数值分析插值法

数值分析插值法第1页，课件共91页，创作于2023年2月x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)f(x)

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它点P(x)

f(x)=y第2页，课件共91页，创作于2023年2月2.1.1插值问题设y=f(x)是区间[a,b]

上的一个实函数,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)

(5-1)这就是多项式插值问题.2.1引言第3页，课件共91页，创作于2023年2月其中Pn(x)称为f(x)的n次插值多项式,f(x)称为被插函数,xi(i=0,1,...,n)称为插值节点,(xi,yi)(i=0,1,…,n)称为插值点,[a,b]称为插值区间,式(5-1)称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).第4页，课件共91页，创作于2023年2月即P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插值，本章只讨论插值多项式与分段插值。本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。第5页，课件共91页，创作于2023年2月定理1

设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件

Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次数不超过n的多项式存在且唯一.证设所求的插值多项式为Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组2.1.2插值多项式的存在性和唯一性第6页，课件共91页，创作于2023年2月此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由克莱姆法则知方程组(5-3)的解存在唯一.证毕。第7页，课件共91页，创作于2023年2月考虑最简单、最基本的插值问题.求n次插值多项式li(x)(i=0,1,…,n),使其满足插值条件2.2.1基函数可知,除xi点外,其余都是li(x)的零点,故可设Lagrange法1736-1813

2.2拉格朗日插值第8页，课件共91页，创作于2023年2月其中A为常数,由li(xi)=1可得称之为拉格朗日基函数,都是n次多项式。第9页，课件共91页，创作于2023年2月

n=1时的一次基函数为:y1O

xy1Ox第10页，课件共91页，创作于2023年2月即已知函数f(x)在点x0和x1点的函数值y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数

L(x)=a0+a1x使满足条件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此为两点线性插值问题第11页，课件共91页，创作于2023年2月或用直线的两点式表示为：插值基函数的特点：

x0x1l010l1011x0x1l0l1记第12页，课件共91页，创作于2023年2月n=2时的二次基函数为:第13页，课件共91页，创作于2023年2月可知其满足2.2.2拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数li(x),构造次数不超过n的多项式称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性,得特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线.第14页，课件共91页，创作于2023年2月注意:(1)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;

以xi(i=0,1,…,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质(2)插值基函数li(x)仅由插值节点xi(i=0,1,…,n)确定,与被插函数f(x)无关;(3)插值基函数li(x)的顺序与插值节点xi(i=0,1,…,n)的顺序一致.第15页，课件共91页，创作于2023年2月这是因为若取(x)=xk

(k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,就得到第16页，课件共91页，创作于2023年2月所以例1

已知用线性插值(即一次插值多项式)求的近似值。基函数分别为:解插值多项式为()第17页，课件共91页，创作于2023年2月例2求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).解以以为节点的基函数分别为:第18页，课件共91页，创作于2023年2月则拉格朗日的三次插值多项式为第19页，课件共91页，创作于2023年2月截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。

定理2设f(x)在区间[a,b]上存在n+1阶导数,xi∈[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个互异节点,则对任何x∈[a,b],有2.2.3插值余项且与x有关)第20页，课件共91页，创作于2023年2月证由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk时,式子显然成立,并且有n+1(xk)=0(

k=0,1,…,n),这表明x0

,

x1,

…,xn都是函数n+1(x)的零点,从而n+1(x)可表示为其中K(x)是待定函数。对于任意固定的x[a,b],xxk

,构造自变量t的辅助函数第21页，课件共91页，创作于2023年2月由式n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0

,

x1,

,xn和x是(t)在区间[a,b]上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使

即所以第22页，课件共91页，创作于2023年2月一般来说,外推比内插效果差,在估计误差时下列不等式很有用。第23页，课件共91页，创作于2023年2月的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例3设解插值多项式为第24页，课件共91页，创作于2023年2月因为故于是另见书p29的例1.第25页，课件共91页，创作于2023年2月用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例4

给定函数表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解

取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有ln11.25L2(11.25)第26页，课件共91页，创作于2023年2月在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.第27页，课件共91页，创作于2023年2月2.3.1均差及其基本性质定义1称为f(x)在x0、x1点的一阶均差.一阶均差的均差(差商)称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶均差.英1642-17272.3均差与牛顿插值公式第28页，课件共91页，创作于2023年2月一般地，n-1阶均差的均差

称为f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶均差。差商的计算步骤与结果可列成均差表，如下

一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶均差，记作f[xi]。第29页，课件共91页，创作于2023年2月xk函数值一阶均差二阶均差三阶均差...

x0x1

x2

x3...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)...

f[x0,x1]

f[x1,x2]

f[x2,x3]

...

