32条件分布与随机变量的独立性教学课件

一、条件分布的概念1引例2设X是一个随机变量，其分布函数为若另外有一事件A已经发生，并且A的发生可能会对事件发生的概率产生影响，则对任给定的一个实数x，记并称为在发生的条件下,的条件分布函数.3例1设服从[0,1]上的均匀分布,求在已知的条件下的条件分布函数.解由条件分布函数的定义,有由于服从[0,1]上的均匀分布,故而当时,当时,4其中为的分布函数,即于是,当时从而可得56789例2求时,的条件概率分布以及时,的条件概率分布;设与的联合概率分布如右表.012-10.10.30.1500.20.050200.10.1解在时,的条件概率分布为10又故在时,的条件概率分布可类似求得11定义三、连续型随机变量的条件分布1213答请同学们思考14说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布15解例316又知边缘概率密度为171819例5甲乙两人约定中午12:30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布,乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布,试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率,又甲先到的概率是多少?解由与独立性知先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率为甲先到的概率为下面用两种方法计算之:20(2)(1)21四、随机变量的独立性一般地,由于随机变量之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性.在何种情况下,随机变量之间没有上述影响,而具有所谓的“独立性”,我们引入如下定义.22关于随机变量的独立性,有下列两个定理.232425说明

2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为即26在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式不成立.27例6判断与是否相互独立?设与的联合概率分布如右表.012-10.10.30.1500.20.050200.10.1解而即所以,与不独立.因28例7设随机变量与相互独立,下表中列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.解由于29考虑到与相互独立,有所以同理,可以导出其它数值,最后将所求数值填入表30例8设的概率密度为(1)(2)问和是否独立?解(1)31因对一切均有:故独立.(2)即32由于存在面积不为0的区域,使故和不独立.33例9设(1)求和(2)证明与相互独立的充要条件是解(1)34故在的条件下,服从正态分布35对称地,在的条件下,服从正态分布（2）比较与的密度函数与易知:即,当且仅当时,与相互独立.36例10设随机变量的概率密度为(1)求与的边缘概率密度,并判断与是否相互独立;(2)求在的条件下,的条件概率密度;(3)求概率37解（1）当时,当时,所以类似可得由于当时故与不相互独立.38求在的条件下,的条件概率密度;由(1)知,(2)当时,所以,在的条件下,的条件概率密度为39(3)求概率解40由于因此不能用前面的方法来求但由(2)知,在的条件下,的条件概率密密度为故有41今日作业：P75：2,3,4,7.

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