时间序列分析

时间序列分析第1页，课件共166页，创作于2023年2月1.Timeseriesanalysis.Hamilton

。2.Timeseriesanalysis:theoryandmethods.PeterJ.BrockwellandRichardA.Davis。3.时间序列分析，潘红宇编著，对外经济贸易大学出版社，2006年。4.应用时间序列分析，王振龙主编，科学出版社，2007年。5.应用时间序列分析王燕中国人民大学出版社6.计量经济分析方法与建模Eviews应用及实例高铁梅清华大学出版社。7.金融时间序列分析（第2版），[美]RueyS.Tsay著，潘家柱译，机械工业出版社，2007年8.金融时间序列，张世英等编著，清华大学出版社，2008年。2023/7/242参考书目：第2页，课件共166页，创作于2023年2月基本内容第一章差分方程(时间序列分析的概论)第二章平稳时间序列模型第三章波动性建模第四章包含趋势的模型第五章多方程时间序列模型第六章协整与误差修正模型2023/7/243第3页，课件共166页，创作于2023年2月第一章差分方程第4页，课件共166页，创作于2023年2月第一章差分方程一、时间序列模型二、差分和差分方程三、一阶差分方程的递归解法四、差分方程解的结构五、蛛网模型—从差分方程角度分析六、高阶差分方程的解七、滞后算子及其应用2023/7/245第5页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型1、时间序列及其特点时间序列—按时间顺序的系列观测值特点：前后相关，过去的数值影响和决定着现在和未来。第6页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型2、时间序列模型——差分方程Adifferenceequationexpressesthevalueofavariableasafunctionofitsownlaggedvalues,time,andothervariables.AR,MA,ARMA第7页，课件共166页，创作于2023年2月某单位每月的耗电量统计数据AR第8页，课件共166页，创作于2023年2月某医院住院人数y的例子：设在第t天新住院的人数为at,且某一天住院的人数与第二天的住院人数无关。再假设住院情形：10%的人住院1天，50%的人住院两天，30%的人住院三天，10%的人住院四天。那么第t天的病员人数yt可如下表示MA第9页，课件共166页，创作于2023年2月某淘宝店铺受到双11影响的销售量第10页，课件共166页，创作于2023年2月1978-2004年中国就业人员数（y，亿人）序列如下图。(90年左右就业人数突增，主要是国家宏观政策的转向（如户籍制度的逐渐放开）引起的考察我国的大学生入学人数，也可发现97年左右的人数猛增现象第11页，课件共166页，创作于2023年2月12GDP即国内生产总值，它是对一国（地区）经济在核算期内所有常住单位生产的最终产品总量的度量，常常被看成反映一个国家（地区）经济状况的重要指标。本例给出我国1978年—2007年GDP数据（单位：亿元）的时间序列图。2023/7/24第12页，课件共166页，创作于2023年2月我国民航客运量数据（1993.10－1998.3）第13页，课件共166页，创作于2023年2月14本例给出了1992年第一季度至2008年第三季度我国GDP季度数据（单位：亿元）。

2023/7/24第14页，课件共166页，创作于2023年2月15本例给出1980年1月—1991年10月澳大利亚红酒的月度销量（单位：公升）时序图。

2023/7/24第15页，课件共166页，创作于2023年2月16本例给出了dailys&p500.wfl日收益率时序图。2023/7/24第16页，课件共166页，创作于2023年2月ImprotandexportConsumptionandGDPCo2andenergyconsumptionFuturepriceandpresentprice第17页，课件共166页，创作于2023年2月第18页，课件共166页，创作于2023年2月这三个方程是典型的差分方程。一般来说，差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机扰动的函数。时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程，估计单个序列或向量（包含许多相关的序列）的一些性质。第19页，课件共166页，创作于2023年2月3、时间序列分析的作用(1)对理论性模型与数据进行适度检验，以讨论模型是否能正确地表示所观测的现象。(2)描述系统的运行规律性，从而达到认识规律和掌握规律性的目的。(3)预测系统的未来行为，从而达到利用规律的目的。(4)控制系统的未来行为，从而达到利用和支配系统的目的。

2023/7/2420第20页，课件共166页，创作于2023年2月4、几个例子2023/7/2421赌徒t时刻的资产也符合这个模型第21页，课件共166页，创作于2023年2月取对数后的深圳成分指数收盘价第22页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型(2)误差修正：远期和现期交易价格2023/7/2423第23页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型24第24页，课件共166页，创作于2023年2月二、差分和差分方程第25页，课件共166页，创作于2023年2月1、差分yt=yt-yt-1

差分算子：differenceoperator一阶差分：yt=yt-yt-1二阶差分：2yt=(yt)=yt-2yt-1+yt-2n阶差分：nyt=(n-1yt)k步差分第26页，课件共166页，创作于2023年2月2、差分方程第27页，课件共166页，创作于2023年2月在我们的时间序列模型中，譬如ARMA模型，就是在给定现在和过去信息的条件下对序列的未来值进行预测(非常类似于差分方程的求解问题：当初始条件给出后会得到方程的解的表达式)时序中的AR,MA,ARMA均为随机差分方程，通过求解差分方程的解看一下模型的特点第28页，课件共166页，创作于2023年2月三、差分方程的递归解法1、递归解法的原理Ifthevalueofyinsomespecificperiodisknown,adirectmethodofsolutionistoiterateforwardfromthatperiodtoobtainthesubsequenttimepathoftheentireysequence.Refertothisknownvalueofyastheinitialcondition.第29页，课件共166页，创作于2023年2月三、差分方程的递归解法2、一阶差分方程的解yt=φ0+φ

