2023届上海市普陀区市级名校高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．2．设直线与圆交于A，B两点，圆心为C，若为直角三角形，则（）A．0 B．2 C．4 D．0或43．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（）A．， B．，C．， D．，4．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为()A．－1 B．－2 C．2 D．15．函数的最大值为（）A． B．1 C． D．6．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③方程有无数个根；④函数f（x）是增函数．A．②③ B．①②③ C．② D．③④7．甲､乙､丙､丁､戊5名同学报名参加社区服务活动,社区服务活动共有关爱老人､环境监测､教育咨询､交通宣传､文娱活动五个项目,每人限报其中一项,记事件为“5名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关爱老人项目”,则()A． B． C． D．8．集合，，若，则的值为（）．A． B． C． D．9．已知双曲线，两条渐近线与圆相切，若双曲线的离心率为，则的值为（）A． B． C． D．10．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．11．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则最多有一个二等品的概率为（）A．B．C．D．12．下列值等于1的积分是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是________.主视图左视图俯视图14．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，，，，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.15．更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，，则输出的值为______．16．的展开式中的系数是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性．18．（12分）天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

优秀

非优秀

合计

甲班10乙班30合计110（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819．（12分）已知函数.（Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值；（Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.21．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:质量指标值频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.22．（10分）设，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅱ）如果对于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，则t2≥6﹣2＝1当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为1．故选：B．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．2、D【解析】

是等腰三角形，若为直角三角形，则，求出圆心到直线的距离，则．【详解】圆心为，半径为，，∵为直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到．3、B【解析】

由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数与的值.【详解】由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，由韦达定理得，解得.故选B.【点睛】本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解析】

利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可．【详解】因为f（x）是奇函数，且周期为2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．5、A【解析】

由题意求得导数，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，可得，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，所以函数的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、A【解析】

本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；函数f(x)的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；函数f(x)有增有减，故④不正确．故答案为②③．【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．7、A【解析】

由条件概率与独立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【详解】由已知有事件概率为：，事件概率为：P(AB)=，所以P(A|B)=，故选：A.【点睛】本题考查条件概率的计算，条件概率的两种求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=，本题属于基础题.8、D【解析】因为，所以，选D.9、A【解析】

先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.【详解】渐近线方程为：，又因为双曲线的离心率为，，所以，故渐近线方程为，因为两条渐近线与圆相切，得：，解得；故选A。【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.10、A【解析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11、B【解析】解：解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为个，其中恰好有一个二等品的事件有个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为12、C【解析】

分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【详解】解：选项A，xdxx2，不满足题意；选项B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不满足题意；选项C，1dx＝x1﹣0＝1，满足题意；选项D，dxx0，不满足题意；故选C．考点：定积分及运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据已知可得该几何体是一个圆锥，求出底面半径和母线长，代入侧面积公式，可得答案．【详解】解：由已知有可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为2，底面半径r＝1，高为3，故母线长l，故圆锥的侧面积S＝πrl，故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间几何体的三视图，圆锥的体积和表面积，难度不大，属于基础题．14、45【解析】

通过分步乘法原理即可得到答案.【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.15、【解析】输入，执行程序框图，第一次；第二次；第三次；第四次，满足输出条件，输出的的值为，故答案为.16、243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）讨论见解析【解析】

（Ⅰ）利用导数的几何意义求解即可；（Ⅱ）分类讨论参数的范围，利用导数证明单调性即可.【详解】解：（Ⅰ）当时，所以．所以．所以曲线在点处的切线方程为．（Ⅱ）因为，所以．（1）当时，因为由得，由得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．（2）当时，令，得．①当时，由，得；由，得或．所以在区间内单调递增，在区间和内单调递减．②当时，由得或；由得．所以在区间和内单调递增，在区间内单调递减．③当时，因为所以在区间内单调递增．④当时，由得或；由得．所以在区间和内单调递增，在区间内单调递减．综上可知，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；当时，在区间内单调递增，在区间和内单调递减；当时，在区间和内单调递增，在区间内单调递减；当时，在区间内单调递增；当时，在区间和内单调递增，在区间内单调递减．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用利用导数证明含参函数的单调性，属于中档题.18、（1）优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”（3）．【解析】

试题分析：思路分析：此类问题（1）（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论．（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值．解：（1）4分优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）根据列联表中的数据，得到K2≈7.487＜10.1．因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=，即抽到9号或10号的概率为．考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算．点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论．古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由题可得，解方程组求得答案；（Ⅱ）在定义域内单调递增即在上恒成立，所以恒成立，进而求得答案．【详解】（Ⅰ）依题意得，即解得，故所求的实数；（Ⅱ）由（Ⅰ）得∵在定义域内单调递增∴在上恒成立即恒成立∵时，，∴所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查导函数的极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题．20、（1），理由见解析（2）详见解析【解析】

（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证：，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.【详解】（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得，此时，令，即，解得，令，即，解得，即有在上单调递增，在单调递减所以即（2）不妨设，由条件：，要证：只需要证：，也即为，由只需要证：，设即证：，设，则在上是增函数，故，即得证，所以.【点睛】本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.21、(1)30.2；(2)分布列见解析，400.【解析】

（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值为：240，300，360,420,480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】(1)样本的质量指标平均值为.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量的取值为：240，300，360,420,480，；，，所以随机变量的分布列为：240300360420480.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.