数学建模第六章数值分析模型

数学建模第六章数值分析模型第1页，课件共61页，创作于2023年2月第六章数值分析模型

黑龙江科技学院

数学建模理学院第2页，课件共61页，创作于2023年2月弦截法和抛物线法数值分析模型第六章非线性方程求根迭代法重点:插值法和非线性方程求根难点:利用数值分析方法建立数学模型插值法

黑龙江科技学院

数学建模理学院建模举例第3页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院

数值分析（numericalanalysis）是研究用计算机求解各种数学计算问题的数值计算方法及其理论与软件实现的学科。数值分析就是介绍如何用计算机来解决数学问题，以各种各样的程序语言来设计出数值计算程序，然后依靠计算机的强大计算能力来求解这些数学问题，数值分析对数学理论与程序设计并重。运用数值分析解决问题的过程可分为如下几步：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。

数值分析这门学科有如下特点：（1）面向计算机（2）有可靠的理论分析（3）要有好的计算复杂性（4）要有数值实验（5）要对算法进行误差分析第4页，课件共61页，创作于2023年2月函数逼近问题设y=f(x)，若对以函数y=f(x)来说①其值是通过实验或观测得到，不知其解析表达式；②解析表达式很复杂，不便分析。问题：能否构造一个较为简单的函数P(x)近似地表示f(x)。这就是函数逼近问题。上述函数f(x)称为被逼近函数，P(x)称为逼近函数。逼近方式有两种：插值和拟合。理学院

黑龙江科技学院

数学建模第5页，课件共61页，创作于2023年2月在生产和科学研究中,经常出现这样的问题:由实验或测量得到的某一函数在一系列点处的值,需要构造一个简单函数作为函数的近似表达式:,使得

这类问题称为插值问题.----被插值函数----插值函数----插值节点-----插值条件

6.1插值法插值函数：有各种类型，如代数多项式，三角函数，有理函数等。当插值函数为多项式时，称为（代数）插值多项式。[min｛xi｝,max{xi}]=[a,b]----插值区间第6页，课件共61页，创作于2023年2月x0xixy0yi•••••yy＝f(x)o从几何上看，插值法就是要求一条曲线它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n)，并用近似表示f(x).（下图）

黑龙江科技学院

数学建模理学院第7页，课件共61页，创作于2023年2月

一、插值基函数与Lagrange插值1.简单情形(1)n=1时.设yi=f(xi)i=0，1.作直线方程：

令：称为两点式插值或线性插值。

黑龙江科技学院

数学建模理学院第8页，课件共61页，创作于2023年2月

(2)n=2时.设yi=f(xi)i=0，1，2.令：称

为三点式插值或抛物插值。

黑龙江科技学院

数学建模理学院第9页，课件共61页，创作于2023年2月2.推广

n=1时，记则

n=2时，记则

黑龙江科技学院

数学建模理学院第10页，课件共61页，创作于2023年2月一般地令

则lj(x)(j=0，1，2，…，n)为n次多项式称为Lagrange插值基函数，为Lagrange插值多项式。

黑龙江科技学院

数学建模理学院第11页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院例6.1.1

给定数组3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675（1）作一分段线性插值函数（2）用上述插值函数计算和的函数值。第12页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院解

由插值基函数的表达式，在75到80的6个点间有5个线性插值函数，以区间为例，此时则在区间上有.第13页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院Matlab代码如下:function[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clcx1=75:80;y=[2.768,2.833,2.903,2.979,3.062,3.153];n=size(x1,2);symsxpositivefori=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1))/(x1(i)-x1(i+1))+y(i+1)*(x-x1(i))/(x1(i+1)-x1(i));endPhi=Phi';l=find(x1>xx);Y=subs(Phi(l(1)-1),xx);end第14页，课件共61页，创作于2023年2月函数的调用格式为xx=75.5[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)得到的结果为：Y=2.8005Phi=(13*x)/200-2107/1000(7*x)/100-2487/1000(19*x)/250-2949/1000(83*x)/1000-699/200(91*x)/1000-4127/1000