1yt-1+εt

向前迭代：对于给定的初值y0，向前迭代可得：y1=φ

0+φ

1y0+ε1y2=φ

0+φ

1y1+ε2

=φ

0+φ

1(φ

0+φ

1y0+ε1)+ε2=φ

0+φ

1φ

0+φ

12y0+φ

1ε1+ε2

第30页，课件共166页，创作于2023年2月三、差分方程的递归解法2、一阶差分方程的解（已知初值y0,向后迭代）yt=φ0+φ

1yt-1+εt

向后迭代：yt=φ0+φ

1yt-1+εt=φ0+φ1(φ0+φ1yt-2+εt-1

)+εt

=φ

0(1+φ

1)+φ

1εt-1+εt+φ

12(φ

0+φ

1yt-3+εt-2)=……

可以看出对y的取值有影响的量为初值和随机扰动项，并且可以得到不同时刻的扰动对于y的影响程度第31页，课件共166页，创作于2023年2月三、差分方程的递归解法3、非收敛序列—系统不稳定如果|φ1|>=1，已知初值y0，有:此式表明，过去的事件对yt有持久性的影响，而且其影响是越来越大。这一般不太符合现实。特别当|φ1|=1,系统可能存在某种趋势实际中，我们经常考察系统的稳定性第32页，课件共166页，创作于2023年2月系统稳定性考虑如下的一阶差分方程根据前面的讨论，如果已知初值，则递归解的形式为第33页，课件共166页，创作于2023年2月差分方程的动态分析：动态乘子