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3]

...

f[x0,x1,x2,x3]

......表5-1（均差表）第30页，课件共91页，创作于2023年2月给出节点x0,x1,…,xn和函数值(x0),(x1),…,(xn),可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值.xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商…n阶差商x0x1x2x3xnƒ(x0)ƒ(x1)ƒ(x2)ƒ(x3)ƒ(xn)ƒ[x0,x1]ƒ[x1,x2]ƒ[x2,x3]ƒ[xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2]ƒ[x1,x2,x3]ƒ[xn-2,xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2,x3]ƒ[xn-3,xn-2,x2,x3]………………ƒ[x0,x1,…,xn]第31页，课件共91页，创作于2023年2月这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节点的排列次序无关，即

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性质1均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为均差的对称性（也称为对称性质）。第32页，课件共91页，创作于2023年2月性质2由性质1立刻得到或第33页，课件共91页，创作于2023年2月性质3

n次多项式f(x)的k阶差商,当kn时是一个n-k次多项式;当k>n时恒等于0.性质4若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn∈[a,b],则至少存在一点[a,b]满足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.第34页，课件共91页，创作于2023年2月2.3.2牛顿插值多项式设x是[a，b]上一点，由一阶均差定义得同理，由二阶均差定义如此继续下去，可得一系列等式得得第35页，课件共91页，创作于2023年2月依次把后式代入前式，最后得第36页，课件共91页，创作于2023年2月其中第37页，课件共91页，创作于2023年2月可见,Nn(x)为次数不超过n的多项式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,…,n)满足插值条件,故其为插值问题的解,Nn(x)称为牛顿插值多项式。

Rn(x)称为牛顿型插值余项。第38页，课件共91页，创作于2023年2月由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的,即Ln(x)Nn(x)且有如下递推形式和余项公式由此即得性质4。且第39页，课件共91页，创作于2023年2月xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例1已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。解由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为第40页，课件共91页，创作于2023年2月又可得过前四点的三次牛顿插值多项式故可得N3(x)的截断误差第41页，课件共91页，创作于2023年2月设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,…,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长)定义2

fi=fi+1-fi

和fi=fi-fi-1分别称为函数f(x)在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。一般地,f(x)在点xi处的m阶向前差分和m阶向后差分分别为mfi=

m-1fi+1-

m-1fi

和mfi=

m-1fi-

m-1fi-12.4差分与等距节点插值2.4.1差分及其性质第42页，课件共91页，创作于2023年2月函数值一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)...

f0

(f1)

f1

(f2)

f2

(f3)f3

(f4)...

2f0

(2f2)

2f1

(2f3)2f2

(2f4)...

3f0

(3f3)

3f1

(3f4)...4f0

(4f4)......构造差分表5-2第43页，课件共91页，创作于2023年2月容易证明，差分有如下基本性质性质1各阶差分均可用函数值表示.即且有等式nfi=nfi+n.第44页，课件共91页，创作于2023年2月性质3均差与差分的关系式为性质2函数值均可用各阶差分表示.即且有差分与微商的关系式为差分的其它性质参看本章p59习题8，9，10，11.第45页，课件共91页，创作于2023年2月代入牛顿插值公式,可得称为牛顿向前插值公式，其余项为插值节点为xi=x0+ih(i=0,1,…,n),如果要计算x0附近点x处的函数值f(x),可令x=x0+th

(0tn)2.4.2等距节点差值公式第46页，课件共91页，创作于2023年2月类似地,若计算xn附近的函数值f(x),可令x=xn+th(-

n

t0)