黑龙江科技学院

数学建模理学院Y=2.8005的值就是的函数值。的函数值是3.0039。同理可得到第15页，课件共61页，创作于2023年2月理学院例6.1.2

由函数生成以下离散数据，并利用其计算函数在x=1.98，y=0.36处的函数值。并与真值作比较。yx0.10.20.30.40.50.60.50.8485551.9181153.6815226.5888911.3823319.285371.01.0473912.1169513.8803586.78772511.5811619.484211.51.2442412.3138024.0772096.98457611.7780119.681062.01.438142.50774.2711077.17847411.9719119.874962.51.6281472.6977074.4611157.36848212.1619220.06496

黑龙江科技学院

数学建模第16页，课件共61页，创作于2023年2月使用了matlab系统函数interp2，代码如下，x=0.5:0.5:3.00.1:0.1:0.6;y=0.5:0.5:3.0;[x,y]=meshgrid(x,y);z=exp(x)+sin(y)+y-1;z_spline=interp2(x,y,z,1.98,0.36,'spline')计算结果为z_spline=6.9554，即对函数使用二次插值后在点计算出的而实际值是6.9550，二次插值的绝对误差为0.0004。值是6.9554。

黑龙江科技学院

数学建模理学院第17页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模二、牛顿插值

来计算函数值

在理论上，利用插值基函数求出Lagrange插值多项式是很重要的。但用来计算的近似值却不大方便，特别是达不到要求的精度，这就要求增加插值节点，插值节点的增加意味着要重新计算全部的插值基函数。Lagrange插值法的计算量就变得很大了为此我们需要另一种便于计算的插值多项式。理学院第18页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院定义6.1.1函数的一阶均差定义为称为函数关于点的一阶均差.

一般地，记阶均差为称为关于点的阶均差.类似地，可以定义二阶均差第19页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院根据均差定义，把看成上一点，可得只要把后一式代入前一式，就得到牛顿插值多项式其中我们称为Newton均差插值多项式。.第20页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院注意:因此Newton插值多项式与Lagrange插值多项式只是形式不同，它们都是同一个多项式。(2)由于插值点固定时插值多项式是存在唯一的。(1)牛顿法比Lagrange插值的计算量少，且便于程序设计第21页，课件共61页，创作于2023年2月引例导入浮力问题

一个半径为r，密度为ρ的球重，高为h的球冠体体积为，求的球浸在水中部分的深度是半径的几分之几（见图1）。

6.2非线性方程求根

黑龙江科技学院

数学建模理学院第22页，课件共61页，创作于2023年2月图1

黑龙江科技学院

数学建模理学院第23页，课件共61页，创作于2023年2月问题分析设ρ=0.6的球浸在水中部分的深度为h由物理学中知识，漂浮时，重力等于浮力可知：令h=kr即：问题：如何求解k的值？

黑龙江科技学院

数学建模理学院第24页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模工程实际与科学计算中都遇到大量求解非线性方程的问题。设非线性方程为求数使得则称为方程（6.2.1）的根，也称函数的零点。求解非线性方程在初等代数中就有研究。例如，代数方程（二次、三次方程等）、超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。但是我们发现即使是最基本的代数方程，当次数超过4时，一般情况下就不能用公式表示方程的根，至于超越方程那就更难了。（6.2.1）第25页，课件共61页，创作于2023年2月研究用数值方法计算非线性方程的根非常必要。在求根时通常假设非线性方程是关于的连续函数若令

它在坐标系下的图像为连续曲线，因此，求的根就是求与轴的交点.