扰动项的一个单位变化(脉冲)对过程y的影响上式称为动态乘子，或脉冲响应函数(暂时性影响)其他扰动第34页，课件共166页，创作于2023年2月系统的稳定性可由动态乘子来判断第35页，课件共166页，创作于2023年2月第36页，课件共166页，创作于2023年2月如果考虑扰动项产生持续性变化，即都增加一个单位，此时对y的影响称为持久性影响或者长期影响：第37页，课件共166页，创作于2023年2月第38页，课件共166页，创作于2023年2月第39页，课件共166页，创作于2023年2月将有关数据代入即得第40页，课件共166页，创作于2023年2月长期收入弹性为：这说明收入1%的持续增加最终导致货币需求增加0.68%；这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果短期效应和长期效应通过滞后算子会更容易获得第41页，课件共166页，创作于2023年2月四、差分方程解的结构(略)1、一阶差分方程解的结构（分两步）一阶差分方程：yt=a0+a1yt-1+εt齐次方程(homogeneousequation):yt=a1yt-1齐次解(homogeneoussolution):yth=Aa1t一阶差分方程的特解(particularsolution)——通过迭代得到的解称为特解：通解(generalsolution)——完整解是齐次解与特解之和第42页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型2023/7/2443南京财大统计系陈耀辉蛛网模型通过引进时间变化的因素，连续考察属于不同时期的需求量、供给量和价格之间的相互作用，用动态分析的方法论述诸如农产品、畜牧产品这类生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后商品价格的波动过程所有当期产出必须在当期卖出(St=Dt)，则会构成一个蛛网。这种现象多发生在农产品、鲜花、水果等生产调整较慢且产品不可贮存的行业。举例来说，如果今年荔技价格高涨，就会刺激农民们扩大荔技生产，由于信息和协调生产的缺乏，当大量荔枝涌上市场，往往超过当前市场价格决定下的需求量，由于荔枝不能贮存，果农们就只能削价出售，当年市场价格下跌。看到下跌的价格，下一年果农们又会大量削减产量，结果造成下一年荔枝供不应求，价格随之上扬。年复一年，价格就象蛛网一样运动。至于最终是否会达到稳定的均衡，这取决于需求弹性和供给弹性的比较。如果供给弹性相对小于需求弹性，则蛛网最终趋于收敛；如果供给弹性相对大于需求弹性，则蛛网最终趋于发散；如果二者相等，则蛛网无穷期地循环波动。第43页，课件共166页，创作于2023年2月2023/7/2444南京财大统计系陈耀辉迭代可得蛛网模型的基本假定如下第44页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型2023/7/2445第45页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型2023/7/2446南京财大统计系陈耀辉供给需求弹性满足一定条件下：价格波动模式一般有两种第46页，课件共166页，创作于2023年2月DS价格数量1234567ptPt+1Pt+2Pt+3收敛蛛网模型市场经济是稳定的有时市场经济是不稳定—需要政府干预和控制第47页，课件共166页，创作于2023年2月价格数量SD12345678ptPt+1Pt+2Pt+3扩散蛛网模型第48页，课件共166页，创作于2023年2月通过差分方程推导稳定性条件根据如下的市场供需价格关系可计算长期均衡价格为第49页，课件共166页，创作于2023年2月如果已知某时刻0的初值为p0,根据差分方程通解求解办法,可得解形式如下差分方程的动态乘子可分析系统的稳定性讨论价格是否是收敛，其实就是上述系统的一个稳定性问题当供给冲击对价格的影响随着时间的推移日趋减少时，此时的系统是稳定的第50页，课件共166页，创作于2023年2月第51页，课件共166页，创作于2023年2月小结一阶差分方程解的收敛性由系数判断也可由动态乘子判断第52页，课件共166页，创作于2023年2月六、高阶差分方程的解2、高阶差分方程的推广p阶差分方程：齐次方程:齐次解:yth特解：ytp通解：yt=yth+ytp通解可引入矩阵的概念进行操作－转化维p维的一阶差分方程第53页，课件共166页，创作于2023年2月第54页，课件共166页，创作于2023年2月第55页，课件共166页，创作于2023年2月第56页，课件共166页，创作于2023年2月系统的稳定性可由动态乘子来判断第57页，课件共166页，创作于2023年2月注意：的具体表示可由矩阵F的特征根的形式得到(hamilton,p10)矩阵F的特征根是那些满足下式的值可以证明，如下结论(hamilton,p24)就是p阶线性差分方程的特征方程第58页，课件共166页，创作于2023年2月结论：即当特征多项式的根在单位圆之内时，系统是稳定的当特征方程具有相异特征根时，动态乘子有如下结果第59页，课件共166页，创作于2023年2月由算子的性质可以很容易得该结论第60页，课件共166页，创作于2023年2月七、滞后算子（延迟算子）通常以L表示滞后算子，有Liyt=yt-i第61页，课件共166页，创作于2023年2月2、滞后算子的性质①常数的滞后仍是其本身，Lc=c.②分配律:(Li+Lj)yt=Liyt+Ljyt③结合律:LiLjyt=Li+jyt④L的负指数为向前算子:L-iyt=yt+i⑤若|a|<1,则无穷和(1+aL+a2L2+a3L3+…)yt=yt/(1-aL)⑥若|a|>1,则无穷和:[1+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+…]yt=-aLyt/(1-aL)即:yt/(1-aL)=-(aL)-1[1+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+…]yt2023/7/2462南京财大统计系陈耀辉第62页，课件共166页，创作于2023年2月若c为常数，则2023/7/2463南京财大统计系陈耀辉3、用滞后算子表示差分P阶差分K步差分第63页，课件共166页，创作于2023年2月算子多项式的应用差分方程稳定性的判断动态乘子的计算差分方程的简化表示第64页，课件共166页，创作于2023年2月2、滞后算子的作用(1)简明表示差分方程例1、对于p阶差分方程yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+…+apyt-p+εt使用滞后算子，有：(1-a1L-a2L2-…-apLp)yt=a0+εt或更简洁地表示为：A(L)yt=a0+εtA(L)称为是算子多项式(注意和特征多项式的关系)2023/7/2465第65页，课件共166页，创作于2023年2月2023/7/2466南京财大统计系陈耀辉结论：差分方程系统稳定性条件：特征多项式的根在单位圆之内，或算子多项式的根在单位圆之外第66页，课件共166页，创作于2023年2月例2、对于差分方程：2023/7/2467南京财大统计系陈耀辉算子多项式的根为1/0.3,1/0.5,均位于单位圆之外。第67页，课件共166页，创作于2023年2月长期弹性：第68页，课件共166页，创作于2023年2月有如下关系计算人均消费关于人均GDP的长期弹性第69页，课件共166页，创作于2023年2月从如下模型中计算人均GDPy对人均受教育年限的弹性系数表示以e为底的自然对数第70页，课件共166页，创作于2023年2月由算子的性质自行计算n阶差分方程的长期弹性第71页，课件共166页，创作于2023年2月END第72页，课件共166页，创作于2023年2月2023/7/2473南京财大统计系陈耀辉动态乘子的计算动态乘子如果系统是稳定的，则y可表示如下第73页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型2023/7/2474南京财大统计系陈耀辉第74页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型2023/7/2475假设农民在t期生产小麦数量为s,由于受到负的供给冲击，实际产量为st,消费者愿意按价格pt购买st单位的小麦，因此，t期的供需平衡点在1。（保证此时的供需平衡）第75页，课件共166页，创作于2023年2月否则，首先将上式简化如下第76页，课件共166页，创作于2023年2月波动特点如下这个问题也可从差分方程的动态乘子得到第77页，课件共166页，创作于2023年2月二、差分和差分方程3、差分方程的解—不唯一性Asolutiontoadifferenceequationexpressesthevalueofytasafunctionoftheelementsofthe{xt}sequenceandt(andpossiblysomegivenvaluesofthe{yt}sequencecalledinitialconditions).例如：差分方程：yt=yt-1+2或：yt=2其解为：yt=2t+c验证：2t+c=2(t-1)+c+2第78页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型(2)导出（reduced）型方程和结构方程2023/7/2479第79页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型2023/7/2480南京财大统计系陈耀辉第80页，课件共166页，创作于2023年2月一、时间序列及其模型2023/7/2481南京财大统计系陈耀辉第81页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型2、长期均衡价格与供给令{εt}=0，且pt=pt-1=…=p，则由均衡条件可得：p=(a-b)/(γ+β),s=(aβ+γb)/(γ+β)3、模型的简化式pt=(-β/γ)pt-1+(a-b)/γ-εt/γst=b+βpt-1+εt第82页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型4、价格差分方程的解(1)齐次解齐次方程：pt=(-β/γ)pt-1

