2023届上海浦东新区数学高二下期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（山西省榆社中学高三诊断性模拟考试）设为数列的前项和，已知，，则A． B．C． D．2．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．已知是R上的可导函数，则“”是“x0是函数的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题3．复数z满足z⋅i=1+2i(iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．命题“对任意的，”的否定是A．不存在， B．存在，C．存在， D．对任意的，5．已知随机变量X服从正态分布且P（X4）=0.88，则P（0X4）=（）A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.126．有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为()A． B． C． D．7．函数的单调递减区间是（）A． B． C．， D．，8．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是A． B． C． D．9．已知函数，则函数满足（）A．最小正周期为 B．图像关于点对称C．在区间上为减函数 D．图像关于直线对称10．已知，，，则的大小关系为()．A． B． C． D．11．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x0∈R使得”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足，且当时，，则__________．14．已知函数，若的所有零点之和为1，则实数的取值范围为__________．15．已知则的值为．16．观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数.（I）若，求复数；（II）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.18．（12分）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平。19．（12分）已知x，y，z是正实数，且满足.(1)求的最小值；(2)求证：20．（12分）已知函数.（1）求函数的极值;（2）当时，证明：;（3）设函数的图象与直线的两个交点分别为，，的中点的横坐标为，证明：.21．（12分）（1）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放1个球，共有多少种放法？（2）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限，共有多少种放法？22．（10分）已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若不等式至少有一个负解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意，由，得，则，，…，将各式相加得，又，所以，因此，则将上式减下式得，所以.故选D.点睛：此题主要考查了数列通项公式、前项和公式的求解计算，以及错位相消求各法的应用等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考知识点.错位相消求和法是一种重要的方法，一般适于所求数列的通项公式是一个等比数列乘于一个等差的形式，将求和式子两边同时乘于等比数列的公比，再两式作差，消去中间项，从而求得前项和公式.2、B【解析】试题分析：对于A，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知是R上的可导函数，则“”函数不一定有极值，“是函数的极值点”一定有导函数为，所以已知是上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选B．考点：命题的真假判断与应用．3、D【解析】

利用复数的四则运算法则，可求出z=1+2ii【详解】由题意，z=1+2ii=1+2【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.4、C【解析】

注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的，”的否定是:存在，选C.5、B【解析】

正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可．【详解】因为随机变量服从正态分布，，得对称轴是，，，，故选B．【点睛】本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题．6、A【解析】分析：将，，代入四个选项，可得结论.详解：将，，代入四个选项，可得A模拟效果最好.故选：A.点睛：本题考查选择合适的模拟来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目.7、A【解析】

函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以求出函数的定义域，再算出函数的导数，最后解不等式，可得出函数的单调减区间．【详解】解：因为函数，所以函数的定义域为，求出函数的导数：，；令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于简单题，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．8、B【解析】

由抛物线方程化标准方程为，再由焦半径公式，可求得。【详解】抛物线为，由焦半径公式，得。选B.【点睛】抛物线焦半径公式：抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。9、D【解析】∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选D．10、A【解析】

利用指数函数、对数函数的性质求解．【详解】显然，，，，因此最大，最小，故选A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．11、A【解析】

利用点关于直线的对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率；【详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上，即，∴，∴椭圆C的离心率．故选A．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．12、C【解析】命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B不正确；命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，D不正确．综上可得只有C正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：14、【解析】

先根据分段函数的形式确定出时的零点为，再根据时函数解析式的特点和导数的符号确定出图象的“局部对称性”以及单调性，结合所有零点的和为1可得，从而得到参数的取值范围.【详解】当时，易得的零点为，当时，，∵当时，，∴的图象在上关于直线对称.又，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，且，.因为的所有零点之和为1，故在内有两个不同的零点，且，解得.故实数a的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题.15、【解析】

试题分析：,.考点：分段函数求值．16、2816【解析】

观察数表可知，每一行的首尾两项数字的和成等比数列，由于最后一行的数字等于倒数第二行两项的和，所以只要根据规律求出第9行的首尾两项之和即可.【详解】由题意可知最后一行为第10行，第一行首尾两项的和为11，第二行首尾两项的和为22，第三行首尾两项的和为44，，则第9行首尾两项的和为，所以第十行的数字是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关归纳推理的问题，涉及到的知识点有根据题中所给的条件，归纳出对应的结论，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得,若，则，.(2)结合(1)的计算结果得到关于实数a的不等式，求解不等式可得的取值范围为.试题解析：（1）,若，则，∴，∴.（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即的取值范围为.18、（1）；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】

（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对道题”和“甲选手答对道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案；（2）乙选手答对的题目数量为，甲选手答对的数量为，根据题意知，随机变量服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出，再利用超几何分布概率公式列出随机变量的分布列，并计算出，比较和的大小，然后可以下结论。【详解】解法一：（1）记“甲选手答对道题”为事件，，“甲选手能晋级”为事件，则。；（2）设乙选手答对的题目数量为，则，故，设甲选手答对的数量为，则的可能取值为，，，，故随机变量的分布列为所以，，则，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件，则；（2）同解法二。【点睛】本题考查概率的加法公式、对立事件的概率、古典概型的概率计算以及随机变量及其分布列，在求随机分布列的问题，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，然后根据相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。19、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：(1)利用“乘1法”，根据基本不等式可求的最小值；(2)由柯西不等式即可得证.详解：(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当＝且＝且＝时取等号．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．故x2＋y2＋z2≥点睛：本题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.20、（1）取得极大值，没有极小值（2）见解析（3）见解析【解析】

（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由，整理得整理得，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设，由（1）和由（2），得，利用单调性，即可作出证明．【详解】（1）由题意，函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得极大值，没有极小值;（2）由得整理得，设，则，所以在上单调递增，所以，即，从而有．（3）证明：不妨设，由（1）知，则，由（2）知，由在上单调递减，所以，即，则，所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21、（1）.（2）【解析】

（1）把三个不同的小球分别放入5个不同的盒子里(每个盒子至多放一个球)，实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进行排列，即可求得答案.（2）因为3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限，所以一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，即可求得答案