如果在区间仅有一个根，则称为方程的单根区间；如果在区间上有不止一个根，则称为方程的多根区间。方程的单根区间和多根区间统称为方程的有根区间。为了研究方便，我们主要研究方程在单根区间上的求解方法。

黑龙江科技学院

数学建模第26页，课件共61页，创作于2023年2月abx0x1a1b2x*一、区间对分法（二分法）1.确定有根区间:2.逐次对分区间：3.取根的近似值:b1a2

黑龙江科技学院

数学建模理学院[].,),(,0)()(,,)(称其为有根区间的根内必有方程则若<ÎbabfafbaCxf第27页，课件共61页，创作于2023年2月其误差为:根的近似值:abx0x1a1b2x*b1a2

黑龙江科技学院

数学建模理学院.),(limlim的根是方程Î==*¥®¥®baxbannnn第28页，课件共61页，创作于2023年2月用对分区间法求根步骤：

黑龙江科技学院

数学建模理学院第29页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院第30页，课件共61页，创作于2023年2月

6.3迭代法

黑龙江科技学院

数学建模理学院第31页，课件共61页，创作于2023年2月将方程等价变形为，若要求满足的根，等价的是求使得，称与同解；反之亦然。这时的称为是函数的一个不动点。求方程的根等价于求的不动点。不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (6.3.1)其中函数称为迭代函数.如果对任意由式（6.3.1）产生的序列有极限则称不动点迭代法（6.3.1）收敛.

黑龙江科技学院

数学建模1、简单迭代法第32页，课件共61页，创作于2023年2月xyo是否对于任意的等价形式该迭代法都是收敛的？什么情况下收敛？

黑龙江科技学院

数学建模理学院第33页，课件共61页，创作于2023年2月xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1

黑龙江科技学院

数学建模理学院第34页，课件共61页，创作于2023年2月定理6.3.1(不动点存在性定理)

设满足以下两个条件:（1）对任意，有（2）存在正常数使对任意都有则在上存在惟一的不动点定理6.3.2（不动点迭代法的全局收敛性定理）设满足定理6.3.1中的两个条件,则对任意得到的迭代序列由(6.3.1)式收敛到的不动点，并有误差估计

式和

黑龙江科技学院

数学建模理学院第35页，课件共61页，创作于2023年2月定理6.3.3（不动点迭代法的局部收敛性定理）

设为的不动点,在的某个邻域连续，且，则迭代法(6.3.1)局部收敛.

黑龙江科技学院

数学建模第36页，课件共61页，创作于2023年2月例6.3.2

求方程要求结果精确到10-5。在[0,0.5]内的根，解将方程变形,因为在[0,0.5]内为增函数，所以满足收敛条件，取x0=0.25，用迭代公式计算步骤如下

x1=(0.25)=0.3385416x2=(x1)=0.3462668x3=(x2)=0.3471725x4=(x3)=0.3472814x5=(x4)=0.3472945x6=(x5)=0.3472961x7=(x6)=0.3472963取方程的近似根为x*=0.347296。

黑龙江科技学院

数学建模第37页，课件共61页，创作于2023年2月2、牛顿迭代法基本思想：牛顿法是将非线性方程线性化的一种近似方法。它是将在初始点附近展开成泰勒级数，取其线性部分(即前两项)，作为非线性方程的近似方程，则有：。牛顿迭代公式：

黑龙江科技学院

数学建模理学院第38页，课件共61页，创作于2023年2月牛顿迭代公式的几何意义xyox0x1x2用曲线上某一点处的切线与x轴的交点来逐步趋近于曲线与x轴的交点，进而近似地求出的根,因此又称切线法.