齐次解：pth=A(-β/γ)t(2)特解如果β/γ<1，则通过迭代，可得特解：

如果β/γ>1，则需要有初始条件。第83页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型4、价格差分方程的解(3)通解

(4)任意常数的确定如果给出了初值p0，则代入通解，得：

解出A：

第84页，课件共166页，创作于2023年2月五、蛛网模型4、价格差分方程的解将求出的常数A代入通解，得：

化简可得：

第85页，课件共166页，创作于2023年2月第二章平稳时间序列模型第86页，课件共166页，创作于2023年2月一、随机差分方程模型1、随机过程(stochasticprocess)(1)随机过程的定义由随机变量组成的一个有序序列，称为随机过程，记为{y(s,t),sS,tT}.对于每一个t，tT，y(•,t)是样本空间S中的一个随机变量；对于每一个s，sS，y(s,•)是随机过程在序数集T中的一次实现。随机过程通常简记为{yt}或yt。第87页，课件共166页，创作于2023年2月一、随机差分方程模型(2)随机过程的分类①离散时间随机过程——如果T是一个可数集，特别是整数集，t只取整数t=0,1,2,…，也称为随机序列。

②连续时间随机过程——如果T是一个连续统。第88页，课件共166页，创作于2023年2月一、随机差分方程模型(3)有穷维分布族随机过程是一族随机变量，其概率分布可以用一族分布函数来表示，这一族分布函数就称为分布函数族。①一维分布函数族：F1(yt<r)=P(yt<r).②二维分布函数族：F2(yt1,yt2)=P(yt1<r1,yt2<r2).③n维分布函数族：Fn(yt1,…,ytn)=P(yt1<r1,…,ytn<rn)第89页，课件共166页，创作于2023年2月一、随机差分方程模型(4)随机过程的特征指标①均值函数μt=E(yt)②自协方差函数

γ(t,s)=Cov(yt,ys)=E[(yt-μt)(ys-μs)]③自相关函数

ρ(t,s)=γ(t,s)/[γ(t,t)·γ(s,s)]1/2

第90页，课件共166页，创作于2023年2月一、随机差分方程模型2、时间序列及其模型(1)定义：对随机过程的顺序观测所形成的有序观测值序列，就称为时间序列，记为{y0,y1,y2,…,yt}。一个时间序列可看作是随机过程的一次实现，即一个样本；而产生时间序列的随机过程则称为时间序列的数据生成过程(datageneratingprocess)。(2)时间序列数据的特点：时间序列是来自随机过程的一个样本，其前后数值具有相关性，过去决定或影响着现在与未来。研究时间序列，实质上是要了解其数据生成过程的特征和变化规律。第91页，课件共166页，创作于2023年2月二、时间序列的平稳性1、平稳性的定义(1)严平稳过程：如果一个随机过程的有穷维分布函数族不随时间的推移而改变，即对于任意正整数n和任意的t1,t1,…,tnT及实数τ，当t1+τ,t2+τ,…,tn+τT时，都有：Fn(yt1+τ,yt2+τ,…,ytn+τ)=Fn(yt1,yt2,…ytn)

则称此随机过程为严平稳过程或狭义平稳过程(stronglystationaryprocess)。第92页，课件共166页，创作于2023年2月二、时间序列的平稳性1、平稳性的定义(2)宽平稳过程：如果随机过程yt存在有穷的二阶矩，且均值和方差为常数，自协方差函数只与两时点的间隔长度有关，而与两时点的位置无关，即有：

①E(yt)=μ

②Var(yt)=E(yt-μ)2=σ2

③Cov(yt,yt-s)=E(yt-μ)(yt-s-μ)=γs则称此随机过程为宽平稳过程或二阶矩过程或广义平稳过程(widesensestationaryprocess)。第93页，课件共166页，创作于2023年2月二、时间序列的平稳性1、平稳性的定义(3)严平稳过程与宽平稳过程的关系

①宽平稳要求随机过程的前二阶矩平稳。一般来说，分布的前二阶矩不能决定整个分布函数，所以广义平稳不能保证狭义平稳。

②严平稳要求整个分布函数平稳，但并不要求前二阶矩存在，所以是严平稳也未必就是宽平稳。只有前二阶矩存在的严平稳过程才一定是宽平稳过程。

③由于正态分布的分布函数完全由前二阶矩决定，所以正态随机过程如果是宽平稳的，那么必定也是严平稳的。第94页，课件共166页，创作于2023年2月二、时间序列的平稳性2、平稳过程的自协方差与自相关函数(1)自协方差与自相关函数的计算自协方差：γs=Cov(yt,yt-s)=E(yt-μ)(yt-s-μ)称为s阶自协方差函数。显然，0阶自协方差函数为yt的方差：γ0=E(yt-μ)2=σy2自相关函数：ρs=γs/γ0称为s阶自相关函数。显然，0阶自相关函数等于1，有ρ0=1。第95页，课件共166页，创作于2023年2月二、时间序列的平稳性2、平稳过程的自协方差与自相关函数(2)自协方差与自相关函数的性质①对称性：γs=γ-s，ρs=ρ-s