，可得牛顿向后插值公式及其余项第47页，课件共91页，创作于2023年2月例2设y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多项式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相应的函数值及差分表如下:xif(xi)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146第48页，课件共91页，创作于2023年2月求f(1.2)用牛顿前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4xif(xi)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146第49页，课件共91页，创作于2023年2月求f(2.8)用牛顿后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4xif(xi)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(1.8)呢?第50页，课件共91页，创作于2023年2月2.5.1三次埃尔米特插值多项式设y=f(x)是区间[a,b]上的实函数,x0,x1是[a,b]上相异两点,且x0＜x1,y=f(x)在xi上的函数值和一阶导数值分别为yi=f(xi)(i=0,1)和mi=f(xi)(i=0,1),求三次多项式H3(x),使其满足：H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式。法1822-19012.5埃尔米特(Hermite)插值第51页，课件共91页，创作于2023年2月构造三次埃尔米特插值多项式如下:定理3满足条件式的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。

条件函数函数值导数值x0x1x0x10(x)10001(x)01000(x)00101(x)0001第52页，课件共91页，创作于2023年2月由可将它写成第53页，课件共91页，创作于2023年2月第54页，课件共91页，创作于2023年2月即插值点的Lagrange一次基函数.第55页，课件共91页，创作于2023年2月可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为第56页，课件共91页，创作于2023年2月定理4设f(x)在包含x0、x1的区间[a,b]内存在四阶导数，则当x∈[a,b]时有余项设则当x∈(x0,x1)时,余项有如下估计式（误差限）2.5.2误差估计且与x有关)第57页，课件共91页，创作于2023年2月例2已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差.x121144f(x)1112f'(x)1/221/24解第58页，课件共91页，创作于2023年2月得由可求得第59页，课件共91页，创作于2023年2月2.6分段低次插值先看下面的例子

对ƒ(x)=(1+25x2)-1,在区间[-1,1]上取等距节点

xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作ƒ(x)关于节点

xi(i=0,1,…,10)的10次插值多项式L10(x),如图所示第60页，课件共91页，创作于2023年2月xyo1-10.511.5y=L10(x)这个现象被称为Runge现象.表明高次插值的不稳定性.实际上,很少采用高于7次的插值多项式.第61页，课件共91页，创作于2023年2月2.6.1分段线性插值求一个分段函数P(x),使其满足:

P(xi)=yi(i=0,1,...,n);在每个子区间[xi，xi+1]上是线性函数.称满足上述条件的函数P(x)为分段线性插值函数.第62页，课件共91页，创作于2023年2月分别作线性插值得,在每个子区间[xi，xi+1]已知或第63页，课件共91页，创作于2023年2月由线性插值的误差即得分段线性插值在区间[xi,xi+1]上的余项估计式为因此,在插值区间[a,b]上有余项第64页，课件共91页，创作于2023年2月2.6.2分段抛物线插值(2)在每个子区间[xi-1,xi+1]上，L(x)是次数不超过2的多项式.称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数.

L(xi)=yi(i=0,1,...,n);对求一个分段函数L(x),使其满足:即将区间[a,b]分为小区间[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)第65页，课件共91页，创作于2023年2月2.6.3分段三次Hermite插值已知求一个分段函数H(x),使其满足:(2)在每个子区间[xi,xi+1]上，H(x)是次数不超过3的多项式.称满足上述条件的函数H(x)为分段三次Hermite插值函数.第66页，课件共91页，创作于2023年2月或[xi，xi+1]上得在每个子区间由第67页，课件共91页，创作于2023年2月分段三次埃尔米特插值在区间[xi,xi+1]上的余项估计式为因此，在插值区间[a,b]上有余项第68页，课件共91页，创作于2023年2月例3构造函数f(x)=lnx在1≤x≤10上的数表,应如何选取步长h,才能使利用数表进行分段插值时误差不超过0.5×10-4。解欲使即进行分段线性插值时，应取h≤2×10-2，误差不超过0.5×10-4。第69页，课件共91页，创作于2023年2月欲使即进行分段三次埃尔米特插值时,应取误差不超过0.5×10-4。第70页，课件共91页，创作于2023年2月2.7.1问题的提出定义给定区间[a,b]的一个划分a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足：

S(xi)=yi(i=0,1,…,n);在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次数不超过3的多项式;(3)在每个内节点xi(i=1,2,...,n-1)上具有二阶连续导数,则称S(x)为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。2.7三次样条插值第71页，课件共91页，创作于2023年2月S(x)在每个小区间[xi,