黑龙江科技学院

数学建模理学院第39页，课件共61页，创作于2023年2月xyx*x0

黑龙江科技学院

数学建模理学院第40页，课件共61页，创作于2023年2月解：代入初值得：

Newton法迭代公式为

黑龙江科技学院

数学建模理学院第41页，课件共61页，创作于2023年2月单点弦截法基本思想：单点弦截法是通过曲线上两点（其中一个是初始点，另一个是新点）的直线与ｘ轴的交点来近似取代曲线与ｘ轴的交点，即的近似根．单点弦截法迭代公式：

6.4弦截法和抛物线法

黑龙江科技学院

数学建模理学院第42页，课件共61页，创作于2023年2月xyox0x1x2几何意义x３

黑龙江科技学院

数学建模理学院第43页，课件共61页，创作于2023年2月两点弦截法基本思想：单点弦截法是通过曲线上两点（两点都是新点）的直线与ｘ轴的交点来近似取代曲线与ｘ轴的交点，即的近似根。两点弦截法迭代公式：

黑龙江科技学院

数学建模理学院第44页，课件共61页，创作于2023年2月xyox0x1x2几何意义x３

黑龙江科技学院

数学建模理学院第45页，课件共61页，创作于2023年2月类似割线法，过三点做f(x)的二次插值多项式抛物线法（muller法）

黑龙江科技学院

数学建模理学院第46页，课件共61页，创作于2023年2月y(x)xSecantlinex1抛物线插值x2x3Parabola

黑龙江科技学院

数学建模理学院第47页，课件共61页，创作于2023年2月

黑龙江科技学院

数学建模理学院第48页，课件共61页，创作于2023年2月问题：交通事故勘察一辆汽车在拐弯时急刹车,结果冲进路边的沟里,警察闻迅赶到现场,对汽车留在路上的刹车痕迹进行了细致的测量,利用所测到的数据画出了事故现场的平面图.并询问司机,他说:当车进入弯道时刹车失灵,并且进入弯道时的车速为40英里/小时,通过验车证实该车的刹车制动器在事故发生时的确失灵,但司机所说的车速是否真实?请给出一个可以使警察核对速度的计算方法.（外侧刹车痕迹的有关值(见表)）建模举例

6.5建模举例

黑龙江科技学院

数学建模理学院第49页，课件共61页，创作于2023年2月0369121516.6401.192.152.823.283.533.55182124273033.273.543.312.892.221.290作基准线测量刹车痕迹,距离x沿基准线测y(y与x垂直)ＸＸＹＹ

黑龙江科技学院

数学建模理学院第50页，课件共61页，创作于2023年2月1.汽车沿弯路行驶,车轮转着打滑,车滑向路边.2.车轮所受摩擦力作用在汽车速度的法线方向上,并充当转弯时的向心力.3.车速V为常量,汽车重心沿半径为r的圆运动.模型假设

黑龙江科技学院

数学建模理学院第51页，课件共61页，创作于2023年2月用观测方法得到反映某个函数的数据利用这些数据构造出的近似表达式，即寻找一条曲线使它能很好近似，以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响，这就是曲线拟合问题。曲线拟合法建模基本思想

黑龙江科技学院

数学建模理学院第52页，课件共61页，创作于2023年2月1.决定经验公式（函数）的形式。根据系统和测定数据的特点，参照已知图形的特点决定经验公式。2.确定经验公式中待定系数的方法（拟合准则）衡量一个函数P(x)同所给数据(xi，yi)的偏差

基本步骤3.检验：求得经验公式后，有时要将实际测定的数据与用公式求出的理论值进行比较，若相差不多，说明拟合比较好，反之要修正经验公式。

黑龙江科技学院

数学建模理学院第53页，课件共61页，创作于2023年2月①最小二乘准则：使偏差的平方和最小，即

（1）②最小一乘准则：使偏差的绝对值之和为最小，即

（2）③极小极大准则：使偏差的最大绝对值为最小，即

（3）拟合准则

黑龙江科技学院

数学建模理学院第54页，课件共61页，创作于2023年2月(a)取,则

---直线拟合(b)取，则

---多项式拟合(c)取，则

---多元线性拟合(d)取，则

---双曲线拟合常用拟合曲线

黑龙江科技学院

数学建模理学院第55页，课件共61页，创作于2023年2月ti从11岁起年龄00.81.42.02.4