；|γs|γ0，|ρs|1。第96页，课件共166页，创作于2023年2月三、ARMA模型1、最简单的平稳过程白噪声过程第97页，课件共166页，创作于2023年2月三、ARMA模型2、ARMA模型的形式一般来说，一个变量的现在取值，不仅受其本身过去值的影响，而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响，因此可建立其数据生成模型为：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+…+apyt-p+εt+β1εt-1+…+βqεt-q该模型就称为ARMA(p,q)模型。如果q=0，则该模型退化为：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+…+apyt-p+εt称为p阶自回归模型，记作AR(p)。如果p=0，则该模型退化为：yt=a0+εt+β1εt-1+…+βqεt-q称为q阶移动平均模型，记作MA(q)。第98页，课件共166页，创作于2023年2月二、ARMA模型3、稳定性条件ARMA(p,q)模型的移动平均表示是一个无限阶的移动平均过程MA()，该无穷序列是否收敛决定了原随机差分方程是否稳定。因此稳定性条件可表示为：Thestabilityconditionisthattherootsofthepolynomial(1-a1L-a2L2-…-apLp)mustlieoutsideoftheunitcircle.即：ARMA模型的逆特征方程的根都必须在单位圆外。第99页，课件共166页，创作于2023年2月一、移动平均模型MA(q)回总目录回本章目录如果时间序列满足则称时间序列服从q阶移动平均模型。

或者记为，称为是移动平均滞后算子。

第100页，课件共166页，创作于2023年2月MA(q)模型的参数特征回总目录回本章目录由此可知，MA模型在q步之后具有截尾性均值方差，自协方差函数满足方程第101页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录二、无穷移动平均模型MA()要使得上式有意义，必须使得无穷各随机变量的和收敛到某一随机变量，此时的系数要满足一定的条件，常用的就是系数绝对可和此时的序列是平稳的，可进一步验证其数字特征MA(q)模型在滑动平均阶数时，具有如下一般形式第102页，课件共166页，创作于2023年2月三、AR(P)模型回总目录回本章目录如果时间序列满足简记为。其中白噪声序列,且满足：

则称时间序列服从p阶自回归模型。其中称为是自回归滞后算子多项式第103页，课件共166页，创作于2023年2月自回归模型的平稳条件：滞后算子多项式

的根均在单位圆外，即

的根的模大于1。

回总目录回本章目录第104页，课件共166页，创作于2023年2月平稳AR(P)模型的参数特征回总目录回本章目录由齐次差分方程的求根理论可知(王家生，天津大学)可知，自协方差函数按指数速度衰减到零，称为是拖尾性均值方差，自协方差函数满足方程注与的关系自回归多项式的根在单位圆之外计算方差及协方差通常使用Yule-Walker方法，即将模型两边同乘以yt-j，j=0,1,2…，然后取期望得：方程两边同除以γ0,可得自相关函数满足如下关系第105页，课件共166页，创作于2023年2月四、ARMA(p,q)模型如果时间序列

满足：则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。

或者记为：回总目录回本章目录其中称为自回归滞后算子多项式和滑动平均算子多项式ARMA(p,q)模型的平稳性条件同AR模型注第106页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录ARMA(p,q)模型的参数特征均值自协方差函数满足方程当就没有现成的公式可用了！由此可知ARMA模型同AR模型一样，具有拖尾性，自协方差函数以指数速度在衰减计算协方差时使用Yule-Walker方法，即将模型两边同乘以yt-j，j=0,1,2…，然后取期望得：第107页，课件共166页，创作于2023年2月五、自相关函数(ACF)5、ARMA(p,q)过程的自相关函数对于ARMA(p,q)过程，假设Eyt=0，则a0=0，模型为：yt=a1yt-1+a2yt-2+…+apyt-p+εt+β1εt-1+…+βqεt-q使用Yule-Walker方法，得：Eytyt-s=a1Eytyt-s-1+…+Eyt-pyt-s

+Eεtyt-s+β1Eεt-1yt-s+…+βqEεt-qyt-s,s=0,1,2,…由于当s>k时，Eεt-kyt-s=0，所以当s>q时，有

：γs=a1γs-1+a2γs-2+…+apγs-p,s>q.

这表明在q阶以后，ARMA(p,q)过程的自协方差函数完全由此p阶差分方程控制。第108页，课件共166页，创作于2023年2月第109页，课件共166页，创作于2023年2月样本情形第110页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)1、偏相关函数的定义变量yt与其滞后值yt-s的偏相关系数是剔除中间各项yt-1,yt-2,…,yt-s+1的影响后，二者之间的相关系数，也就是在yt关于yt-1,yt-2,…,yt-s+1,yt-s的s阶自回归方程中变量yt-s的回归系数。若记yt的s阶自回归方程(假设yt的均值为0)为：yt=фs1yt-1+фs2yt-2+…+фssyt-s+et

