%3)(%1+至+甘)

15%5%Q

=耳(%i+3%2+5久3)(5%]H—g—2I—~)

115x5%o

4耳4+3%2+S”3)+(5%1+-g-2+-g-3)]2

1149199

=元(6%i+yx2+6的)工20(6XI+6%2+6%3)=+

当/JX2=0,冷=婀不等式等号成立，故所求的最大值为卷.

9【答案】设修，%(i=l,2,3)分别为f(%),g(x)的三个根，则

(3Z3

£阳=1£%=i

i=l1=1

b

ExiXj=-aJWyty)=

33

niU%=-Q

7=i(i=l

因此不难得到QVO,b>0.于是g(x)=/一%2+b%-Q)故g(%)必有一个正根.下面记

g(x)有复根.

反之，则%为正根，且1=通1%235=]%%=31,即0<-aS5因为b=

2