最优控制第二章求极值

最优控制第二章求极值第1页，课件共35页，创作于2023年2月本章主要内容:2.1无约束条件的函数极值问题2.2有约束条件的函数极值问题2.3小结2.4习题第2页，课件共35页，创作于2023年2月2.1无约束条件的函数极值问题一元函数极值问题二元函数极值问题多元函数极值问题第3页，课件共35页，创作于2023年2月一元函数的极值问题

一元函数在处取极值的必要条件为

（2-1）当

（2-2）

为极小。

第4页，课件共35页，创作于2023年2月

当（2-3）

为极大。

为简单起见，今后我们将只讨论极小，式（2-1）和（2-2）一起构成为极小值的充分条件。当时，也可能有极小值，不过要检验高阶导数。第5页，课件共35页，创作于2023年2月

上述情况可用图2-1来表示。R点是局部极小点，又是总体极小点，U只是局部极小点，T是局部极大点，S是拐点，不是极值点。图2-1函数的极值点和拐点第6页，课件共35页，创作于2023年2月

例2-1求使

最小的x。解:

故解使达到极小。本例是著名的最小二乘问题。第7页，课件共35页，创作于2023年2月二元函数极值问题

下面考虑二元函数的极值问题。设在处取得极小值，记，这里（T表示转置，X是列向量）。在处取得极小值的必要条件和充分条件可如下求得。将在周围展开为泰勒级数

第8页，课件共35页，创作于2023年2月

（2-4）式中第9页，课件共35页，创作于2023年2月表示高阶无穷小。将（2-4）式用向量矩阵形式表示

第10页，课件共35页，创作于2023年2月

(2-5)式中，第11页，课件共35页，创作于2023年2月(2-6)

由（2-5）式可知，取极值的必要条件为(2-7)

进一步，若（2-8）

第12页，课件共35页，创作于2023年2月

则这个极值为极小值。由于是任意的不为零的向量，要使（2-8）式成立，由矩阵理论可知，二阶导数矩阵（又称为Hessian阵）必须是正定的。正定阵形式上可表示为（2-9）（2-7）和（2-9）一起构成了在处取极小值的充分条件。

第13页，课件共35页，创作于2023年2月多元函数极值问题设n个变量的多元函数为

式中

则在处有极小值的必要条

第14页，课件共35页，创作于2023年2月件为一阶导数向量等于零向量，即进一步，若二阶导数矩阵是正定阵，即（2-11）则这个极值是极小。

第15页，课件共35页，创作于2023年2月式（2-10）和（2-11）一起构成了多元函数在处取极小值的充分条件。由（2-11）式可知，是实对称矩阵。判别实对称矩阵是否为正定有两个常用的方法。一是检验的特征值，若特征值全部为正，则是正定的。另一是应用塞尔维斯特（Sylvest）判据。根据此判据，若的各阶顺序主子式均大于零，即第16页，课件共35页，创作于2023年2月（2-12）则就是正定的。det表示A阵的行列式。第17页，课件共35页，创作于2023年2月例2-2求下面的多元函数的极值点解

第18页，课件共35页，创作于2023年2月由上面三个方程求得可能的极值点为

二阶导数阵为

用塞尔维斯特判据来检验，有

故为正定，在处，为极小。第19页，课件共35页，创作于2023年2月2.2有约束条件的函数极值问题

前面讨论函数的极值问题时，向量的各个分量可独立地选择，相互间无约束。本节将讨论的各分量满足一定约束条件的情况。

第20页，课件共35页，创作于2023年2月设具有个n变量的多元函数为X的各分量满足下面的m个等式约束方程

(2-13)第21页，课件共35页，创作于2023年2月

若能从m个约束方程中解出m个X的分量，即将它们用其它n-m个的X分量表示，那么X中只剩下n-m个独立变量。于是问题可化为求n-m个变量的多元函数的无约束极值问题。这就是所谓的“消去法”。第22页，课件共35页，创作于2023年2月由于从m个方程（一般是非线性方程）求出m个分量常常是困难的，故经常采用“拉格朗日乘子法”。为此，对个约束方程，引入个拉格朗日乘子，并作出一个辅助函数—拉格朗日函数。第23页，课件共35页，创作于2023年2月若令

则（2-14）式可用向量形式表示为

（2-15）第24页，课件共35页，创作于2023年2月

于是的条件极值问题就化为的无条件极值问题。函数L有极值的必要条件为

第25页，课件共35页，创作于2023年2月例2-3求从原点（0，0，0）至平面

的最短距离。解原点至空间任何一点的距离的平方为

要使极小，而点必须在所规定的平面上。第26页，课件共35页，创作于2023年2月

这是一个条件极值问题。作拉格朗日函数

极值的必要条件为第27页，课件共35页，创作于2023年2月

联立求解上面四个方程可得

可能的极值点坐标为

第28页，课件共35页，创作于2023年2月

根据问题的性质可以判断极小值存在且是唯一的。故上面的即是极小点的坐标。将极小点坐标代入函数中，即可求出最短距离的平方为此问题的约束方程是、、的线性函数，因此容易用“消去法”来求极值点。

第29页，课件共35页，创作于2023年2月例如，从中解出，将它用、表示，于是问题就化为求二元函数的无条件极值问题。读者可自行验证这样做的结果与拉格朗日乘子法的结果是一样的。第30页，课件共35页，创作于2023年2月

例2-4动态控制问题的参数化法。设一个动态系统由下面的非线性状态方程描述给定，终止时间t=0.5s，要求算出最优控制，它使得指标函数

为最小。解：这是动态控制问题，这里将控制作用参数

化，于是可用静态最优化的方法求解。

第31页，课件共35页，创作于2023年2月

设控制作用可用下面的级数来逼近是已知的时间函数集，如sin、cos、Hermite多项式等正交函数或其它线性无关的函数。于是可用N个参数来表示，即被参数化了。确定就等于确定N个参数，使指标J最小。这里可用数值寻优的方法来确定参数。第32页，课件共35页，创作于2023年2月2.3小结1.n个变量的多元函数取无约束极小值的必要条件为，充分条件为和。2.