则фss就称为yt的s阶偏相关系数。例如：yt的1阶自回归方程yt=ф11yt-1+et中的回归系数ф11就是yt的1阶偏相关系数。又如：yt的2阶自回归方程yt=ф21yt-1+ф22yt-2+et中的回归系数ф22就是yt的2阶偏相关系数。

（a）（b）

（c）第111页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)2、偏相关函数的计算方法——Yule-Walker方程对于yt的s阶自回归方程：yt=фs1yt-1+фs2yt-2+…+фssyt-s+et

两边同乘以yt-j，并取期望得：Eytyt-j=фs1Eyt-1yt-j+фs2Eyt-2yt-j+…+фssEyt-syt-j+Eetyt-j即有：γj=фs1γj-1+фs2γj-2+…+фssγj-s，j=1,2,3,…,s.两边同除以γ0，得Yule-Walker方程：

ρ1=фs1ρ0+фs2ρ1+…+фssρs-1ρ2=фs1ρ1+фs2ρ0+…+фssρs-2…………

ρs=фs1ρs-1+фs2ρs-2+…+фssρ0第112页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)2、偏相关函数的计算方法——Yule-Walker方程在Yule-Walker方程中，令s依次为1,2,3,…，并求解，则可得各阶偏相关系数。有：ф11=ρ1ф22=(ρ2-ρ12)/(1-ρ12)递推公式：

第113页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)3、偏相关函数的另一种定义yt是一零均值的平稳过程,以下从随机序列预报的角度引出偏自相关函数的定义,若已知yt-1,yt-2,…,yt-k,要求对yt做出预报,即估计,可考虑的线性最小均方估计,即选择系数使得

达到最小,展开即得第114页，课件共166页，创作于2023年2月第115页，课件共166页，创作于2023年2月对上式关于求偏导,可以得到结论同前第116页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)3、ARMA过程的偏相关函数(1)AR过程的PACF对于AR(p)过程：但当s>p时，所有фss=0。这表明AR(p)过程的PACF是p阶截尾的。第117页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)3、ARMA过程的偏相关函数(2)MA过程的PACF对于MA(1)过程：yt=εt+βεt-1，有：(1+βL)-1yt=εt

即：yt=βyt-1-β2yt-2+β3yt-3-β4yt-4+…+εt

这表明MA(1)过程的PACF是指数衰减的，具有拖尾的性质。对于MA(q)过程，也有类似的结论，即MA(q)过程的PACF也具有拖尾的性质。第118页，课件共166页，创作于2023年2月六、偏相关函数(PACF)3、ARMA过程的偏相关函数(3)ARMA过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF在p阶以后完全由MA(q)部分决定，所以其p阶以后的PACF以指数方式衰减，也具有拖尾的性质。过程ACFPACFAR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾第119页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数1、样本自相关系数与偏相关系数的计算由于平稳过程一般具有遍历性，可用时间平均去估计空间平均，所以可以根据时间序列样本估计其数据生成过程的均值、方差、协方差、自相关系数和偏相关系数。就是将递推公式中的各量换成相应的样本估计量即可第120页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录(1)相关函数，偏自相关函数定阶法(2)最优信息准则定阶法AIC准则模型参数的定阶7.3ARMA模型的定阶，参数估计主要方法有:第121页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录相关函数，偏自相关函数定阶法模型的定阶原理：对于MA(q)模型和模型的自相关函数，偏自相关函数具有截尾性，可以依此来判断序列的种类，但是基本数据是来自这样的模型，表现在样本自相关函数和样本偏自相关函数上也不可能是严格的截尾性，而可能呈现在某步之后围绕零值上下波动，此时需要统计手段来判断序列的截尾性对于MA(q)模型，当时，而此时的分布渐近于正态分布第122页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录模型的定阶实际中，以代替，由正态分布的性质利用这一性质可以判断的截尾性第123页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录具体操作如下模型的定阶对于每一个q,计算

（M取为），考察其中满足

或者的个数是否占M个的68.3%或者95.5%。第124页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录为

如果存在某个，使得上述不等式之一的

的个数达到其相应的比例，则可以近似地判定

是步截尾，平稳时间序列

第125页，课件共166页，创作于2023年2月类似，如果数据可能来自AR模型我们可通过考察其偏自相关函数来判断其截尾性回总目录回本章目录对于AR(p)模型，当时，而此时的分布渐近于正态分布第126页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数2、自相关系数的假设检验假设yt平稳且误差为正态分布的前提下，则样本自相关系数的方差为：关于自相关函数，常用的假设检验有：(1)检验假设H0:ρs=0(即假定数据真实生成过程为MA(s-1))在此假设下，有：rs~N[0,Var(rs)]检验统计量：z=rs/[Var(rs)]1/2~N(0,1)若|z|>zα/2，则拒绝原假设，认为s阶自相关系数不为0。第127页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数1、自相关系数的假设检验如果序列是由白噪声生成的,则对于s>0的样本自相关函数ρs有如下性质：

ρs

~N[0,1/T]可根据置信度构造不同的随机区间,如果所有的自相关系数均落在随机区间内,则可判定序列为随机序列,即互不相关的,在EVIEWS给出的是95%的随机区间第128页，课件共166页，创作于2023年2月第129页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数2、自相关系数的假设检验(2)检验假设H0:ρ1=ρ2=…=ρs=0检验统计量为：①Box-Pierce统计量

②Ljung-Pierce统计量

若从使用ARMA(p,q)的残差,该统计量服从自由度为s-p-q的卡方分布,如果模型中含常数项,则自由度为s-p-q-1第130页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数3、偏相关系数的假设检验假设yt是AR(p)平稳过程，则样本偏相关系数的方差为：检验假设H0:фss=0s>p(即真实过程为AR(p)过程)检验统计量：

第131页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数4、模型选择的准则(1)常用的选择准则(有时表达式不尽相同)AIC=ln(残差方差的估计)+2n/TSBC=ln(残差方差的估计)+nln(T)/T选择AIC和SBC值最小的ARMA模型。第132页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录最优信息准则定阶法AIC准则如果采用ARMA(m,n)模型对序列进行拟合，得到序列的残差方差为，序列的均值也是未知的，此时模型的待估参数个数为m+n+1,定义AIC为：选择不同的m,n对序列进行拟合，计算相应的AIC的值，然后改变模型的阶数，选择使得上式最小的m,n作为相应的阶数N为观测值的个数第133页，课件共166页，创作于2023年2月回总目录回本章目录最优信息准则定阶法AIC准则其实，AIC准则最初是用来对AR模型定阶的，在AR(n)模型中，相应的AIC为在(2)式中，选择的阶数n从1开始，逐次增加模型阶数对数据进行自回归模型的拟合，AIC的值一开始是有下降趋势的，此时起主要作用的模型残差方差。当达到某一阶数时，AIC的值达到最小。随后，随着n的继续增加，残差方差改进甚微(甚至有小幅增加),此时模型阶数起主要作用，AIC随n增加而增加，所以AIC呈现先降后升的变化形式第134页，课件共166页，创作于2023年2月七、平稳过程的样本自相关函数5、模型的估计方法(1)AR模型的估计估计AR模型可直接用OLS方法(2)ARMA模型的估计估计ARMA模型用极大似然估计方法①条件极大似然估计②无条件极大似然估计第135页，课件共166页，创作于2023年2月八、Box-Jenkins建模方法1、Box-Jenkins方法步骤(1)模型识别(identificationstage)①作时序图，判断时间序列有无趋势、异常点、缺失点和结构变化。如存在趋势，则需进行差分；异常点等也需处理。②作样本ACF相关图和PACF偏相关图，与理论ARMA模型的ACF和PACF图进行比较，选择可能合适的模型。使用ACF和PACF的基础是序列具有平稳性和可逆性。平稳性——宽平稳，AR部分的特征根都在单位圆内。可逆性——序列可以用有限阶或无限阶收敛自回归模型表示，条件：MA部分的特征根都在单位圆内。第136页，课件共166页，创作于2023年2月八、Box-Jenkins建模方法1、Box-Jenkins方法步骤(2)模型估计与选择(estimationstage)①使用某种合适的方法估计所选出的各个模型。②按照吝啬原则(principleofparsimony)在所估计出的模型中选出最终使用的模型。模型选择的准则：AIC和SBC注意：公因子问题(commonfactorproblem)——模型的AR部分与MA部分不应有共同的因子。第137页，课件共166页，创作于2023年2月八、Box-Jenkins建模方法1、Box-Jenkins方法步骤(3)模型的诊断检验(diagnosticchecking)①残差序列自相关性检验检验的原假设：模型残差为白噪声检验统计量——Ljung-Pierce统计量

第138页，课件共166页，创作于2023年2月八、Box-Jenkins建模方法2、例子(1)AR(1)模拟序列的建模(2)ARMA(1,1)模拟序列的建模(3)AR(2)模拟序列的建模第139页，课件共166页，创作于2023年2月第140页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测1、预测的方法——条件期望预测若实际数据生成过程是已知的，并且序列{yt}和{εt}的现在和过去各期的数值也已知，则就可以现在为原点，根据已掌握的信息，使用条件期望的方法对序列{yt}未来各期的数值进行预测。预测式为：Etyt+j=E(yt+j|yt,yt-1,yt-2,…,εt,εt-1,εt-2,…)第141页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测2、AR(1)模型的预测(1)点预测对于参数已知的AR(1)模型：yt=a0+a1yt-1+εt跨前j期有：yt+j=a0+a1yt+j-1+εt+j

在t时已知信息的条件下，求期望，得：向前1步预测：Etyt+1=a0+a1yt向前2步预测：Etyt+2=a0+a1Eyt+1向前j步预测：Etyt+j=a0+a1Eyt+j-1第142页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测2、AR(1)模型的预测(2)预测函数在向前j步预测式中，逐次迭代可得：Etyt+j=a0(1+a1+a12+…+a1j-1)+a1jyt

此式是j的函数，称为预测函数。若|a1|<1，则当j时，预测函数的极限为：Etyt+j=a0/(1-a1)平稳ARMA模型的条件预测收敛于无条件均值。第143页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测2、AR(1)模型的预测(3)预测误差所谓预测误差，就是yt+j的实际值与其预测值之间的偏差，记为et(j)，即：et(j)=yt+j-Etyt+j将向前1步、2步、…预测值分别代入，得：1步预测误差：et(1)=yt+1-Etyt+1=εt+12步预测误差：et(2)=yt+2-Etyt+2=εt+2+a1εt+1j步预测误差：et(j)=yt+j-Etyt+j

=εt+j+a1εt+j-1+a12εt+j-2+…+a1j-1εt+1第144页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测2、AR(1)模型的预测(4)条件期望预测的性质①无偏性：Etet(j)=0②方差最小：Var[et(j)]=σ2[1+a12+a14+…+a12(j-1)]当j时，Var[et(j)]=σ2/(1-a12)

即：预测误差的方差收敛于{yt}的无条件方差。③尽管向前1步预测误差不相关，但向前多步预测误差却存在序列相关。如：由et(1)=yt+1-Etyt+1=εt+1，得：E[et(1)et+1(1)]=0

由et(2)=yt+2-Etyt+2=εt+2+a1εt+1，得:E[et(2)et+1(2)]=a1σ2第145页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测2、AR(1)模型的预测(5)预测区间在{εt}服从正态分布的假设下，对于给定的置信水平1-α，可建立yt+j的预测区间为：Etyt+j±zα/2[Var(et(j))]1/2如：向前1步预测区间为：a0+a1yt±1.96σ向前2步预测区间为：a0(1+a1)+a12yt±1.96σ(1+a12)1/2第146页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测3、高阶模型预测——以ARMA(2,1)为例(1)点预测对于参数都已知的ARMA(2,1)模型：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+εt+βεt-1前推j期，有：yt+j=a0+a1yt+j-1+a2yt+j-2+εt+j+βεt+j-1在t时已知信息条件下，求期望，得：向前1步预测：Etyt+1=a0+a1yt+a2yt-1+βεt向前2步预测：Etyt+2=a0+a1Etyt+1+a2yt向前j步预测：Etyt+j=a0+a1Etyt+j-1+a2Etyt+j-2,j2.第147页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测3、高阶模型预测——以ARMA(2,1)为例(2)预测误差1步预测误差：et(1)=yt+1-Etyt+1=εt+12步预测误差：et(2)=yt+2-Etyt+2=(a1+β)εt+1+εt+2j步预测误差：et(j)=yt+j-Etyt+j=(a0+a1yt+j-1+a2yt+j-2+εt+j+βεt+j-1)-(a0+a1Etyt+j-1+a2Etyt+j-2)=a1et(j-1)+a2et(j-2)yt+j+εt+j+βεt+j-1,j2.第148页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测3、高阶模型预测——以ARMA(2,1)为例(3)用时间序列样本估计模型进行预测①时间序列样本量的要求：T50.②点预测假设估计模型为：

则各期预测值为：1步预测：2步预测：j步预测：第149页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测3、高阶模型预测——以ARMA(2,1)为例(3)用时间序列样本估计模型进行预测③预测误差：eT(j)=yT+j-ETyT+j1步预测误差：

2步预测误差：

第150页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测3、高阶模型预测——以ARMA(2,1)为例(3)用时间序列样本估计模型进行预测①时间序列样本量的要求：T50.②点预测假设估计模型为：

则各期预测值为：1步预测：2步预测：j步预测：第151页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测4、预测评价(1)两点经验总结①并不是样本内拟合程度越好的模型预测效果越好！②由于模型参数估计误差的存在，小模型的预测效果往往好于大模型。第152页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测4、预测评价(2)预留样本逐步预测-回归评价法①将时间序列样本分成两段，用前半段序列估计ARMA模型，进行向前j步预测；②将估计模型的样本序列向后扩展1期，重新估计模型，进行向前j步预测；③重复步骤2，直至样本序列的最末期；④用预留样本的各期实际值yT+t对预测值ft建立一元线性回归模型：yT+t=a0+a1ft+vt；⑤检验假设H:a0=0,a1=1,可用F检验(Wald检验)。⑥若两个模型进行比较，当F检验都通过时，可再比较二者的误差的方差，选择Var(v1t)<Var(v2t)。第153页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测4、预测评价(3)均方预测误差(MSPE)记H为预留样本中观测值的个数，样本外预测误差为ei，则有：若要比较两个模型的预测效果的优劣，当下列三个假设成立时，可用F分布进行检验。三个假设：①预测误差具有0均值和正态分布；②预测误差不存在序列相关；③不同模型的预测误差不存在同期相关。检验统计量：第154页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测4、预测评价(4)Granger-Newbold检验为了消除不同模型预测误差的同期相关性，Granger和Newbold重新构造了两个新误差序列：xt=e1t+e2t,zt=e1t-e2t在两个模型预测精度相同的假设下，xt和zt不相关，因此可用二者的相关系数构造一个检验统计量。记xt和zt的相关系数为：

ρxz=Extzt=E(e1t2-e2t2)则可构造出检验假设H:ρxz=0的统计量为：rxz/[(1-rxz2)/(H-1)]1/2~t(H-1)如果ρxz不为0，则二模型的预测精度不同。第155页，课件共166页，创作于2023年2月九、预测4、预测评价(5)Diebold-Mariano检验为了放松Granger-Newbold检验中的两个假设，记预测误差ei的损失为g(ei)，两模型预测损失之差为：di=g(e1i)-g(e2i)其均值为：